Vvedenie_v_radiolokatsiyu_MGTU (1021139), страница 15
Текст из файла (страница 15)
7.5.Рис. 7.5. Импульсная характеристика согласованного фильтраМожно также использовать и функциюg (t ) = k0 s(t0 − t ),(7.31)у которой t0 ≥ T0 . Но выбор функции при t0 < T0 недопустим, поскольку импульсная характеристика g(t) линейного фильтра является реакцией фильтра на воздействие дельта-функции δ(t) в момент t = 0. А реакция фильтра (отклик) не может возникнуть на еговыходе ранее появления сигнала на его входе.Поскольку g (t ) = 0 при t < 0, следовательно, g (t − τ) = 0 приτ > t0 . Поэтому интеграл (7.26) можно записать в видеy (t ) =∞∫ x(τ) g (t − τ) d τ.(7.32)−∞Структурная схема оптимального приемника с согласованнымфильтром представлена на рис. 7.6.108Рис. 7.6. Структурная схема оптимального приемника с согласованным фильтромНа выходе СФ вычисляется значение интеграла (7.32), и полученная величина сравнивается в пороговом устройстве (ПУ) с пороговым значением y0.
Отличие работы СФ от работы взаимнокорреляционного устройства заключается в том, что корреляторначинает работу в момент t = 0 и заканчивает ее в момент t = T0 ,давая на выходе значение z. Для возобновления его работы необходимо установить коррелятор в начальное положение. Таким образом, коррелятор как система с переменными параметрами не инвариантен относительно времени задержки сигнала.Согласованный фильтр как система с постоянными параметрами инвариантен относительно задержки сигнала, т. е.
если сигнална входе СФ задерживается на время tзад , то выходная реакцияфильтра просто сдвигается по времени на такую же величину tзад .Поэтому СФ является схемой оптимального приемника, когдавремя задержки неизвестно. А поскольку величина постоянногомножителя не меняет структуру оптимального приемника, то данные приемные устройства являются оптимальными и при изменении амплитуды сигнала.Частотная характеристика согласованного фильтраКомплексная частотная характеристика K ( jω) линейной цепи является преобразованием Фурье от импульсной характеристики g(t):K ( jω) =∞∫ g (t ) e− jωtdt.(7.33)−∞Смысл данной формулы заключается в следующем.
Если вовременнóй области импульсная характеристика g(t) линейной цепиесть ее реакция на воздействие дельта-функции δ(t), то в частотной109области амплитудно-частотная характеристика K(ω) есть реакциялинейной цепи на равномерный спектр, воздействующей на еевход дельта-функции.Подставив в (7.33) импульсную характеристику СФ (7.31), получимK сог ( jω) = k0∞∫ s(t0 − t )e− j ωt(7.34)dt.−∞С помощью замены (t0 − t ) = t1− jωtK сог ( jω) = k0 e 0∞∫ s(t1 )ejωt1dt1 ,−∞а после обратной замены t1 на t формула (7.34) примет видK сог ( jω) = k0e− jωt0∞∫ s(е)ejωtdt =−∞= k0 e− jωt0∞⎡∞⎤s(е)cosωtdt+js(е)sin ωtdt ⎥ = k0e− jωt0 S (ω)e jψ(ω) .⎢∫∫⎢⎣ −∞⎥⎦−∞(7.34)Обратим внимание на то, что спектр полезного сигнала s(t)определяется из преобразования Фурье:∞S ( jω) =∫ s(е)e− j ωtdt = S (ω)e − jψ(ω) .(7.35)−∞Из выражений (7.34) и (7.35) комплексная частотная характеристика СФ может быть записана в видеK сог ( jω) = k0 e − jωt0 S ( jω),гдеS ( jω) = S (ω) e jψ(ω) =∞∫ s(е)e−∞j ωtdt = S ( − jω)(7.36)—комплексно-сопряженная функция спектральной плотности полезного сигналаS ( jω) = S (ω) e − jψ(ω) .110Таким образом, с точностью до постоянного множителяk0 e(множитель e− jωt0 характеризует запаздывание сигнала навремя задержки t0) комплексная частотная характеристика СФ является комплексно-сопряженной функцией спектра полезного сигнала.
При этом модуль комплексной частотной характеристики(амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованногофильтра) пропорционален амплитудно-частотному спектру полезного (ожидаемого) сигнала K сог ( jω) = k0 S ( jω) .− jωt0Фазочастотная характеристика СФ формируется как сумма аргумента задержки (−ωt0 ) , определяющего запаздывание сигналана время t0, и аргумента спектра ожидаемого сигнала (фазы спектральной составляющей ожидаемого сигнала), взятого с обратнымзнаком + ψ(ω) : ψсог (ω) = ψ(ω) − ωt0 .Определим реакцию СФ при воздействии на его вход полезного сигнала x (t ) = s (t ). С учетом выражений (7.31) и (7.32) получимsсог (t ) =∞∫−∞∞s (τ) g (t − τ) dτ = k0 ∫ s (τ) s [ τ − (t − t0 )] dτ = k0 Rc (t − t0 ),где Rc (t − t0 ) =−∞∞∫ s( s)s [ τ − (t − t0 )] dτ— функция автокорреляции−∞принятого сигнала s(τ).Отсюда следует, что по отношению к полезному сигналу СФявляется автокорреляционным устройством.
