Vvedenie_v_radiolokatsiyu_MGTU (1021139), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Обычно в качестве независимых вероятностей для оценки работы РЛС выбирают условные вероятностиправильного обнаружения Wп.о и ложной тревоги Wл.т .Итак, при принятии решения об обнаружении цели возможныдва вида ошибок: пропуск цели при ее наличии и ложная тревогапри ее отсутствии. Степень нежелательности той или инойошибки может быть различна. Системы обнаружения сравниваются по величине средней стоимости ошибочных решений.
Средняя92стоимость ошибочных решений (средний риск) r вычисляется поправилу нахождения математического ожидания:r = r01 p ( A0 H1 ) + r10 p( A1H 0 ),(7.3)где весовые коэффициенты r01 и r10 отражают стоимость (цену)пропуска цели и ложной тревоги соответственно.Выражение для вычисления среднего риска (7.3) можно преобразовать. Воспользуемся правилами умножения вероятностей:p( A0 H1 ) = p( H1 ) p( A0 H1 ) = p( H1 )Wпр ;p( A1 H 0 ) = p( H 0 ) p( A1 H 0 ) = p ( H 0 )Wл.т ,(7.4)где p ( H1 ), p ( H 0 ) — соответственно априорные вероятностиналичия и отсутствия цели.Подставляя (7.4) в (7.3), получим выражение для среднего риска в видеr = r01 p( H1 )Wпр + r10 p ( H 0 )Wл.т .(7.5)Оптимальной обработкой сигнала считают такую обработку,которая обеспечивает минимум среднего риска.
Данную оценку,именуемую байесовской оценкой, используют в случаях, когдатребуется принять большое количество решений в одинаковыхусловиях.Для использования минимума среднего риска в качестве критерия обнаружения (критерия Байеса) должны быть установленыстоимости ошибочных решений r01 и r10 при известных априорных вероятностях p ( H1 ), p ( H 0 ).Если принять, что стоимости ошибочных решений одинаковы(r01 = r10 = 1), т.
е. пропуск сигнала и ложная тревога одинаково опасны, то средний риск будет равен суммарной вероятности ошибки:r = p( H1 )Wпр + p( H 0 )Wл.т .(7.6)Условие минимума суммарной вероятности ошибки (7.6) называется критерием идеального наблюдателя. Данный критерий широко используется в радиосвязи, где ложное обнаружение и пропуск сигнала одинаково нежелательны.93С другой стороны, выражение для среднего риска (7.5) с учетом (7.1) можно преобразовать к видуr = r01 p( H1 )()1 − Wп.о + r10 p( H 0 )Wл.т = r01 p( H1 ) [1 − (Wп.о − l0Wл.т )] , (7.7)r10 p( H 0 )включает в себя стоимостиr01 p( H1 )ошибочных решений и априорные вероятности отсутствия и наличия цели, т. е.
не зависит от принимаемого сигнала.Очевидно, что минимум величины среднего риска (7.7) будетобеспечиваться, когда будет обеспечиваться максимум разностигде весовой множитель l0 =Wп.о − l0Wл.т = max.(7.8)На основании (7.8) можно записать выражение для сравненияоптимальной и любой другой неоптимальной системы:Wп.о.опт − l0Wл.т.опт ≥ Wп.о − l0Wл.т ,(7.9)Wп.о.опт ≥ Wп.о + l0 (Wл.т.опт − Wл.т ).(7.10)откуда следуетТаким образом, при любом значении Wл.т < Wл.т.опт обеспечивается неравенство Wп.о.опт > Wп.о , т.
е. оптимальная система даетнаибольшую вероятность правильного обнаружения среди всехсистем, имеющих вероятность ложной тревоги не больше, чем воптимальной системе. Или иначе, при одинаковом уровне вероятности ложной тревоги оптимальная система дает наибольшее значение вероятности правильного обнаружения. Критерий (7.10)широко используется в радиолокации и именуется критериемНеймана–Пирсона.Численные значения условных вероятностей правильного обнаружения Wп.о и ложной тревоги Wл.т обычно задаются для одного элемента разрешения РЛС по измеряемым координатам и являются основными показателями эффективности радиолокационногообнаружения.Предположим, что число элементов разрешения осматриваемых РЛС за один период обзора составляет m 1.
