Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 31
Текст из файла (страница 31)
разлагаться на множители (например, Л/ = 8 = 2 х х 2 х 2, Л' = 50 = 3 х 4 х 5). В зависимости от состава, числа и порядка следования указанных множителей можно получить различные алгоритмы БПФ. Наибольшее внимание уделяют значениям Л' в виде целочисленных степеней оснований 2, 4 или 8, что позволяет многократно делить преобразуемую последовательность на подпоследовательности, 1/4-последовательности или 1/8-последовательности. Рекомендуется сопоставлять варианты выбора оснований 2, 4, 8 с позиций получения наибольшей экономии.
Принцип получения экономии поясним для случая, когда число Л/ является целочисленной степенью основания два: Л/ = 2". Тогда последовательность 1'2 разбивается ни две падпоследовательности 1 2! 1 чет ! и Уе!+2 = Утечет ! с половинным числОм членов. Введя ДПФ подпоследовательностей Н/2 — 1 ~нет ее ~Л~~ 1 чет ! е !-2 Н/2 — 1 нечет те ~л'„/ 1 нечет ! е о (12.15) представим ДПФ последовательности (10) в виде /!ш =бент и!+е бнечет т' (12.16) !56 ваниях ожидаемого сигнала. Интересуются в первую очередь операциями комплексного умножения, включающими значительное число более элементарных операций сложения. Число операций комплексного умножения при обработке во временной области сигнала с известным запаздыванием из ч дискрет со! ставляет ч, для 2! возможных его запаздываний че.
Число операций умножения при обработке в частотной области (без принятия специальных мер к его сокращению) составляет: Л/ = йч для получения дискреты спектра ДПФ; Л/2 — для получения всех Л/ его дискрет; Л/ — в устройстве преобразования спектра; Л/' — в устройстве 'ОДПФ.
Полное число операций умножения 2Л/'+ Л' при Л/ )) 1 примерно в 8 раз больше, чем для обработки во временной области. Перспективность обработки в частотной области определяется поэтому только сокращением потребного числа операций умножения путем перехода к быстрому преобразованию Фурье (БПФ). Величины О„„„и О„,„„в (16) достаточно вычислять для целочисленных индексов меныиих Л1/2, поскольку в силу (15), (16)- (12.17) От+я/2 = Очет т е Овечет ы Тем самым заметно сокращается потребное число операций комплексного умножения по сравнению с величиной Л' Х й = Ф' при прямом ДПФ (10).
Экспоненциальные множители (16), (17) учитывают влияние временного сдвига нечетной последовательности относительно четной. Разбиение на подпоследовательности можно проводить и = 1ояз )ч' раз, пока в каждой из подпоследовательностей не окажется по одному члену, так что вычисление (15) не потребует операций умножения. Должны учитываться поэтому только операции умножения (!6), ' (17) для различных т при разбиениях на подпоследовательности. Число этих операций при первом разбиении составило Л1!2. Такое же число Ы2 операций потребуется при втором и каждом последующем разбиении: вдвое возрастает число подпоследовательностей, вдвое сокращается наибольшее значение т в (16), (17).
Общее число операций комплексного умножения при БПФ оценивается величиной п7У72 = = 0,5)ч' 1од, Л'. Сокращение числа операций комплексного умножения БПФ относительно ДПФ примерно оценивается отношением й'(0,5Ф 1оязЖ = = 2Л(!1ойзЛ/. Величина выигрыша при больших Ф может быть значительной. Сокращается и число операций комплексного сложения. На первом этапе разбиения требуется провести У операций, столько же на каждом из последующих этапов. Общее число операций п)У ж ж Ж 1оя, Ф в ЛЧ1ояз Я меньше соответствующей величины У' при ДПФ. Принцип БПФ сводят иначе к разложению на множители (факторизации) кеадратной матрицы Д)7Ф.
Квадратная матрица 1в"л1, где ю = е — ютн, определяет ДПФ в виде 10„,1 — 1ин"л11 Ъ'ь ). Процедура разбиений последовательности г'„на подпоследовательности равносильна, как будет показано на примере, представлению матрицы (и "1 в виде произведения матриц с большим числом нулевых элементов. Факторизация матрицы 1в "1, дает еще одно объяснение сокращению числа операций при БПФ, позволяя лучше охватить совокупность проводимых операций в целом. Один из возможных приемов факторизации основан на процедуре разбиений.
Пример. Проследим разбиение на подпоследовательности и факторизацию матрицы ДПФ для случая У = 2' = 8. Последовательность У„У, ..., У, разобьем на четную Ум У„ 1'ю 1', и нечетную 1'» 1'е, Ум У, подпоследовательности первого порядка с частными фурье-преобразованиями О, и О„(т = О. 1, 2, 3). Элементы фурье-преобразования последовательности выразим согласно (15), (16) через элементы фурье-преобразований этих под- 157 последовательностей бо = Очо + Оио Оз = б„, + и 6„„ Оз Очз + ш Оно~ бз =- 6 з + в Он„ (12.!8) Четную и нечетную подпоследовательности первого порядка разобьем на подпоследовательности второго порядка: У„ У« (чч), У„ У, (чн), У„ Уз (нч) и У„ У,(нн); знаки «ч», «н» характеризуют четкость, нечетность подпоследовательности после первого и второго разбиений. Полагая в (15), (16) !У = 4 и т = Л (Л = О, 1) для входящих в правую часть равенства (18) величин, получаем О.х = 6~их.
