Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Единое обозначение С„будет использоваться в дальнейшем не только при оценке параметра по вещественной реализации принимаемых колебаний у, но и при оценке по комплексной реализации У. 4 3.$. Многомерный эллипсоид ошибок регулярного измерения в отсутствие априорных данных Наряду с точечными вводят интервальные оценки регулярного измерения в виде многомерных (и-мерных) эллипсоидов ошибок. Эллипсоид строится в пространстве возможных значений параметра а, охватывая оценки а (см. рис. 13.4 для и = 3). Применительно к используемому байесовскому подходу многомерный эллипсоид вводится из условий на границах эллипсоида р (а(у) = сопи( или (и — аз)' Ся (а — аз) = к'.
(13.32) Вероятность попадания истинного значения а в пределы эллипсоида (32) равна заданной СП(а~у)1 =Р.. (13.33) (а — ав)т С„(а — а ) <ка Найдем вероятности Ре попадания к-мерного вектора параметров в многомерные эллипсоиды (а — а)т С (а — а) ( к'. Вероятности не изменятся, если каждый эллипсоид путем унитарного преобразования о = 1)(а — а,) переводится в многомерный шар л Ф'СОФ= ~~ дзсгоз (кз.
с=с После преобразования плотность вероятности зависит только от радиуса где о = )с1С). Вероятности Ре удобно вычислять, вводя понятия объема и поверхности многомерного шара. Рис. 13.4 192 Величина к — это отношение главных полуосей эллипсоида к стан- дартным отклонениям параметра вдоль этих осей. Чем больше к, тем ближе значение Р, к единице. Объем многомерного шара определяют как н-кратный интеграл 7гв (/те) = ()1 б()з ". бб л (Оте,~ бз „,*) С 1 нн/2 /7к/Г (н/2+ 1) Значение Г(н/2+ 1) равно т! при четных 2ч-)- ! 2т — 1) 1 н=2т и 2 2 "'2 ... — н при нечетных и = 2т+ 1. Для и = 3 и н = 2 придем к объему шара )гз = 4и)71/3 и площади круга )тз = и/!сз.
Для н = 4 получим Рк = нзйге/2 н т. д. Поверхностью многомерного шара называют производную чъ С(с ~ айр ь а~ дб рт сс Ъ у Р 3 4 м б)гк (Я) ) 2ик/2 )7к — ' б/7 ~я=а, Г(в/2) Для в = 2 н н = 3 придем к длине окружности Зз = 2н/70 н поверхности сферы Яз = 4п/!'. Для и = 4 имеем бе = 2н/7з и т. д. Йскомыг еероятносши Р, определяются выражениями ко Р (2поз) — н/2 )" е — Л'/зо* о (/7) б/7 о Заменяя /!з/2оз = и, получаем к'/2 — "и"/' — 'би/ГЯ= ( — "', — "), О где Г (/гз/2, и/2) — неполная гамма-функция 1301 аргументов йз/2, и/2 Зависимости Р, = Р, (к) приведены для различных размерностей эллипсоида и на рис. 13.5, Из них следует, что с увеличением и при фиксированной вероятности Р, требуется увеличение к.
43.6. Простейшие примеры точечного и интервального регулярного байесовсиого оценивания 1/О е с, !а — а„)'/2 — !а — ив)*/2ои 1 — " ° 1, з ргзя о )ССБ о Отсюда или непосредственно из (28) находим дисперсию ошибок измерения бз 1 — 1 о' =~ — !и!(у ) ссс) ~ 1 с(схз 193 7 Зак. 2075 Пример 1. Найдем выражения одномерной (н !) послеопытной плотности вероятности р (а ! у), дисперсии ошибок точечной оценки и интервальную оценку скалЯРного паРаметРа сс (вРемени запазДываниЯ Сз, Дальности с/з/2) и т.
Д. Согласно (27) находим послеопытную плотность вероятности л Рис. 13.6 Рис, !3.7 Точечная оценка ан соответствует уравнению правдоподобия д 1п 1(ди = О. Многомерный эллипсоид ошибок вырождается в отрезок прямой рис, !3.6. Вероятность к 2 г Р == ) е ' 7з г(г=бз(к).
