Колебания в механических и электрических системах (1019797), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для того, чтобы зарядить конденсатор, нужно совершить работу по разделению зарядов на его обкладках. Работа, затраченная на зарядку конденсатора, служит мерой потенциальной энергии взаимодействия разделенных зарядов, или мерой энергии электрического поля конденсатора:U m = imq2Wэл =2C(5.12)При разрядке конденсатора возникает изменяющийся современем электрический ток, который возбуждает в катушке пе-31ременное магнитное поле:Li 2Wм =2(5.13)Таким образом, энергия, запасенная в контуре в виде энергии электрического поля конденсатора, переходит в энергиюмагнитного поля катушки, последняя в свою очередь расходуетсяна перезарядку конденсатора, далее процесс повторяется. Т.е.
вконтуре возникают незатухающие колебания, которые сопровождаются периодическими изменениями заряда q на обкладкахконденсатора (5.8), напряжения на нем (5.9), силы тока в контуре(5.10) и преобразованиями энергий электрического и магнитногополейW элq 02=cos 2 ω t2CLq 02ω 2sin 2 ω tWм =2Последние выражения получены подстановкой функций(5.8) и (5.10) в равенства (5.12) и (5.13).Определим полную энергию контура, учитывая, что в соответствии с (5.6) ω 2 =W = W эл1:LCq 02q 0222+ Wм =(cos ω t + sin ω t ) == cons t2C2C(5.14)Итак, в идеальном колебательном контуре нет потерь энергии на нагревание ( R = 0 ), поэтому в процессе колебаний энергия лишь перераспределяется между конденсатором и катушкой,сохраняя свое постоянное значение, как и в случае механическихсистем.
Выше мы уже сопоставляли разные характеристики гармонических колебаний электрических и механических систем. Вдобавление к этому отметим, что энергия электрического поля32конденсатора аналогична потенциальной энергии маятника, аэнергия магнитного поля катушки – кинетической энергии механического осциллятора. Сила тока в контуре играет такую жероль как скорость движения маятника.Выкладки, сделанные выше, основывались на законе Ома,который, как мы знаем, установлен для постоянного тока, в товремя как ток в контуре меняется со временем. Противоречиеустранимо, если ток, текущий в контуре, удовлетворяет условиюквазистационарности.
А именно, если за время τ , необходимоедля передачи электромагнитного возмущения (скачка ЭДС, напряжения, тока) в самую дальнюю точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то ток называется квазистационарным.Критерий квазистационарности можно записать такlτ = << T ,cгде l - длина цепи, c - скорость распространения электромагнитного возмущения, равная скорости света, T - период измененийпеременных электрических величин.Токи промышленной частоты ( υ = 50 Гц ) удовлетворяют условию квазистационарности для электрических цепей длиной до100км.Пример 3. Колебания электронов в плазме, называемыеленгмюровскими колебаниями, обусловленные силами электрического поля.
Последние возникают в электронейтральной плазме в силу какого-либо случайного отклонения пространственногораспределения электронов от равновесного распределения. Рассмотрим слой полностью ионизированной плазмы, состоящей изэлектронов и положительных ионов, толщиной d (рис. 5.2).Допустим, что отрицательные заряды смещаются на малоерасстояние x . Вследствие этого в левой части слоя появится избыточный положительный заряд, а в правой части – отрицательный заряд. В результате перераспределения зарядов в слое воз→никнет электрическое поле, напряженность которого E направлена вдоль оси x , а ее проекция на эту ось в соответствии с тео-33ремой Остроградского- Гаусса равна1Ex =nex ,ε0где ε 0 - электрическая постоянная, e - абсолютная величиназаряда электрона, n - концентрация электронов в плазме.Рис.
5.2Как известно из электростатики, на заряды в электрическомполе действует сила:ne 2Fx = −eE x = −x(5.15)ε0Знак минус показывает, что сила, действующая электроны,→противоположна вектору E . Возникшая сила по форме записи ипо своей природе является квазиупругой (см.3.11).
