Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Особенностью кронекеровского умножения является возрастание числа скалярных элементов в матрице-произведении по сравнению с их числом в матрицах- сомножителях. Кронекеровское умножение наряду с теорией функций Уолша может использоваться при описании разделяющейся пространственно-временной обработки вида (5.31), когда пространственная и временная дискретизация используются совместно. Кронекеровской степенью называют результат кронекеровского умножения одинаковых матриц, например а!'1 = а Х а Х а.
Матрицы Адамара (| Над (й, )г) !! могут быть сведены к кронекеровским степеням вида Соответствующая рис. 12.13, а матрица дискретных функций, на- пример, имеет вид 1 1'! 1 1 — 11! — 1 1 1 — 1 — 1 ! — 1 — 1 1 Свойством кронекеровской п-й степени произвольной квадратной матрицы является возможность ее факторизации в обычное (некронекеровское) произведение квадратных матриц того же размера авй = А,А, ... А„, например, с сомножителями А,= ах1Х1Х...Х1, А,=1хах1х...х1, А„=1Х1Х1х...ха. Сомножители определяются неоднозначно; возможно, в частности, разложение на одинаковые сомножнтели, что позволяет использовать однотипные обрабатывающие узлы.
При любом методе факторизации имеется выигрыш в числе арифметических операций БПУпо сравнениюсДПУ, связанный, как и при БПФ, с большим числом нулевых элементов матриц-сомножителей. Выигрыш оценивается величиной А!Лоя, А1. Все операции БПУ, как и ЛПУ, сводятся лишь к алгебраическому сложению, поскольку элементы матриц Уолша принимают значения ц- 1. Эти преимущества используются в технике связи. Их использованию в технике обработки радиолокационной информации препятствует своеобразие свойства мультипликативности функций Уолша Юа1(т, lг) Юа1 ((ь, )г) = 1Ча1(т 9 )!, и).
Знак Ю соответствует поразрядному суммированию в двоичной системе счисления по модулю два, когда например, 3 + 4 = 011 + 100= = П1 = 1, но 3+ 3 = 011+ 011 = О. В отличие от дискретных экспоненциальных функций целых аргументов е!'к ь!н, умножение которых на ем"пьlн приводит к циклическому сдвигу номеров т, переводящему их в номера т+ и (шоб М), для функций Уолша справедлив диадный сдвиг. Так, сдвиг на и = 3 = 011 последователь- 6* 1ВЗ ности т = О, 1, 2, ...
7 дает переставленную последовательность т Ю р = 3, 2, 1, О, 7, 6, 5, 4. Обратное преобразование Уолша от произведения преобразований Уолша двух дискретных выборок приводит не к их обычной (арифметической), а к диадной свертке Х вЂ” ! юд "— ~~~ я! Ое !=о где р = !7 Я 1, знак Я вЂ” знак поразрядного вычитания по модулю два. В последнее время появились работы по переходу от диадных сверток к арифметическим (74), в частности для автокорреляционных функций. Однако эффективность использования функций Уолша в технике обработки информации остается пока еще не выясненной.
42.7. Числовые преобразования как возможный метод цифровой обработки Для получения сверток в цифровой форме могут использоваться числовые преобразования. Числовым называют неокрдгленное преобразование последовательности чисел заданной разрядности в последовательность чисел той же разрядности с использованием опера!)ий сравнения по модулю 1 (модульного сложения, умножения, возведения в степень). Наряду с положительными числами и степенями используют отрицательные. Число ( — Ь) определяют так, что ( — Ь) + + Ь = О (глод 1), степень Ь ' так, что Ь 'Ь = 1 (пюй 1).
Например 2 = 3 ' (!пой 5), так как 2 3 = 1 (шод 5). К числу прямых и обратных преобразований последовательностей из М чисел [35) относят: И вЂ” ! дь — ~ч~~ у !хь'" (топ' 1), (! 2.26) т=ь Х вЂ” ! д„= Л! ' ~чз~ д сь — (шой 1). (12. 27) !!= ь Длина последовательности й! и модуль 1 не должны иметь общих сомножителей (чтобы число 51 ' существовало).
Длина л1 должна быть делителем функции Эйлера Ч! (1), т. е. числа целых чисел, меньших 1 и взаимно-простых с 1 (см. равд. П.2). Число сь выбирается так, чтобы оно было взаимно-простым с 1, а сьн = 1 (шой 1). Последнее требование является аналогом используемого при ДПФ и БПФ соотношения и!н=1, где и! = е!'в!н.
Число ! — аь не должно иметь общих множителей с 1 для всех А от О до !!1 — 1. Модуль 1 выбирают чаще всего в форме Ферма или Мерсенна 1 = 2ч ~ 1, где !7 — целое. Выражения (26), (27) базируются на матричном сравнении (! ссь'" '3)) а-ь'")( = Л'1(шой 1). (12.28) На нем же базируется использование (26), (27) для получения круговых и линейных сверток. Поясним это на примерах.
164 уо=!'1+2'1+0+0=3 ус=! 1+2 4+0+0=9 уз=1.1+2 16+0+0=16 Уз=11+213+О+0=10 (спой 17). Пример 2. Найдем обратное преобразование полученной в примере 1 числовой последовательности. Значение )о' г = 4 г = !3 (той 17), так как 4 13 = 1 (щой 17). Кроме того, ссо — а — о 1 о-з и — з а-о . НП ~(пюй 17).
