Колебания в механических и электрических системах (1019797), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Записываетсяy = Im z10Вещественному числу х соответствует точка на оси х. Комплексному числу z можно сопоставить точку на плоскости с координатами х, y (рис. 2.2)Рис 2.2Введем полярные координаты ρ и θ и свяжем обе пары координат соотношениямиx = ρ cos θ ;y = ρ sin θ ;ρ = x2 + y2 = zИспользуя теперь формулу Эйлераe i θ = cos θ + i sin θ ,уравнение гармонических колебанийx = A cos (ω t + ϕ )можно представить в комплексной формеx = Aei (ω t + ϕ )то есть вещественная часть комплексного числа представляет собой гармоническое колебание.Использование этого метода облегчает решение дифференциальных уравнений колебаний, которые имеют сложную форму, обусловленную учетом сил сопротивления среды и наличием внешней вынуждающей силы.113. МЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯПРУЖИННЫЙ МАЯТНИКРассмотрим динамику колебаний механических систем.Рис.
3.1Пусть имеем пружину с коэффициентом жесткости k (рис3.1.а). Прикрепим к этой пружине груз массы m. Тогда пружинарастянется на некоторую величину (рис 3.1.б). Ось x выберемвертикально вверх и примем за начало отсчета точку O, соответствующую состоянию равновесия пружины с грузом (рис 3.1.б).В этом положении (б) пружина растянута на величину x0 посравнению с недеформированным состоянием (а).При равновесии на груз действуют упругая сила F0 = kx 0rсо стороны пружины и сила тяжести mg , которые равны по модулю и противоположны по направлению. Следовательно,12(3.1)mg = kx 0Если груз сместить от положения равновесия вверх или внизи отпустить, то он начнет колебаться.
Пусть в некоторый моментвремени координата груза равна3.1.в) наr х. В этот момент (рисvгруз действуют упругая сила F и сила тяжести mg . Пружинаrпри этом сжата на величину x − x0 . Сила F направлена вниз иее проекция на ось х равна Fx = − k ( x − x0 ) .
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось хma x = Fx + ( mg ) xУчитывая, что a x =d 2x2= &x& , получимdtm&x& = − k ( x − x 0 ) − mg = − kx + kx 0 − mg .Подставляя (3.1), будем иметьm&x& = −kx(3.2)или&x& +kx=0m(3.3)k= ω 2 , придем к уравнению (1.5). Следовательно,mзакон движения груза на пружине соответствует дифференциальному уравнению гармонических колебаний, для которых зависимость координаты от времени имеет видx = A cos( ω t + ϕ )(3.4)ОбозначивЦиклическая частота при этом равнаk(3.5)ω=mОна зависит от механических свойств колеблющейся системы:массы груза и коэффициента жесткости k пружины и не зависитkназываот амплитуды колебаний и времени.
Величина ω =mется собственной частотой колебательной системы.13Решение (3.4) содержит две постоянные амплитуду А и начальную фазу φ. Эти величины определяются из начальных условий.В качестве начального момента времени принимается моментt=0. Предполагается, что в этот момент известны значения координаты x(0) = x0 и скорости x& (0) = V0 . Подставляя это вx = A cos (ω t + ϕ ) ,x& = − A ω sin (ω t + ϕ ) ,получим(3.6)x ( 0 ) = x 0 = A cos ϕ(3.7)x& (0) = V0 = − Aω sin ϕxИз (3.6) следует cos ϕ = 0 .Из (3.7) можно получитьAVsin ϕ = − 0 .
Подставляя последние равенства в основное тригоAωнометрическое тождество sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 , получимV 022A ω2+x 02A2=1Откуда можно найти амплитуду колебанийA=x02+V02(3.8)ω2и начальную фазуtgϕ = −V0x 0ω(3.9)Эти колебания имеют периодT=2πω= 2πmk(3.10)Механическая система может совершать гармонические колебания не только под действием упругой силы, но также под14действием силы или суммы сил любого происхождения, для которых будет иметь место выражение вида (3.2), то есть,(3.11)Fx = − kxТакая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы. Поэтому силу, действующую на систему, совершающую колебания и возвращающую ее в положение устойчивогоравновесия, называют квазиупругой силой.