Если вероят94ность ложной тревоги в одном элементе равна Wл.т , то в среднемза период обзора может возникнуть n = Wл.т m ложных отметок.Поэтому, задаваясь допустимым количеством возникающих ложных отметок n за один период обзора, можно по формулеWл.т = n / m вычислить вероятность ложной тревоги в одном элементе разрешения РЛС. Положим, что вероятность правильногонеобнаружения Wп.н для всех элементов разрешения РЛС одинакова. В этом случае совокупная условная вероятность правильногонеобнаружения Wп.н m для m таких элементов разрешения (по теореме умножения вероятностей независимых событий) можноmопределить из выражения Wп.н m = Wп.н.
А с учетом (7.2) можнозаписатьmWп.н m = Wп.н= (1 − Wл.т ) m .В радиолокации вероятность ложной тревоги в элементеразрешения РЛС устанавливают из диапазона возможных значений Wл.т = 10−6 ...10−10 , а вероятность правильного обнаружения для максимизации (7.8) стремятся сделать близкой к единице (Wп.о = 0,9...0,99) . В технических характеристиках РЛСнеобходимо приводить и ту и другую условные вероятности.Указывать только один из элементов пары Wп.о − Wл.т недопустимо, поскольку стремление снизить вероятность ложной тревоги до нуля приводит к приближению вероятности пропускацели к единице.Итак, дальность действия РЛС — это наибольшее расстояниемежду станцией и целью, на котором обнаружение цели производится с заданными значениями вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги.Дальность действия РЛС зависит прежде всего от следующихфакторов:• технических параметров станции;• наличия и уровня различного рода помех;• условий распространения радиоволн.Большинство перечисленных факторов изменяются во временислучайным образом и их количественные значения, необходимые95для расчетов дальности, характеризуются вероятностными характеристиками.
В результате и дальность действия РЛС также характеризуется вероятностными характеристиками.Представленный на рис. 7.1 график иллюстрирует характер зависимости относительного изменения дальности обнаружения Dот значения вероятности правильного обнаружения Wп.о при заданном значении вероятности ложной тревоги Wл.т .Рис. 7.1.
Зависимость дальностиобнаружения цели D от значенийвероятностных характеристикДальность обнаружения цели при фиксированном уровне вероятности ложной тревоги существенно меняется при изменениизначения вероятности правильного обнаружения. Так, если привероятности правильного обнаружения Wп.о = 0,5 максимальнаядальность обнаружения составляет величину D = Dmax , то при попытке увеличения вероятности правильного обнаружения до значения Wп.о = 0,8 максимальная дальность обнаружения уменьшается до значения D = 0,6 Dmax . Поэтому дальность действияконкретной РЛС всегда должна сопровождаться соответствующими значениями вероятностей Wп.о и Wл.т .7.2.
Отношение правдоподобияНайдем вероятности правильного обнаружения Wп.о и ложнойтревоги Wл.т , для чего рассмотрим условия обеспечения максимума разности (7.8).Предположим, что ширина спектра принимаемого сигнала x(t)и помехи n(t) ограничена полосой пропускания приемника0 ≤ f ≤ f max . Тогда в соответствии с теоремой Котельникова функция x(t) однозначно определяется своими дискретными значения96ми x1 , x2 , x3 , ..., xm , взятыми через интервалы времениΔt = 1 2 f max , и может быть восстановлена без потерь. Если функция x(t) ограничена интервалом времени T0, то для ее отображениятребуется m = T0 Δt = 2 f maxT0 отсчетов.Каждая реализация случайной функции x(t) при наличии смесисигнала с помехой определяется многомерной плотностью распределения вероятностей wс.п ( x1 , x2 , ..., xm ) , а если в этой реализацииприсутствует лишь помеха, — многомерной плотностью распределения помехи wп ( x1 , x2 , ..., xm ).Совместная вероятность нахождения значений отсчетов каждойреализации в интервалах x1 и x1 + dx1; x2 и x2 + dx2 ; x3 и x3 + dx3и т.