и-о =а-з=-... =16, сс-з = а-т —... =4 При этом возвращаемся к исходной последовательности примера 1 у = !3(3-(-9+ уй+!О) =13 4=1 ус —— 13(3 1+9 13+16 16+10 4)=2 у,= !3(3.1+9. !6+16 1+ 10.16) =0 уз — — 13(3 1+9 4+16 16+10.13)=0 (гной 17). Пример 3. Видоизменим пример 1, выбирая а = 4-з = 13 (гной 17). Необходимые условия при этом соблюдаются, кроме того, имеем (см.
пример 2) ао =- 1, ссг = 13, из =- 16, а' = 4 (той 17). Тогда до=! 1+2 1+0+0=3 у,=1. !+2.13+0+0= !О уз=! 1+2 16+0+0=16 уз=!1+24+0+0=9 (спой 17). Пример 4. Найдем автокорреляцнонную функцию (отклик согласованного фильтра) для последовательности 1, 2, О, 0 методом числового преобразования. Ответ заранее очевиден: ..., 2, 5, 2, О, Числовое преобразование автокорреляционной функции нельзя получить путем возведения в квадрат спектра примера 1, как это сделано как раз для рассматриваемого примера в (34, с.
472). Спектр БПФ умножался бы в подобном случае на сопряженный, а не возводился бы в квадрат. При числовых преобразованиях это соответствует замене а на а — Ч Перемножая результаты примеров 1 и 3, имеем узвых = 3 ° 3 = 9, новых = 9 ' 10 = 5~1 (спой 17). узвых=16 16=1 йзвых=10 9=5 Обратное преобразование приводит к правильному (с точностью до циклического сдвига) результату юо= — 13 (9+5+1+5) =5 и з = 13 (9.! + 5 4+ 1 16+ 5 13) = 2 щз — — 13(9 1+5 16+1 ° 1+5 16) =0 во=13(9 1+5 13+1 16+5 4) =2 (спой 17).
Пример 1. Выберем ! = 2о+ 1 = 17, а сс = У = 4, где числа 1 и М— взаимно-простые. Число У является делителем ф (1) = 16. Число а является взаимно-простым с 1, а а' = 256 = 1 (гпой 17). Остальные степени а имеют внд ао = аз = 1, иг =- ао = 4, аз = и' = 16, аз =- аг = 13 (гной 17). Числа 1 — аз (гной 1) не имеют с!общих множителей. Найдем преобразование четырех- элементной числовой последовательности 1, 2, О, О.
В результате преобразования имеем: В заключение подчеркнем, что числовые преобразования не имеют шумов округления. Они экономят время получения сверточных сумм при высокой точности счета. Матрицы преобразований при составных Л' цлгкторизуются (по модулю) и в этом случае. Умножение на степени а заменяется сдвигом разрядов, что упрощает вычисления. Поэтому актуальны исследования путей использования числовых преобразований в устройствах цифровой обработки и, в частности, путей преодоления трудностей запоминния большой совокупности разрядов. 42.8. Новые аналоговые методы обработки. Двухимпульсная методика обработки с использованием сливового зха В основе любой временной обработки, и в частности, когерентиой, лежит запоминание информации. Современные методы запоминания, не ограничиваются использованием запаздывания акустических и радиоволн или статической памяти элементов цифровой обработки. Для сохранения информации используют также: — изменения магнитного (спинового) состояния вещества; — возбуждение магнитоакустического волнового процесса; — изменение оптических свойств веи(ества под воздействием акустических, химических, механических (термопластических) магнитных и других эффектов.
Начнем с использования изменений магнитного состояния вещества и связанного с этим эффекта спннового эха по так называемой двухимпульсной методике. Согласно современным квазиклассическим представлениям, электроны и ядра атомов обладают взаимосвязанными магнитными и механическими моментами (спинами). Магнитные моменты ориентируются вдоль приложенного постоянного магнитного поля. Механический момент спина, совпадающий по направлению с магнитным, придает его ориентации устойчивость, наподобие гироскопу. Пусть, например, перпендикулярно направлению вектора индукции начального постоянного магнитного поля в ферромагнетике включается добавочное постоянное магнитное поле. Оно не может привести к мгновенной переориентации спина, а вызывает его сл свободную прецессию (рис.
12.14, а) еэл с феррорезонансной частотой н р —— = 2л~ер — — уВь, где у — магнито- 'Я - ю механическое (гиромагнитное) отношение. Прецессионйое движение через некоторое время затухает и спин электрона ориентируется вдоль измененного магнитного поля. Это происходит, когда израсходуется энергия, приобретенная при переориентации спина. Спин в постоянном магнитном поле ве- вл мь Рис.
12.14 166 ди б, ««бр,«б 1, ная система с собственной частотой рзфр, способная запасать энергию. Аналогично ведет себя спин, когда на постоянное магнитное поле В, накладывается переменное с частотой, близкой к Рис. 12.16 вфр. Пусть это переменное поле действует в йлоскости, перпендикулярной направлению постоянного. Под воздействием переменного поля спин как колебательная система приобретает дополнительную энергию.
Ось спина отклоняется в связи с этим от направления постоянного магнитного поля (рис. 12.14, б). Угловая скорость отклонения оси (нутации) а„ = 0,5уВ,р, где В , — амплитуда переменного магнитного поля. В результате нутации колебательная система запасает энергию. Сохраняется на определенное время информация об амплитуде и фазе узкополосного колебания, воздействовавшего на резонансной частоте высокодобротной спиновой системы. Высокая добростность обеспечивается путем надлежащего выбора вещества. В силу естественной неоднородности магнитного поля резонансные частоты несвязанных спиновых систем распределены в определенной полосе частот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