Приставка «квази»(quasi, лат.) означает «якобы». Квазиупругая сила пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположнуюсмещению к положению равновесия, об этом свидетельствуетзнак «минус» в формуле (3.11). Коэффициент k в этом случае будет называться коэффициентом квазиупругой или возвращающей силы.В рассматриваемом примере колебания совершаются за счетпервоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колеблющуюся систему. Такие колебания называются свободными (или собственными). Термин«свободные» означает, что в процессе колебаний на систему недействует какие – либо внешние силы.Колебания (3.4) являются незатухающими, поскольку с течением времени их амплитуда А остается неизменной, весь процесс является периодическим повторяющимся и протекает скольугодно долго. Такой результат является следствием идеализацииреальной физической системы, заключающейся в том, что присоставлении уравнения движения не учитываются силы сопротивления.
Такие силы в реальных системах всегда присутствуют,что вызывает затухание колебаний с течением времени (разделы7, 8). Подобная идеализация является целесообразной и оправданной, особенно при малых силах сопротивления, так как онапозволяет определить собственную частоту колебательной системы (3.5), а, следовательно, и период колебаний (3.10).В качестве иллюстрации рассмотрим пример.Пример 1. Вертикальные колебания корабля.Плавающий корабль погружается в воду до уровня, при ко-15тором по закону Архимеда сила тяжести корабля с грузом равнавыталкивающей силе (рис. 3.2а).
Если при возникновении волнений на море или в силу каких-либо других причин, корабль погрузится в воду глубже на величину x (рис 3.2.б), то подъемнаясила будет увеличиваться, в результате корабль будет выталкиваться к поверхности за счет возникновения избыточной силы(3.12)F x = − ρ gSx ,где ρ - плотность воды, g – ускорение свободного падения, S –площадь горизонтального сечения корабля на уровне воды. Произведение S ⋅ x определяет объем вытесненной воды.Рис 3.2Используя второй закон Ньютона, запишем уравнение вертикальных колебаний корабляm &x& = F x = − ρ gSxилиρgS&x& +(3.13)x=0mСопоставляя уравнения (3.13) и (3.3) видим, что в данномслучае k=ρgS.
Подъемная сила Fx (3.12) является примером квазиупругой силы. Частота собственных вертикальных колебанийкорабля в соответствии с (3.5) равна16ω=ρ gS,mгде m – масса корабля с учетом груза. Период таких колебанийсогласно (3.10) равенmT = 2πρgSОценим эту величину для грузового судна водоизмещениемm = 10000 тонн и площадью S = 1000м2. Подставляя числовыезначения, получим T ≈ 6 c .4. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР.ФИЗИЧЕСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИКИ.ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫГармонический осциллятор (от oscillare (лат.) - колебаться)– это система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида&x& + ω 2 x = 0Примером гармонических осцилляторов являются пружинный, физический, математический маятники, колебательный контур (с малыми токами и напряжениями), колеблющаяся жидкостьв коленах U-образной трубки, периодические смещения электронов относительно практически неподвижных ионов (рис.
4.1).Рис 4.1Колебания гармонического осциллятора являются важным17примером периодического движения и служат моделью для рассмотрения и решения многих задач как классической, так и квантовой физики.Законы движения пружинного маятника рассмотрены в предыдущем разделе. Остановимся здесь на колебаниях физическогои математического маятников.Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной наневесомой нерастяжимой нити.Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный надлинной тонкой нити.
Предполагается, что вся масса сосредоточена в одной точке – центре масс (рис. 4.2).Рис 4.2Если маятник отклонить от положения равновесия, то онбудет совершать колебания. Такие колебания можно представитькак вращение материальной точки вокруг неподвижной оси.
Вэтом случае можно воспользоваться основным законом динамикивращательного движенияrrM = Iε(4.1)Момент силы натяжения нити равен нулю, так как линиядействия силы натяжения проходит через ось вращения. Поэтому18вращательный момент создает только сила тяжестиM = −mgd(4.2)Знак «минус» поставлен потому, что при отклонении маятника против часовой стрелки (φ > 0), момент силы вызывает вращение по часовой стрелке (M < 0).Из рис.
4.2 определим плечо силы тяжестиd = l sin ϕ(4.3)Угловое ускорение ε есть вторая производная от угла поворота по времени(4.4)ε = ϕ&&Момент инерции маятника относительно точки 0 рассчитываем как для материальной точки(4.5)I = ml 2Подставив последние равенства в (4.1), получим− mgl sin ϕ = ml 2ϕ&&илиgϕ&& + sin ϕ = 0l(4.6)В математическом отношении решение этого уравнениявесьма затруднительно, так как второй член уравнения содержитсинус от искомой функции. Простое решение можно найти лишьдля случая малых колебаний, когда φ << 1рад.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