д. при наличии сигнала равна wс.п ( x1 , x2 , ..., xm ) dx1dx2 dxm .Поскольку значения x1 , x2 , ..., xm определяют функцию x(t) однозначно, то указанная вероятность определяет вероятность реализации функции x(t). Совместная вероятность нахождения значенийотсчетов каждой реализации в интервалах x1 и x1 + dx1; x2 иx2 + dx2 ; x3 и x3 + dx3 и т. д. при отсутствии сигнала равнаwп ( x1 , x2 , ..., xm )dx1dx2 dxm .Для принятия решения о наличии или отсутствии цели необходимо все множество выборок распределить на область X1 наличиясигнала (решение A1) и на область X0 отсутствия сигнала (решениеA0).
При этом условную вероятность правильного обнаружения Wп.онайдем как вероятность попадания выборки x1 , x2 , x3 , ..., xm в область X1 при условии наличия сигнала (оценивается многомернойфункцией плотности распределения вероятностей при наличии сигнала wс.п ). Условную вероятность ложной тревоги Wл.т найдем каквероятность попадания выборки x1 , x2 , x3 , ..., xm в область X1 приотсутствии сигнала (оценивается многомерной функцией плотностираспределения вероятностей при отсутствии сигнала wп ):Wп.о = ∫∫ ∫ wс.п ( x1 , x2 , ..., xm )dx1dx2 dxm ;X1Wл.т = ∫∫ ∫ wп ( x1 , x2 , ..., xm )dx1dx2 dxm .X197Интегрирование следует вести по всем переменным областиX1, причем границы этой области должны быть выбраны такимобразом, чтобы обеспечить максимум величины (7.8), которое длярассматриваемого случая преобразуется к видуD − l0 F = ∫∫∫ [ wс.п ( x1 , x2 , ..., xm ) − l0 wп ( x1 , x2 , ..., xm )] dx1dx2 dxm =X1(7.11)= ∫∫∫ wп ( x1 , x2 , ..., xm ) [l ( x1 , x2 , ..., xm ) − l0 ] dx1dx2 dxm ,X1где величинаl ( x1 , x2 , ..., xm ) =wс.п ( x1 , x2 , ..., xm )wп ( x1 , x2 , ..., xm )(7.12)называется отношением правдоподобия (позволяет оценить, какоерешение (А1 или А0) более всего соответствует данной реализациифункции x(t), т.
е. какому именно решению соответствует большеезначение плотности распределения вероятностей).Из выражения (7.11) следует, что его максимум достигается длязначений выборок x1 , x2 , ..., xm , в которых отношение правдоподобия l ( x1 , x2 , ..., xm ) > l0 (все подынтегральное выражение положительно). Значения выборок, для которых отношение правдоподобияl ( x1 , x2 , ..., xm ) < l0 , уменьшают величину всего подынтегральноговыражения. Следовательно, максимальное значение формулы (7.8)будет обеспечиваться, если границы области X1 будут выбиратьсятаким образом, чтобы выполнялось неравенство l ( x1 , x2 , ..., xm ) ≥ l0 .Отсюда вытекает правило принятия решения о наличии илиотсутствии сигнала:• решение A1 (сигнал есть), если l ( x1 , x2 , ..., xm ) ≥ l0 ;• решение A0 (сигнала нет), если l ( x1 , x2 , ..., xm ) < l0 ,r p( H 0 )где весовой множитель l0 = 10можно рассматривать какr01 p( H1 )некий порог, с которым сравнивают значение отношения правдоподобия от принятой реализации входного сигнала.987.3.
Отношение правдоподобия для сигналас полностью известными параметрамиВычисление отношения правдоподобия в общем случае (когдаамплитуда, начальная фаза, задержка во времени, доплеровскийсдвиг частоты и другие параметры сигнала изменяются во временислучайным образом) задача чрезвычайно сложная. Поэтому рассмотрим простейший случай, когда частота, фаза и амплитуда сигнала известны, а неизвестным является лишь сам факт наличиясигнала. Такая ситуация нереальна, но позволяет относительнопросто объяснить принципиальные положения теории обнаружения сигналов.Во входном напряжении x(t), являющемся аддитивной смесьюполезного сигнала s(t) и шума n(t), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
