Колебания в механических и электрических системах (1019797), страница 6
Текст из файла (страница 6)
При малых значениях логарифмическогодекремента затухания можно получить следующие соотношенияπ(7.14)Q = = πN eλИз последнего выражения видно, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne , совершаемых системой за времярелаксации, когда амплитуда уменьшается в «e» разQ ~ Ne2πПри малом затухании, когда β 2 << ω 02 , период T ≈ T0 =,ω0тогдаQ=ωπ= 0βT0 2β(7.15)518. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМКОНТУРЕВыше (раздел 5) рассматривался колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных индуктивности и емкости.
В таком контуре имеют место незатухающие гармонические колебания. Реальные электрические системы всегда обладают некоторым сопротивлением, поэтому в действительности простейшая схема колебательного контура, помимо индуктивности иемкости, должна включать в себя также последовательно соединенное сопротивление R (рис. 8.1).Уравнение для этого контура имеет вид (см. (5.3))iR + U C = ε инд(8.1)В равенстве учтен член iR , который представляет собой падение напряжения на сопротивлении.
Преобразуем его, принимаяqво внимание соотношения (5.1), (5.2) и U c = . ПолучимC1(8.2)Lq&& + Rq& + q = 0CВведем, как и ранее, обозначения для собственной частотыконтура52ω0 =1LCи коэффициента затуханияβ=R2L(8.3)С учетом этого, дифференциальное уравнение затухающихколебаний в электрическом колебательном контуре имеет видq&& + 2 β q& + ω 02 q = 0(8.4)Оно идентично уравнению (7.3) для механических систем.R2122<решениеПри небольшом затухании β < ω 0 или2LC4Lпоследнего уравнения запишетсяq = q0 e − βt cos(ωt + ϕ )(8.5)где циклическая частота затухающих электрических колебаний равнаR21(8.6)ω=− 2LC 4 LТо есть, как и для механических систем, частота затухающих колебаний ω меньше собственной частоты ω0.
Наличие сопротивления R в контуре приводит к тому, что при возникновении колебаний их электрическая энергия, в соответствии с законом Джоуля - Ленца, тратится на выделение тепла. Вследствиеэтого, электрические колебания с течением времени затухают.График q(t) аналогичен зависимости x(t), изображенной на рис.17.1,а.
При R = 0 формула (8.6) переходит в ω =, что соотLCветствует незатухающим колебаниям.Закон изменения напряжения на конденсаторе получим разделив выражение (8.5) на величину емкости С53U =q0 − βtecos (ω t + ϕ ) = U 0 e − β t cos (ω t + ϕ ) (8.7)Cгде U 0 =q0- амплитудное значение напряжения на конденсаCторе.Зависимость силы тока от времени можем получить, проделавте же операции, что и в разделе 5i = q& = q 0 e − β t [− β cos (ω t + ϕ ) − ω sin (ω t + ϕ )](8.8)Умножим и разделим оба слагаемых на величинуω0= 1.
Введем угол ψ, определяемый равенствами22ω +βββcosψ = −=−ω0ω2 + β 2sin ψ =ω=ωω0(8.9)ω2 + β 2Тогда выражение (8.8) можно привести к видуi = q0ω 0 e − βt cos(ωt + ϕ + ψ )(8.10)π< ψ < π , т.к. исходя из2(8.9) cosψ < 0, sinψ > 0. Следовательно, при затухающих колебаниях в контуре сила тока опережает по фазе напряжение на кон-Угол ψ может принимать значенияденсаторе более чем наππ2. При малом затухании этот сдвиг фаз.2Упомянутые при рассмотрении затухающих колебаний величины, характеризующие процесс затухания: τ, λ, Q используются и в случае электрических колебаний. Приняв во вниманиезависимость ω0 и β от электрических параметров контураблизок к541и (8.3), получим для логарифмического декремента заLCтухания выражениеR 2π πR(8.11)⋅=λ = βT =2L ωLωω=(При малом затухании колебаний β2<< ω 02) ω ≈ ω0 =1,LCтогда для логарифмического декремента затуханий получимC(8.12)λ = πRLи добротность контура в соответствии с формулой (7.14) можно будет определить так1 L(8.13)Q=R CТак же как и для механических систем, при большом затухании ( β 2 ≥ ω 02 ) вместо колебаний в контуре происходит апериодический процесс.
