AOP_Tom2 (1021737), страница 170
Текст из файла (страница 170)
Значение г' равно 16-'. Оно попадает между значениями 75% и 95% табл. 1, так что критерий подтверждает гипотезу, хотя выпало слишком мало семерок. 5. Кзва = 1.15; Кзо = 0.215. Значения находятся приблизительно между уровнями 94% и 86% и поэтому не противоречат предположению, на они очень близки. (Данные для этого упражнения взяты из приложения А, табл. 1.) 6. Вероятность, чта Х! < х, равна г'(х)! поэтому имеем бинамивльное распределение, обсуждавп)ееся в разделе 1.2.10. г'„(х) = в/и с вероятностью (",) Г(х)'(1 — Г(х)), средг) ), — т) ))! — г)*))) ) ..!.
Π— ))!)]. Это указывает на то, что немного лучшей статистикой была бы )::-," .* )4)*)-г!'))),'г( )))-г)*)); см. упр. 22. Можно вычистить среднее и стандартное отклонения для Г„(у) — г'„(х) при х < у и получить ковариацию между Б,(х) н ЕВ(у). Используе данные факты, можно показать, что при больших и функция Е' (х) ведет себя, как броуновское движение, и методы из этого раздела теории вероятностей можно использовать для ее изучения.
[См, статьи Дж. 51 Дуба и М. Д. Донскера (3. П 1)ооЬ апб М В. Вопэйег, АлпаЬ МаГЬ. Ясак 20 (1949), 393 — 403 и 23 (1952), 277-281). Их подход, вообще говоря, рассматривается как наиболее перспективный для изучения КС-критериев.) 7. Положим У = и в (13), чтобы увидеть, что К„никогда не может быть отрицательной и что максимальное значение, которое она может принимать, равно ~/й.
Аналогично, положив / = 1, можно произвести подобные наблюдения нац К„. й. Новая КС-статистика была подсчитана для 20 наблюдений. Распределение К~~а использовалось как Г(х), когда КС-статистика была подсчитана. 9. Идея ошибочна, так как все наблюдения должны быть независимыми. Между статистиками К,+, и К„, полученными из тех же данных, существует связь, поэтому каждую проверку нужно выполнять отдельно. (Больпюе значение одной из статистик приводит к малому значению другой.) Подобным образом данные на рис. 2 и 5, на которых показаны 15 результатов проверки, не являются 15-ю независимыми наблюденинми. поскольку критерий "максимум-5" не зависит от критерия "максимум-4". Три критерия каждого горизонтального ряда являются независимыми (так как они применялись к разным частям последовательности), но пять критериев в столбцах являются в некоторой степени коррелированными.
В результате 95-процентные и другие вероятностные уровни, которые используются в одном критерии, нельзя применять к целой группе критериев, основанных на тех же данных. Мораль такова: генератор случайных чисел можно "проверять" с помощью нескольких критериев, таких как частотный критерий, критерий по максимуму н критерий монотонности, но набор данных, полученных после подсчета различных критериев, нельзя рассматривать как материал для новой проверки, поскольку сами критерии могут быть зависимыми. Статистики К+ и К„следует рассматривать как два различных критерия. Хороший датчик случайных чисел выдержит проверку в обоих случаях 10. Каждое 1; н пр~ дублируется, поэтому числитель (6) умножается на 4, а знамена- тель — только на 2.
В итоге новое значение 1г вдвое больше старого. 11. Эмпирическая функция распределения остается той же; значении К„и К„умножа- ются на ~/2. 12. Пусть Л, = (У вЂ” ид,)/~/~,. Значение 1' равно и, умноженному на ,'~ .(д. — р. + /д /пЕ,)'/р,, мы Это последнее выражение отделено от О, когда и возрастает (так как Я,п ограничено с — 1/э вероятностью 1). Следовательно, (гбудет возрастать и принимать совершенно невероятные значения при предположении, что вероятности равны ре. Для КС-критерия предположим, что Р(х) — предполагаемое распределение, а С(х)— истинное распределение, и пусть й = шах)С(х) — Е(к)). Возьмем и достаточно большим, чтобы неравенство ~Р (х) — С(х)) > й/2 выполнялось с очень малой вероятностью; тогда ~Е' (х) — Е(я)) будет невероятно большим длн гипотетического распределения Г(х).
13. ("шах" на самом деле следовало бы заменить обозначением "эпр", так как здесь имеется в виду наименьшая верхняя граница. Однако обозначение вшах» использовалось, чтобы не смущать читателей, которые ие знакомы с обозначением "эпр".) Предположим для удобства, что Хе = — оо, Х„.ь~ = +со.
Если Х„< х < Хзтп то Б,(х) = 7/и, поэтому шах(Г„(я) — Е(к)) =//и — Е(Хз) и шах(Е(х) — Е„(х)) = Е(Хге~) — //и на данном интервале. Когда у изменяется от О до и, рассматриваем все действительные значения я. Это доказывает равенства К+ = л/и шах ( — — Р(Х1)); с — 1л К„= л/й шах ! Г(Х ) — — ). с<ся и.с( и Данные равенства эквивалентны (13) с так как добавочный член под знаком максимума не положителен и изменен в соответствии с упр. 7. 14.
Логарифм левой части требуемого равенства можно записать как г. ~ — К!и~1+ — ')+ — !л(2сги) — -~ !пр,— -~!и~1+ — ')+О( — ), ,,/ир. ) 2 и эта величина (с использованием разложения 1п(1 + Ес/л/ирс) и тога, что 2 л, Я, л/ир. = О), примет вцд 1р- г 1 — й 1 / 1 '1 — Я, + — !п(2сги) — -!л(рс...р ) + 0 ~ — (. 2 с,л/й/ луг .С.р 2 1 * сс 2* аг 1б.