о — ) г — ) о Отсюда (или из кривых рис. 13.5) для Ро = 0,9 значение к .= Ь'2о = 1,64, 1 = 2йо = 3,26о. Пример 2. Измеряется векторный параметр а = ~ '(( единого пространственноио временного сигнала х (1) (например, с составляющими ат — дальность, а,— азимут). Ошибки измерения составляющих считаются независимыми, так что При этом Р (а ! У) =-Р (ат ! У) Р 1ао ! У) =(2п) — г о т о, ' х (иг ит) (ио аз) ц Оценки 'а и а, соответствуют решениям уравнений правдоподобия д 1п 1/ дит = О, д 1п 1)дио = 0 при а„= а„ао = ао. Значения дисперсий ошибок пд' и о, 'определяются из условий 1/нго о = ! д' 1п 1)дато Эллипсоид вырождается в эллипс ошибок (рис.
!3.7). Полуоси эллипса при Р, = 0,9, и = 2, имеют размеры кот = 2,12о,, коз = 2,12оо. Лример 3. Составляющие и„а, векторного параметра и — время запаздывания и доплеровская частота ЛЧМ сигнала. Построенный в прямоугольных коодинатах иг = т, из = Р эллипс ошибок скошен относительно осей координат рнс. 10.5, характеризуя этим взаимную зависимость ошибок измерения дальности и скорости. Матрица ошибок Си— НЕДнаГОИаЛЬиаа; ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ От, О', СВЯЗаНО С ИСПОЛЬЗОВаНИЕМ ОбЩЕ- го правила обращения матриц (см. равд.
14.6). 194 4Э.у. Послеопытнвя плотность вероятности и корреляционная матрица ошибок регулярного измерения векторного параметра прн наличии априорных данных Доопытные (априорные) данные могут заметно уточнять результирующую оценку неследящего и, особенно, следящего измерения. Зададимся нормальным доопытным распределением параметра р(а) =(2л) "7о !Со/'7~ ехр ~ — (а — ио) Со(со — ао)!23 (13.34) где ао — его доопытная оценка, С, = С'„— симметричная матрица точности. Найдем выражение логарифма послеопытной плотности вероятности (6) согласно (29), (34): !и р (и)у) = — (112)(а — и.,'' Со(а — и,) — (1/2)(я — а,)'С (а — ар)+ + сопз1. (13.35) Преобразуя (35) и изменяя постоянную, получим 1п р (а(у) = (112) ио (Со+ С„) я+(1/2) ао (Соио+ +Сряр)+(1/2)(аоо Со+яр Ср)я+сонэ(, (13.36) Введем матрицу (13. 37) и вектор-столбец Срар — — С,я,+С„я, (13.38) Как и матрицы Со = С;, Ср = С„", матрица (37) обладает свойством симметрии: Ср — — Ср.
Транспонируя (38), поэтому получаем яр Ср — — ао С +й'„Ср. (13.39) В силу (37) — (39) выражение (36) после изменения постоянной принимает вид 1пр(а)у)=- — (1/2)(а — я ) С (и — сс )+сопз1. (1340) Определяя отсюда плотность вероятности р(и ! у) и постоянную (40) из условия нормировки, приходим к стандартной форме записи многомерного нормального закона р(а(у)=(2л) — о7о (С !'lоехр ~ — ( — )(а — яр)'Ср(а — и ) ~. (13.41) Формально введенные величины Ср и ир приобретают отчетливый смысл послеопытных (результирующих) матрацы точности и оценки параметра при регулярном измерении. Последняя в силу (38) определяется выражением ир —— С (Соао + Ср ар). (13.42) 7о ° 195 Оценка ар является послеопытным математическим ожиданием параметра а й соответствует максимуму послеопытной плотности вероятности р (ы! у).