Здесь он сопровождается разрядом конденсатора. Критическое сопротивление Rk, соответствующее переходуот колебаний в контуре к апериодическому режиму, определяетсяиз условияRk21=4 L2 LCОткудаL(8.14)Rk = 2CПример 4.Рассмотренный выше контур, состоящий из последовательно соединенных конденсатора, индуктивности и сопротивленияявляется наиболее характерным, но не единственно возможным.55Рассмотрим контур, в котором эти три элемента соединеныпараллельно (рис. 8.2)Определим частоту затухающих колебаний в этом контуре.Выберем направления токов так, как это показано на рис.
8.2.В соответствии с первым правилом Кирхгофа(8.15)i1 = i 2 + i3В соответствии со вторым правилом Кирхгофа для участка синдуктивностью и сопротивлением имеемdi(8.16)Ri1 = − L 2dtДля участка с сопротивлением и конденсатором:qRi1 = −C(8.17)Дифференцируя (8.17) по времени, учитывая (8.15) и соотноdqшение i3 =, получимdtdi ⎞1⎛ diR⎜ 2 + 3 ⎟ = − i3(8.18)dtdtC⎝⎠С учетом (8.15) уравнение (8.16) записывается в виде56R (i2 + i3 ) = − Ldi 2dtРешая уравнение (8.19) относительно i3, получимL di2i3 = − i 2 −R dt(8.19)(8.20)Из (8.20) следует:di3di2 L d 2i2=−−dtdt R dt 2(8.21)В результате подстановки выражения (8.20) в (8.18) и с учётом(8.21) получим уравнение относительно тока i2:⎛ di2 di2 L d 2 i2 ⎞ 1 ⎛⎟ = ⎜ i2 + L di2 ⎞⎟R⎜−−⎜dt R dt 2 ⎟⎠ C ⎝R dt ⎠⎝ dtПосле простых алгебраических преобразований это уравнениеприводится к видуd 2 i21 di21++i2 = 0(8.22)2RCdtLCdtСопоставление уравнения (8.22) с уравнениями для затухающих колебаний (7.3) и (8.4) показывает, что в данном случае11 1, ω0 =.
Поэтому, в соответствии с (7.7) цикличеβ=2 RCLCская частота затухающих колебаний определится по формуле11(8.23)ω=−LC 4 R 2 C 2Из (8.23) следует, что, в отличие от случая последовательновключенного сопротивления (рис. 8.1), в случае с его параллельным соединением (рис. 8.2) незатухающие колебания будутиметь место не при R=0 (см. выводы после формулы (8.6)), а при1).R = ∞ (при этом ω = ω 0 =LC579. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХСИСТЕМ. РЕЗОНАНСДля поддержания незатухающих колебаний в механическойсистеме, которая, как было указано выше (раздел 7), всегда подвержена действию сил сопротивления, необходимо воздействовать на нее переменной внешней силой. Эта внешняя сила должна подталкивать тело ( в частном случае материальную точку) тов одну, то в другую сторону.
Работа этой силы должна непрерывно восполнять убыль энергии, затрачиваемой на преодоление силтрения. Такая переменная сила называется вынуждающей. Колебания, которые происходят в системе под действием периодически изменяющейся внешней силы, называются вынужденными колебаниями.Исследуем влияние вынуждающей силы на затухающие колебания пружинного маятника (раздел 7).
Пусть внешняя силаизменяется по гармоническому законуF = F0 c o s ω в t ,(9.1)где F0 амплитудное значение вынуждающей силы, ωв - частотавнешней силы.Тогда суммарная сила, действующая на груз (7.2), дополнитсявынуждающей силойF = − kx − rx& + F0 cos ω в t(9.2)В соответствии с этим уравнение движения маятника приметвидmx&& + rx& + kx = F0 cos ω в t(9.3)или&&x + 2 β x& + ω 02 x =где, как и ранее, β =F0cos ω в t ,mr- коэффициент затухания, ω 0 =2m(9.4)km58собственная частота колеблющейся системы.Уравнение (9.4) называется дифференциальным уравнениемвынужденных колебаний.С точки зрения математики уравнение (9.4) является неоднородным.
Общее решение такого уравнения является суммой общего решения xсв однородного уравнения (7.3) и частного решения xв неоднородного уравнения (9.4)x = xсв + xв(9.5)где xсв - решение, которое соответствует свободным затухающим колебаниям и может быть представлено в виде (7.5)xсв = A0 e − β t cos (ω ′t + ϕ ) ,(9.6)ω ′ = ω02 − β 2 - частота свободных затухающих колебаний,xв - частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям.Свободные колебания, определяемые решением xсв , довольно быстро затухают.