Она стремиться возвратить электроны в положение равновесия, в результатечего в плазме возникнут колебания. Учтем, что по второму закону НьютонаFx = m&x& ,где m - масса электрона. Сопоставляя последнее равенство с(5.15), получим следующее дифференциальное уравнение движения электрона вдоль оси x34m&x& +ne 2ε0x=0илиne 2&x& +x=0(5.16)ε 0mСравнение уравнения (5.16) с уравнением (1.5) показывает,что электроны будут совершать свободные гармонические колебания вдоль оси x с частотой:nω=eε 0mЭта частота называется плазменной или ленгмюровской.6. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙПри изучении колебаний важную роль играет возможностьрассматривать их как результат сложения нескольких более простых колебаний.
В качестве примера рассмотрим тележку, которая движется периодически то вправо, то влево, т.е. совершаетколебания в горизонтальном направлении. На ней укреплены:шарик, который колеблется в той же плоскости что и тележка, игруз на пружине, который качается в вертикальном направлении(рис. 6.1).Рис. 6.135Чтобы найти результирующее колебание шарика и грузика,надо сложить колебания каждого тела с колебаниями тележки.Еще пример: узел электрической цепи – два проводника, покоторым текут переменные токи i1 и i2 , соединяются с третьимпроводником (рис. 6.2).Рис. 6.2В любой момент времени ток i3 в третьем проводнике будетявляться суммой двух периодически изменяющихся величин i1 иi2 .6.1 Сложение колебаний одного направления и одинаковойчастотыВ рассматриваемом примере (рис. 6.1.
а) колебания шарикаи тележки происходят вдоль одной и той же прямой. В этом случае сложение их смещений сводится к сложению проекций x1(t) иx2(t) на ось x.Сложим два колебания:x 1 = A1 cos (ω t + ϕ 1 ) ,()(6.1)x 2 = A2 cos ω t + ϕ 2 .Колебания имеют одинаковое направление вдоль оси x ,одинаковую частоту ω , но разные амплитуды A1 и A2 и разныеначальные фазы φ1 и φ2. Воспользуемся методом векторных диаграмм (см. раздел 2).36Рис 6.3rИзобразим на векторной диаграмме (рис. 6.3) векторы A1 иrA2 , соответствующие амплитудам этих колебаний в начальныймомент времени, когда их фазы равны φ1 и φ2 соответственно.Построимпо правилу сложения векторов результирующийвекrrтор A .
Легко видеть, что проекция вектора A на ось x равна сумме проекций слагаемыхx = x1 + x 2(6.2)rrТак как векторы A1 и A2 вращаются с одинаковой угловойrскоростью ω , то и вектор A вращается с той же скоростью ω .Следовательно, результирующее движение x будет гармоническим колебанием с частотой ω , амплитудой A и начальной фазой ϕx = A cos (ω t + ϕ )(6.3)Амплитуда результирующего колебания может быть найдена с помощью теоремы косинусовA=A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ,(6.4)37где (ϕ 2 − ϕ1 )rr- угол между векторами A1 и A2Рис 6.4Начальная фаза суммарного колебания может быть найденас помощью вспомогательного рисунка (рис.
6.4). Отложим отrrконца вектора A1 вектор A2 . По правилу треугольника замыrкающий вектор A является суммой этих векторов. Используярис. 6.4, на котором отражены связи между векторами с помощью тригонометрических функций, можно получить выражениедля начальной фазы результирующего колебанияtgϕ =A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2(6.5)Итак, мы установили, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (ϕ 2 − ϕ1 ) складываемых колебаний.