+ шз'бч~х., б~х = бича+ иР» Оиих, Оч (з+ь) = бччх изх Очи», Ои (о+х! = бича шзх Оиих. (12 19) Согласно (15) при Ф/2 = 2, в 6 о=У +Уз Оччт = У о — Ум 0",=У,+У„ Очи! = Уз Уо свою очередь, Ончо 1 з ~'1 з Он„= У,— У„ Очно=)з+1« Он„, = У,— У,. (12.20) Совокупность соотношений (18) — (20) приводит к матричной записи, которая при опущенных нулевых элементах имеет вид 1 1 1 зн 1 яР 1 — 1 1 — «о 1 ! 1 1 1 — 1 1 1 1 — 1 1 1 1 1 — 1 (12.21) 1 1 1 ,нз 1 — 1 ао 0„ оз оз оз а, Очо бно Оз бчз и'бн1 Оо Очи и' Онз бз Очз зв Онз. !о У1 Уз !'« ! 6 !в Уч ача ачча Уа аа 1'г 17 Рис. 12.10 Первый сомножитель правой части (21) соответствует операциям (18), второй — операциям (19), третий — операциям (20). Сомножители правой части (21) факторизуют в результате исходную матрицу ДПФ ) и» "'1.
На рис. 12.10 представлен направленный сигнальный граф БПФ, соответствующий преобразованию (21). Кружками показаны входы, выходы и сумматоры преобразующей цепи. Операциям умножения соответствует простановка множителей вдоль соединительных линий. Сравнительно малое число этих множителей свидетельствует об экономии в операциях комплексного умножения по сравнению с обычным ДПФ. 12.5. Реализация и использование быстрого преобразования Фурье Для реализации БПФ могут использоваться однотипные арифметические микропроцессорные элементы. Примером служит элемент «бабочка» рис. 12.11, используемый при числе элементов выборки в виде целочисленной степени основания два. Для реализации графа рис. 12.10 достаточно иметь 4 х 3 = 12 однотипных элементов <бабочка» с промежуточными оперативными запоминающими устройствами (ОЗУ). Устройство БПФ может быть построено по поточной (конвейерной) схеме, в виде последовательного соединения процессоров 1За и ОЗУ (рис.
12.12). Каждый процессор включает четыре микропроцессора «бабочкак 1 Алгоритмы БПФ уже находят применение для спектр льного анализа — в импульсно-доплеровских РЛС, для формирол ванин угловых каналов — в РЛС с фазил! рованными антенными решетками, для цифрового сжатил — в РЛС с ЛЧМ и другими широкополосными зондирующими сигналами. Уже однократное БПФ реализует многоканальный спектральный анализ по доплеровским частотам, оправдывающий его применение в импульсно-доплеровских РЛС. Однократное БПФ строки антенной решетки реализует совокупность одномерных угловых каналов.
Дополнительное БПФ по строкам позволяет перейти к двумерным угловым каналам с игольчатыми характеристиками направленности. т а««ес«- еле лл«~ж— вге лл«««с- агу сл ««л й77 Рис. 12.12 Как при спектральном анализе, так и при угловой обработке может использоваться весовая обработка (умножение элементов выборок на весовые множители) с целью понижения уровня боковых лепестков. При цифровой фильтрации преобразованные в результате БПФ дискреты входного колебания 6! умножают на элементы К! известного вектор-столбца К (рис. 12.9). Затем производится обратное преобразование Фурье (ОБПФ) с квадратурной обработкой.
Реализованы цифровые фильтры широкополосных ЛЧМ сигналов скоэффициентами сжатия 10' (число !т' более 10«) (141). Возможности цифровой обработки еще больше расширятся по мере освоения гигабитовой электроники (до 1000 двоичных знаков в микросекунду И 42), см. также равд. !2.11). 42.6. Преобразования Уояша как возможный метод цифровой обработки Дискретные функции Уолша — Адамара определяются соотноше нием Над (й, й) = ( — 1)"' ". (12.22) Здесь 1! = .г,'й!2"-! и й = чР,й!2"-! — целые числа в пределах от ! 1 0 до !"1 — 1, где А! = 2"; Ь = )! 1«! !! и 1« = !! й! !! — вектор-столбцы, 160 Табл и ца 12.! составленные из их двоичных разрядов.
Число й считают аргументом функции, а число й — ее номером (порядком). Например, при п = 2 аргумент й и номер й, описываемые двумя двоичными разрядами, принимают по й! = 2' = 4 значения. Эти значения Нао(й, й)= = ( — 1)о' ел и* сведены в табл. 12.1 и представлены на рис. 12.13, а. Дискретные функции рис. 12.13, а напоминают дискретные гармоники Фурье, однако их нумерация (упорядочение) непривычна: наивысшей (в обычном пони- з=! ! о=оо и=о! о=!о 0=00 1=01 2=!0 3=!1 оо!(р,В ноо!Ю и'а! ге,ю и г г г 2 Рис. 12.13 1б! б звк. зоуо мании) оказывается первая, а ие третья гармоника.
Поэтому появление перенумераций функции Уолша — Адамара (Наоашагд) неудивительно. Функция Уолша — Пали (Уолша в,нумерации Ра!еу) определяется как функция Уолша — Адамара с измененным номером Ра!(р, й) = На!( (й, й). Двоичные разряды номера й инвертированы при этом по сравнению с двоичными разрядами номера р. Поэтому на рис. 12.13, б, где представлены функции Уолша— Пэли, первая функция рис.
12.13, а (1 = 01) стала второй (10 = 2). Функции Уолша — Уолша (Юа!зй) сводятся к функциям Уолша— Пали с измененными номерами %'а1 (и, й) =- Ра1 (р, й). Двоичные разряды р„измененного номера р выражают при этом через разряды ши номера ш по формуле р„= и ! + шк (шоо) 2), полагая шо = О (иногда матрицу !! ауь, 1~ обозначают Ь Х а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