Что касается вынужденных колебанийxв , то они будут иметь место в течение всего времени действиявозбуждающей силы, и их частота будет совпадать с частотойвозбуждающей силы, поэтому далее индекс у циклической частоты будем опускать, памятуя, что частота ω означает частоту вынужденных колебаний. Не будем останавливаться на свободныхколебаниях, т.к. они играют существенную роль лишь в начальной стадии процесса. Основное внимание уделим вынужденнымустановившимся колебаниям.Для нахождения решения уравнения (9.4) перепишем его сиспользованием комплексных чисел (раздел 2) в виде&x& + 2 β x& + ω 02 x = −F0 iω tem(9.7)59Избегая сложных математических выкладок, которые можнопочерпнуть в литературе, запишем частное решение (его вещественную часть) уравнения (9.4)F0⎛2 βω ⎞⎟mcos ⎜ ω t − arctg 2x=(9.8)2 ⎟⎜2ω0 − ω ⎠⎝ω 2 − ω 2 + 4 β 2ω 2(0)Выражение, стоящее перед функцией косинуса, представляетсобой амплитуду вынужденных колебанийF0m(9.9)A=2ω 02 − ω 2 + 4 β 2 ω 2()Как видно, амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде возбуждающей силы F0 и зависит от еечастоты.В случае вынужденных колебаний мы имеем дело с наличием двух гармонических колебаний одинаковой частоты, участвующих в одном явлении, поэтому физический смысл имеют нефазы каждого колебания в отдельности, а разность этих фаз(см.
раздел 6). Из уравнения (9.1) видно, что начальная фаза вынуждающей силы равна нулю. А значение φ, определяемое поформуле,2βωtgϕ = 2(9.10)2ω0 − ωпредставляет собой отставание по фазе вынужденного колебанияот обусловившей его вынуждающей силы.Исходя из сказанного выше, можно заключить, что функция(9.8) описывает установившиеся вынужденные колебания, которые графически представлены на рис.9.1. Амплитуда вынужденных колебаний достигает постоянной величины, определяемойформулой (9.9), не сразу после начала действия вынуждающей60силы.Рис 9.1Требуется некоторое время, чтобы энергия, поступающая всистему извне за счет работы внешней силы, сравнялась с энергией, теряемой системой при работе силы трения (процесс установления колебаний).Проанализируем зависимость амплитуды вынужденных колебаний (9.9) от частоты возбуждающей силы.
Если частота этойсилы стремится к нулю (ω → 0), то есть имеют место очень медленные колебания, то амплитуда вынужденных колебаний (приF0β = const) стремится к величине. С увеличением частоты ωmω 02амплитуда начинает расти, так как уменьшается знаменатель вформуле (9.9). Рост амплитуды происходит до тех пор, пока ω неприблизится к ω0. При дальнейшем увеличении ω (когда ω становится больше ω0) знаменатель в формуле (9.9) начинает увеличиваться, в результате величина амплитуды уменьшается и приω → ∞ амплитуда стремится к нулю.61Рис 9.2Явление резкого возрастания амплитуды вынужденныхколебаний, когда частота вынужденных колебаний приближаетсяк собственной частоте колебательной системы, называется резонансом. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний отчастоты вынуждающей силы называется резонансной кривой(рис.
9.2).Резонансная частота ω рез , строго говоря, не совпадает с частотой ω 0 собственных колебаний. Чтобы определить значениеω рез , надо приравнять к нулю производную по ω от выражения(9.9). Тогда резонансная частота будет определяться такω рез = ω02 − 2β 2(9.11)Подставив это значение ω рез в (9.9), получим выражение для амплитуды при резонансе62Aрез =F0m2 β ω02 − β 2(9.12)Резонансные кривые, приведенные на рис. 9.2, представленыпри разных значениях коэффициента затухания β . Видно, чтопри малом трении, когда β << ω0 резонансная частота ω рез ≈ ω0 .Подставив это в (9.9), найдем в этом случае амплитуду при резонансе при малом затуханииF0Aрез =2mβω0Учитывая, что добротность в этом случае, в соответствии с(7.15), определяется такωQ= 0,2βполучимFAрез = 0 2 ⋅ Qmω0Таким образом, острота резонансной кривой связана с добротностью колебательной системы. При увеличении Q растет амплитуда при резонансе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