Проанализируем эту зависимость:1. ϕ 2 − ϕ 1 = ± 2π n (где n - целое число, включая нуль), следовательно, колебания происходят в одинаковой фазе. В этом случае cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = 1 , тогда A = A1 + A2 , то есть, амплитуды коле-38баний складываются.2. ϕ 2 − ϕ1 = (2n + 1)π , (n = 0,1,2,...) , колебания происходят впротивоположных фазах. В этом случае cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = −1, тогдаA = A1 − A2 . Это значит, что амплитуда суммарного колебанияменьше каждой из амплитуд складываемых колебаний, а приA1 = A2 она вообще обращается в нуль.6.2 Сложение колебаний одного направления и разнойчастоты.
БиенияВ радиотехнике, акустике используются приборы, основанные на сложении двух колебаний одного направления с близкимичастотами. Результирующее движение будет представлять собойгармоническое колебание с пульсирующей амплитудой.Возьмем два колебанияx 1 = A cos ω t(6.6)x 2 = A cos( ω + Δ ω ) tДля простоты вычислений будем считать, что амплитуда Ау них одинакова, начальные фазы равны нулю, частоты колебаний ω и ω+Δω мало отличаются друг от друга (Δω<< ω).
Как и впредыдущем случае, колебания направлены вдоль одной прямой,поэтому результирующее колебание определяется как суммаΔωt(6.7)x = x1 + x 2 = 2 A coscos ω t2Здесь мы применили формулу для суммы косинусов и во второмсомножителе, точное выражение которого имело бы видΔω ⎞⎛Δωcos ⎜ ω +в силу малости по⎟ t пренебрегли членом2 ⎠⎝2сравнению с ω. Величину множителя, взятого по модулю,ΔωA (t ) = 2 A cost(6.8)239можно принять за амплитуду колебаний, которая медленно меняется с течением времени, так как Δω << ω. С учетом (6.8), равенство (6.7) перепишетсяx = A ( t ) cos ω t(6.9)Последняя формула имеет вид формулы гармонических колебаний. Однако, такое результирующее колебание только приблизительно является гармоническим, так как в случае гармоническихколебаний амплитуда постоянна в течение любого промежуткавремени. График функции (6.9) представлен на рис.6.5.Сплошная линия соответствует графику зависимости смещенияот времени, огибающая графика x(t) показывает зависимость(6.8) амплитуды от времени.Рис.
6.5Как видно из рисунка, амплитуда результирующего колебания периодически достигает то максимума, равного сумме амплитуд складываемых колебаний, то минимума, равного разностиэтих амплитуд.40Периодические изменения амплитуды результирующего колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.Частота биений равна разности частот складываемых колебаний Δω.
Период биенийTб =2πΔω6.3 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.Фигуры ЛиссажуРассмотрим теперь тип колебательного движения, котороепроиллюстрировано на рис. 6.1, б. Пусть два гармонических колебания одинаковой частоты ω происходят во взаимно перпендикулярных направлениях: одно вдоль оси x, другое вдоль оси y .Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулюx = A cos ω t ,(6.10)y = B cos (ω t + α ) ,где α - (ϕ 2 − ϕ1 ) - разность фаз обоих колебаний.Записанные уравнения представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, которую описывает тело,участвующее одновременно в обоих колебаниях.Чтобы получить обычное уравнение траектории, то есть зависимость y = f ( x ) , нужно исключить из соотношений (6.10) параметр t.
Из первого уравнения получим:x(6.11)cos ω t =Aиз второго уравнения следуетcos (ω t + α ) =yB(6.12)41Воспользуемся тригонометрическими соотношениямиcos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β2sin ω t = 1 − cos ωt = 1 −x2A2(6.13)Тогдаy= cos ω t cos α − sin ω t sin αB(6.14)Произведя подстановки равенств (6.11) и (6.13) в уравнение(6.14), получим:y xx2= cos α − sin α 1 − 2B AA(6.15)После математических преобразований можно получитьx 2 2 xyy22(6.16)−cosα+=sinα22ABABПоследнее уравнение есть уравнение эллипса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