Она оптимальна по критерию минимума среднего риска как при квадратичной, так и при простой функции стоимости. Вычисление послеопытной (результирующей) матрицы точности сводится согласно (37) к суммированию матриц точности доопытного Ср и текущего оценивония Ср. Результирующая корреляционная матрица ошибок Ср' получается путем обраи(ения суммарной матрицы точности Ср, Результирующая (послеопытная) оценка параметра ар сводится к весовой сумме доопытной оценки й и оценки яр текущего измерения (без учета доопытных данных).
Матричные весовые коэффициенты составляют в сумме единичную матрицу: С, С,+С, С„С, (С,+ „) (13.43) Определяя весовой коэффициент Ср 'С, из формулы (43), преобразуем (42) к виду ар = ар+ фф(а„— ир). (13.44) Формула (44) выражает результирующую оценку через доопытную, взятую с единичным матричным весом; к ней с весом С 'Ср добавляется невязка результатов текущего и доопытного оценивания ар — а,. Формула (44) поясняет возможность поэтапного получения результирующих оценок в результате уточнения предыдущих данных на основе проведенных измерений. Такое уточнение составляет характерную особенность процесса следящего измерения параметра а. Если параметр ы не меняется за время измерения, доопытной оценкой а, является результирующая оценка предыдущего измерения. В более общем случае оценку ир получают из предыдущих данных с учетом принимаемой гипотезы о характере (модели) движения цели (см.
гл. 16, 17). Результаты доопытного и результирующего (как и текущего) оценивания могут характеризоваться при регулярных измерениях многомерными эллипсоидами ошибок. Пример 1. Параметр а сводится к скалярному а; кривые доопытной плотности вероятности р (а), отношения правдоподобия 1(у(а) и послеопытной вероятности в зависимости от измеряемого параметра представлены на рис. 13.8. Вводя доопытную дисперсию ошибки 196 ад ар ае Рис.
13.8 (13.46) Результирующая послеопытная дисперсия ор не превышает как доопытной о'„так и дисперсии измерения о„' в отсутствие доопытных данных: ор( о,', о„'( о„'. Результирующая оценка ар представляет собой весовую сумму (46) оценок а, и а„с коэффициентами, составляюшими в сумме единицу. Оценка ар располагается поэтому между оценками а, и ар (рис. 13.8). В крайнем случае ор )) о„значение ар т ар (доопытная информация ничего не дает).
В другом крайнем случае о„' )) оь значения ар ж а, (доопытная информация намного надежнее результата измерения). Весовой коэффициент невязки (46) принимает значения между нулем и единицей. Он близок к единице при о„' (( оь и к нулю при о„' ') оь. априорного оценивания о,', дисперсию ошибки текущего оценивания о„' и результирующую дисперсию о' и учитывая, что в данном случае С, = 1/оь, Ср 1/о„', Ср —— 1/ор, поясним связь между введенными величинами. Соотношения (42) — (44) принимают вид: 1/от =- 1/оь'+ 1/о„', (13.46) 2 о2 ср о а = ...,,+,,а„, ос+ар ос+ ор ар — — ао + (ор~/ор) (а„— ао) 43.8. Дискриминаторные методы оптимального измерения Для определения результирующей оценки ар согласно (44) необязательно находить текущую оценку ар на каждом этапе следящего измерения.
Более удобно оценивать иногда малую невязку а„— аь или величину ей пропорциональную. Предназначенные для этого измерительные устройства называют дискриминаторами, Одномерные дискриминаторы рассчитаны на измерение скалярных, многомерные— на измерение векторных параметров. Разновидностями одномерных дискриминаторов являются: временной, частотный и угловой дискриминатор. Будучи неотъемлемыми элементами большинства следящих измерителей (рис. 13.9), дискриминаторы строятся обычно по принципу корреляционно-фильтровой обработки. В качестве опорного в дискримннатор вводится ожидаемый сигнал с параметром а,. Следящий измеритель содержит поэтому наряду с дискриминатором цепь выработки опорного сигнала. Ожидаемое значение параметра а, формируется с помощью экстраполяторов (цепей сглаживания) по предыдущим результирующим оценкам ар и априорной модели движения цели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