/! ехр(- — + ) с!и = уе *+ 0 ( — ) +/ ехр( — — + ) с(я. Последний интеграл равен Если все это собрать вместе, та будет получено Если положить гл/2 = хр и записать = гг —.— / е пп = р. х+ = 2, 7(-, -)/'Г(-) = р, где!/2 = х+гл/2хх+у, можно найти у, а илсенно — р = г(1+г~)+0(1/л/х), что согласуется с анализом, приведенным выше. Поэтому решение илсеет вид 1 = и+ 2л/мг+ сгг — г + 0(1/,/и). 17. (а) Сделать замену переменных хз с- х + й (Ь) Иидукция по и; по определению Р 0(х — 1) = / Р1„с!0(х„— 1) с!х„. (с) Левая часть равна г+С рл+с / 4*..., / 4*„„ лес умноженному на " (г-1)" (х+е-г).- -' (с!) Из (Ь) и (с) получим Р„л(х) =) (х+ 1 — и). Числитель О гс (и г)с в (24) равен Р„1,1(и).
15. Соответствующий якобиан легко вычислить: (с) вынеся множитель г" с из определителя, (й) разложив полученный определитель по алгебраическим дополнениям строки, содержащей "соедс — е!пдс О ... О" (каждый детерминант алгебраического дополнения может быть вычислен по индукции) и (сб) вспомнив, что эш ес + осе ес = 1. 2 е 18. Можно предположить, что Г(х) = х для 0 < х < 1, как отмечено в выражении (24) раздела. Если О < Хл « Л„< 1, то пусть Ял. = 1 — Х„.гл с.
Справедливы неравенства 0 < Ял « Я„< 1, и К~~, определенное для Лл,...,Х„, равно К„, определенному для Яи..., 2 . Эти симметричные соотношения дают взаиино однозначное соответствие иежду множествами с одним и тем же числом элементов, для которых К2 и К„попадают в одну и ту же область. 20. Например, член порядка О(1/и) равен — (свс — 1э~)/и+ О(п ~с~). Полное разложение было получено Х. А.
Поверье (Н. А. Еапнепег, Ее11всЬпТГ /пг ИсайгэсЬесп!ссЬЬейвгЬеапе ипс1 гегмапс1ге СеЫеге 2 (1963), 61-68). 23. Пусть т — некоторое число > и. (а) Если (спГ(Х,)) = (тГ(Х,)) и с > 3, то л/в — Г(Л,) > у/и — Г(Х,). (Ь) Начните с аь = 1.0, Ьл = 0.0 и сл = 0 для 0 < lс < т. Затем для каждого наблюдения Л, выполните такие операции; присвойте У с- Г(Хс), Ь е- (тК), ал с- ппп(ол, 1'), Ьл с — шах(Ьл, У), сл с — сл + 1.
(Предположим, что Г(Х,) < 1, поэтому Ь < т.) Затем присвойте 3 с — О, гч +- г с- 0 и для lс = О, 1, ..., т — 1 (в такои порядке) поступайте следующим образом, каким бы ни было сл > О: присвойте г с- швх(г,ол — 3/и), 3 с — у'+ сл, г с — щвх(гг, 3/и — Ьл). Окончательно присвойте К„+ е- л/йг+, К„с- л/йг . Требуелсае время равно О(т+ и), и точное значение и должно быть известно заранее. (Если оценка (й + -')/сп исаазьзоевна для ал и Ьл так, что талька значения сл действительно вычислены для каждого Ь, получим оценки для К„+ и К„в пределах с л/й/т, даже когда т < и.) (АСМ Тгапв. Маей. Босснаге 3 (1977), 60 — 64.) 25.
(а) Твк как со = Е(1 „", а,лХл 1„,с, одЛс) = 2 л, о,лазл, то С = ААт. (Ь) Рассмотрим сингулярное разложение А = РР1с*, где У и 1с — ортогональные матрицы размера сп х сп и и х и и Р— матрица размера т х п с членами сЬ, = (с = Яа,; сингулярные значения а, все положительны. [Си., например, рабату Голуба и Ван Лаана (Со1пЬ апс1 Ъап 1 оап, Маспх Соплрпгаг1апэ (1996), 12.5.3.) Если ССС = С, то ЯВ9 = Я, где Я = РР и В = Р~СУ. Таким образом, во = (с=3)а~, где мы считаем, что и„+л т = сс = 0 и эо = 1„л с э,лЬывб = осесбч. Следовательно, Ь„= (л=/)/а,, если с,у < и, и получии, чта Р ВР— это единичная матрица разиера и х и. Пусть 1' = т (1'л — Еп, У, — и ) и Х = (Хс,...,Хе)~.
Из этого следует, что РУ = 1'ССУ ХтАтС 4Х тт1'РтВРИтХ ХтХ РАЗДЕЛ 3.3.2 1. Наблюдения в х~-критерии должны быть независимыми. Во второй последовательности соседние наблюдения, очевидно, зависимы, так как вторая компонента одной пары равна первой коипоненте следующей пары. 2. Образуйте 1-мерную строку (11с,...,уие, л) для О < у < и и подсчитайте, сколько раз эти строки совпадают с любыми заданными. Примените х~-критерий с Ь = с1' и вероятностью причисления к каждой категории 1/сл'. Количество наблюдений и должно быть равно по крайней мере 5сс'. 3. Вероятность того, что точно 3 значений проверены, а именно — вероятность тога, что Р, л является п-м элементом, лежащим в области о < С', л < /л', как легко видеть, равна Ее можно вычислитль подсчитав возможные комбинации из остальных и — 1 элементов и определив вероятность такай схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
