Vvedenie_v_radiolokatsiyu_MGTU (1021139), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. x(t ) = s (t ) + n(t ), случайнойвеличиной является только шум (помеха) n(t). В качестве шума(помехи) принимают стационарный случайный процесс с нормальным (гауссовым) законом распределения и с нулевым средним значением. В этом случае k-й отсчет амплитуды сигнала будетхарактеризоваться следующим законом распределения:wп ( nk ) =⎛ n2 ⎞1exp ⎜ − k 2 ⎟ ,2 πσ п⎝ 2σ п ⎠где σп2 — дисперсия шума случайной функции т(t), равная мощности шума Рш, выделяемой на сопротивлении 1 Ом; σп — среднеквадратичное (эффективное) напряжение шума.При отсутствии сигнала, когда s(t) = 0, имеем входное напряжение x(t ) = n(t ).
Поэтому k-й отсчет входного напряжения, в котором присутствует только шумовая составляющая (после формальной замены n на x), будет характеризоваться закономраспределения:wп ( xk ) =⎛ x2 ⎞1exp ⎜ − k 2 ⎟ .2πσ п⎝ 2σ п ⎠(7.13)При наличии сигнала во входном напряжении имеемn(t ) = x(t ) − s (t ), поэтому k-й отсчет входного напряжения, в кото99ром присутствуют и сигнал, и помеха (шум), будет характеризоваться законом распределения:wс.п ( xk ) =⎛ ( x − s )2 ⎞1exp ⎜ − k 2 k ⎟ .2σ п2 πσ п⎝⎠(7.14)Для определения совместных многомерных функций распределения (7.13) и (7.14), требуемых для вычисления отношенияправдоподобия (7.12), необходимо знать статистическую связьпроцессов в точках отсчета, разделенных по теореме Котельниковаинтервалами kΔt, где k = 1, 2, …, m.Статистическая связь процессов в точках отсчетов характеризуется корреляционной функцией∞R (τ) = ∫ N ( f ) cos 2π fτ df ,(7.15)0где N ( f ) — энергетический спектр (спектральная плотность) шума; f — частота входного сигнала.При равномерном спектре в полосе пропускания приемника (вσ2интервале 0 ≤ f ≤ f max , когда N ( f ) = N 0 = п = σ п2 ⋅ 2Δt , изf max(7.15), изменив пределы интегрирования, получим корреляционную функцию в видеR ( τ) = N 0f max∫0cos 2π fτ df = N 0 f maxsin 2πf max τ.2πf max τ(7.16)k, где k = 0, 1, 2, …, m, корреляционная2 f maxфункция (7.16) равна нулю, откуда следует, что отсчеты x1 , x2 ,x3 , ..., xm , отображающие функцию x(t) и разделенные временными интервалами kΔt (установленными в соответствии с теоремойКотельникова), взаимно независимы.
Поэтому совместная многомерная функция плотности распределения вероятностей равнапроизведению функций распределения каждой из этих величин:При τ = k Δt =100mwс.п ( x1 , x2 , ... , xm ) = wс.п ( x1 ) wс.п ( x2 )...wс.п ( xm ) = ∏ wс.п ( xk );(7.17)k =1mwп ( x1 , x2 , ... , xm ) = wп ( x1 ) wп ( x2 )...wп ( xm ) = ∏ wп ( xk ). (7.18)k =1Подставляя (7.17) и (7.18) в (7.12) с учетом (7.13) и (7.14), получим отношение правдоподобия в видеl ( x1 , x2 , ..., xm ) =⎡ ( x − s )2 ⎤⎢ − k 2k ⎥exp∏ 2πσ⎡ 12σ п ⎦⎥k =1⎣⎢п== exp ⎢ 22m⎡ x ⎤1⎣ 2σ п∏ 2πσ exp ⎢− 2σk2 ⎥k =1п ⎦⎣пm1m⎤k =1⎦∑ (2 xk sk − sk2 ) ⎥ .(7.19)Поскольку шум имеет равномерное распределение в полосепропускания приемника N ( f ) = N 0 = σп2 / f max = σп2 ⋅ 2Δt , то дисперсия шума равна σп2 = N 0 / 2Δt.