Поскольку максимальное значение автокорреляционной функции равно Rc (0), томаксимум амплитуды сигнала на выходе СФ (максимум напряжения) в момент t = t0maxsсог= sсог (t0 ) = k0 Rc (0) = k0∞∫s2(t ) dt = k0 Ec ,(7.37)−∞где Ec — полная энергия входного сигнала.111Соотношение сигнал–шумна выходе согласованного фильтраПоскольку АЧХ СФ пропорциональна амплитудно-частотномуспектру полезного сигнала, то она имеет неравномерный характер.Через СФ с большим коэффициентом передачи проходят частотные составляющие, наиболее сильно выраженные в спектре полезного сигнала. А частотные составляющие, более слабо выраженные в спектре, проходят с меньшим коэффициентом передачи.Поэтому, с одной стороны, форма сигнала на выходе СФ искажается, а с другой стороны, обеспечивается подавление отдельныхчастотных составляющих помехи, представленной в виде белогошума, поскольку частотные составляющие помехи равномернораспределены в полосе пропускания приемника.Фазочастотная характеристика СФ обеспечивает на выходе образование максимального пикового значения сигнала.
Действительно, возьмем, например, какую-либо гармоническую составляющую f1 спектра входного сигнала. Фаза этой составляющейопределяется начальной фазой сигнала 2π f1t и добавокой к фазе,величина которой зависит от частотной составляющей спектрасигнала − ψ( f1 ) (7.35). Гармоническая составляющая с фазой2π f1t − ψ( f1 ) после прохождения через согласованный фильтрсдвигается по фазе на угол + ψ( f1 ), а также на угол −2π f1t0 (7.34).Таким образом, результирующая фаза гармонической составляющей f1 на выходе согласованного фильтра составит2π f1t − ψ( f1 ) + ψ( f1 ) − 2π f1t0 = 2π f1 (t − t0 ),откуда результирующая фаза гармонической составляющей (независимо от частоты гармонической составляющей) равна нулю вмомент времени t = t0 . Данное положение отражено на векторнойдиаграмме (рис.
7.7), где гармоническая составляющая f1 представлена в виде вектора S (2π f1 ) = S ( f1 )e − jψ( f1 ) , смещенного относительно горизонтальной оси отсчета на угол − ψ( f1 ).После прохождения через согласованный фильтр данный вектор смещается в обратном направлении на тот же угол + ψ( f1 ),т. е. начальный фазовый сдвиг частотной составляющей компен112сируется. Что касается линейного фазового сдвига −2π f1t0 , то ондает дополнительный фазовый сдвиг, характеризующий временную задержку сигнала на время t0. В результате в момент времени t = t0 все спектральные составляющие складываются в фазе(рис.
7.8).Рис. 7.7. Формирование результирующей фазы гармонической составляющей входного сигнала навыходе согласованного фильтраРис. 7.8. Сложение гармоническихсоставляющих входного сигнала навыходе согласованного фильтраФактически под воздействием сигнала в фильтре будет нарастать амплитуда вынужденных колебаний, достигая максимальногозначения в момент времени t = t0 (рис. 7.9).Рис.
7.9. Нарастание амплитуды сигнала на выходе согласованного фильтраЕсли сигнал полностью известен, то известен момент времениt0, когда амплитуда колебаний в фильтре достигнет максимума.Шум, характеризующийся случайными изменениями фазы, будетнарастать значительно менее интенсивно, чем сигнал. Максимальное отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичномузначению помехи (или отношение пиковой мощности сигнала кмощности помехи) на выходе фильтра будет иметь место в моментвремени t0. Именно в этот момент и следует сравнивать величинувыходного напряжения с его пороговым значением. Найдем этосоотношение.113Ранее установлено (7.37), что максимальное напряжение сигmax= k0 Ec . Следовательно, пиковаянала на выходе СФ равно sсогмощность сигнала на выходе СФmaxsсог= k0 Ec .(7.38)Дисперсия помехи (равная мощности сигнала помехи на сопротивлении в 1 Ом)∞2σп2 = n 2 (t ) = ∫ N ( f ) K сог( f ) df .0Поскольку АЧХ согласованного фильтра пропорциональна амплитудно-частотному спектру полезного (ожидаемого) сигнала,последнее выражение можно представить в виде∞σ п2 = k02 ∫ N ( f )S 2 ( f ) df .0Помеха в виде белого шума имеет равномерное распределениечастотных составляющих в полосе пропускания приемника( N ( f ) = N0 ), поэтому дисперсия шумаσ ш2=k02 N 0∞∫S2( f )df .(7.39)0В соответствии с теоремой Парсеваля энергия сигнала помехиEc (при отсутствии полезного сигнала) может быть определена изследующих соотношений:∞∫Ec =s 2 (t ) dt =−∞∞∫S2( f ) df .(7.40)−∞С учетом того, что амплитудно-частотные спектры положительных и отрицательных частот равны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