Следовательно, отношение правдоподобия (7.19) можно преобразовать к виду⎡ 1l ( x1 , x2 , ..., xm ) = exp ⎢ −⎣ N0m∑ sk2 Δt +k =12N0m⎤k =1⎦∑ xk sk Δt ⎥ .(7.20)Флуктуационная помеха по своим статистическим характеристикам близка к белому шуму, у которого граничная частота спектра f max → ∞. Эту идеализированную модель флуктуационнойпомехи обычно и применяют, осуществляя в (7.20) предельныйпереход от дискретных значений xk и sk к функциям x(t) и s(t).
Дляэтого примем f max → ∞ (и соответственно Δt = 1 2 f max → 0 ).Предельный переход для первого слагаемого суммы в (7.20) вквадратных скобкахmT022lim ∑ sk Δt = ∫ s (t ) dt = Ec ,Δt →0 k =1(7.21)0где T0 — длительность сигнала.101Данный интеграл определяет энергию Ес ожидаемого сигналаs(t). Эта величина известна заранее и никакой новой информации опринятом сигнале x(t) не несет. Предельный переход для второгослагаемого суммы в (7.20)mlim ∑ xk sk Δt =Δt →0 k =1T0∫ x(t )s(t ) dt = z.(7.22)0Используя уравнения (7.21) и (7.22), выражение для отношенияправдоподобия (7.20) можно представить в видегде⎡ E2l = l [ x(t )] = exp ⎢ − c +⎣ N0 N0z=T0∫ x(t )s(t ) dt⎤z⎥ ,⎦(7.23)(7.24)0является функцией взаимной корреляции принимаемого сигналаx(t) и ожидаемого полезного сигнала s(t). Более точно это — частное значение функции взаимной корреляции при нулевом временном сдвиге между сигналами x(t) и s(t).Вместо отношения правдоподобия l (7.23) можно использоватьмонотонно нарастающие функции s(l ) от отношения правдоподобия.
Оптимизация обнаружения не нарушится, если решающаяфункция будет выбираться в результате сравнения функции s(l ) сосвоим порогом S0 = S (l0 ). Функции s(l ) указанного вида несут достаточную для принятия оптимального решения информацию, поэтому подобные функции, например, функцию ln l при гауссовомраспределении плотности вероятности, называют достаточнымистатистиками.Отсюда следует, что условие l ≥ l0 равносильно условиюln l ≥ ln l0 . После логарифмирования (7.23) решающее правило дляпринятия решения запишется в виде−102Ec2+z > ln l0 .N0 N0В результате чего принимаем решения:• A1 — сигнал есть, если z ≥ z0 ;• A0 — сигнала нет, если z < z0 ,где значение порога z0 определяется из выраженияz0 =1( Ec + N 0 ln l0 ).2(7.25)Таким образом, в приемнике, оптимальном по критерию идеального наблюдателя, при обнаружении полностью известногосигнала достаточно вычислить интеграл (7.24), являющийся функцией взаимной корреляции принимаемого сигнала x(t) и ожидаемого (опорного) полезного сигнала s(t), и сравнить его значение спорогом (7.25).
Фактически в приемнике обнаружителя сравниваются не сами указанные величины, а пропорциональные имнапряжения.7.4. Оптимальный (корреляционный) приемникСтруктурная схема оптимального приемника (который по причине наличия в его составе коррелятора часто называют корреляционным) для обнаружения полностью известного сигнала изображена на рис. 7.2, а на рис. 7.3 представлены эпюры напряженийв различных точках схемы.Рис.
7.2. Структурная схема оптимального (корреляционного) приемникадля точно известного сигналаВходной сигнал x(t) и ожидаемый (опорный) s(t) начинаютдействовать в одно время t1, поэтому всегда находятся в фазе. Приотсутствии шума выходное напряжение коррелятора, в котором103производитсяz=T0вычисление∫ x(t )s(t ) dt ,функциивзаимнойкорреляциилинейно нарастало бы в течение всей длительно-0сти сигнала и достигало бы максимума в момент окончания t1 + T0входного сигнала.Рис. 7.3. Эпюры напряжений в оптимальном (корреляционном) приемнике для точно известного сигналаИменно в этот момент (τср на рис. 7.3) на пороговом устройствеследует сравнивать величину выходного напряжения в корреляторе с его пороговым значением. При этом достоверность обнаружения цели будет наибольшей.
После принятия решения о наличииполезного сигнала необходимо выполнить сброс коррелятора (снизить выходное напряжение до нуля), чтобы подготовить приемникк обнаружению следующего сигнала.104Корреляционный приемник можно использовать и для выполнения измерений. Если величина запаздывания отраженного сигнала неизвестна, то оптимальный приемник должен состоять измножества каналов (рис. 7.4).Рис. 7.4. Структурная схема оптимального (корреляционного) приемникадля сигнала с неизвестным запаздываниемКаждый из каналов приемника соответствует определенномузапаздыванию сигнала (интервалу дальности, равному одномуэлементу разрешения по дальности), т. е.
генераторы опорногосигнала в каждом канале вырабатывают функции si (t ) = s (t − tзад i ),рассчитанные на все возможные значения времени задержки tзад i .Тогда канал, в котором будет превышен порог, укажет дальностьобнаруженной цели (i — номер канала).Таким образом, для измерения времени запаздывания сигналанеобходимо сконструировать оптимальный корреляционный при105емник с несколькими каналами, каждый из которых соответствуетопределенному запаздыванию (определенной дальности).
Однакотакая многоканальность не всегда обязательна.При технической реализации оптимального приемника можетбыть применен не только рассмотренный коррелятор. Другой возможный способ вычисления взаимно корреляционной функцииT0z = ∫ x(t )s(t ) dt основан на использовании согласованного фильтра.07.5. Согласованный фильтрВ качестве согласованного фильтра (СФ) принимают такой, навыходе которого в определенный момент времени t с точностью допостоянного множителя обеспечивается равенство выходной реакции фильтра y(t) и функции взаимной корреляции z =T0∫ x(t )s(t ) dt0между принимаемым входным сигналом x(t) и точно известным(опорным) сигналом s(t).Реакция линейного фильтра y(t) в момент времени t являетсясверткой входного сигнала и импульсной характеристики фильтра,т.
е. определяется интегралом Дюамеля:y (t ) =t∫ x(τ) g (t − τ) dτ,(7.26)−∞где x(τ) — сигнал на входе фильтра; g (t − τ) — импульсная характеристика фильтра.Для цифрового исполнения фильтра справедлива формулаny (n) = ∑ x(n) g (n − k ),(7.27)k =0где n = 0, 1, 2, … — количество дискретных отсчетов; k — номеротсчета.Импульсная характеристика g(t) линейного фильтра определяется как реакция фильтра на воздействие дельта-функции (функ106ции Дирака) δ(t).
Дельта-функция обладает следующими свойствами:δ(t ) = ∞ (при t = 0);δ(t ) = 0 (при t ≠ 0);∞∫ δ(t )dt = 1 (при t = 0).−∞Потребуем, чтобы реакция линейного фильтра, т. е. функцияy(t), в момент окончания действия полезного сигнала T0 была равна (с точностью до постоянного множителя) значению взаимнойT0корреляционной функции z = ∫ x (t ) s (t ) dt , т. е.0y (T 0 ) = k0 z,(7.28)где k0 — коэффициент пропорциональности.При t = T0 выражение (7.26) преобразуется к видуy (T0 ) =T0∫ x(τ) g (T0 − τ) dτ.−∞После формальной замены τ на t будем иметьy (T0 ) =T0∫ x(t ) g (T0 − t ) dt.(7.29)−∞Для выполнения условия (7.28) с учетом (7.24) и (7.29) необходимо выполнение равенстваg (T0 − t ) = k0 s(t ).(7.30)Это проверяется путем прямой подстановки (7.30) в интеграл(7.29). Нижний предел равен нулю, поскольку полагаем, что сигнал начинается в точке t = 0.Условие (7.30) равносильно условиюg (t ) = k0 s(T0 − t ).107T0Таким образом, функция взаимной корреляции z = ∫ x (t ) s (t ) dt0в момент окончания действия полезного сигнала t = T0 будет образовываться на выходе такого линейного фильтра, импульсная характеристика g(t) которого является (с точностью до постоянногомножителя) зеркальным отображением s(T0 − t ) полезного сигналаs(t).Импульсная характеристика g (t ) = k0 s(T0 − t ) для заданногосигнала s(t) показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
