Колебания в механических и электрических системах (1019797), страница 3
Текст из файла (страница 3)
( 1 рад = 57,3o )Условие малых колебаний можно записать так:sin ϕ ≈ tgϕ ≈ ϕ тогда (4.6) перепишется в видеg(4.7)ϕ&& + ϕ = 0lПолучим линейное дифференциальное уравнение типа (1.5),гдеω=а периодg,l(4.8)19T = 2πlg(4.9)Как видно из (4.9), период колебаний математического маятника зависит от длины l маятника и ускорения свободного падения g и не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний.Физический маятник – это твердое тело, совершающее колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через некоторую точку 0, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 4.3).Такое тело, как известно, будет находиться в положении устойчивого равновесия, когда центр масс (точка С) будет находитьсяна одной вертикальной линии с точкой подвеса (точка 0) ниженее (φ=0).Рис 4.3Внешними силами, действующимина маятник, являютсяrrсила тяжести mg и сила F упругого происхождения, действуюrщая на маятник со стороны оси.
Величина и направление силы Fнам неизвестны. Однако момент этой силы равен нулю, т. к. плечо этой силы относительно оси вращения равно нулю (точка приложения этой силы и есть точка 0). Из вышесказанного следует,что вращательный момент создает сила тяжести.20M = −mga sin ϕ ,где a - расстояние между точкой подвеса и центром масс.Учитывая выкладки, сделанные для математического маятника,запишем основной закон динамики вращательного движения длямалых колебаний физического маятникаили− mgaϕ = Iϕ&&mga(4.10)ϕ = 0,Iгде I - момент инерции физического маятника относительнооси вращения (точка 0).
Последнее уравнение есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний типа (1.5), решение которого имеет видϕ = ϕ 0 cos (ω t + α ) ,ϕ&& +где ϕ 0 - амплитуда угловой координаты, α - начальная фазаколебаний.Колебания происходят с частотойmgaω=Iи периодомI(4.11)T = 2πmgaСравнительный анализ формул (4.9) и (4.11) приводит к заключению - периоды колебаний физического и математическогомаятников совпадают, если длина последнего равнаl = lnp =Ima(4.12)Величина lnp называется приведенной длиной физическогомаятника. Приведенная длина физического маятника равна21длине такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.Пример 2.Рассмотрим еще один пример определения собственной частоты свободных незатухающих колебаний конструкции, изображенной на рис.
4.4.Система состоит из стержня, который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку 0. На левомконце стержня укреплен груз массы m. В центре стержень подпирается пружиной жесткостью k. Масса стержня пренебрежимомала. Длина стержня 2l.Рис 4.4Рассмотрим сначала положение равновесия стержня с грузом (рис. 4.5).В этом положении стержень отклонен от горизонтальногоположения, которое примем за начало отсчета (φ = 0). Центрстержня сместится при этом по вертикали на величину x0 , а уголотклонения стержня составит ϕ 0 (для большей наглядности уголотклонения ϕ 0 стержня на рис.
4.5 значительно увеличен). Вертикальное сжатие пружины в этом случае составит22x0 = l sin ϕ 0или с учетом того, что теория гармонических колебаний построена для малых углов, когда sinφ ≈ φ, получимx0 = lϕ 0Рис 4.5На стержень действуютдве силы: силаrr тяжести груза mg исила реакции пружины F0 . Упругая сила F0 в соответствии с законом Гука равнаF0 = − kx0 = − klϕ 0В положении равновесия векторная сумма моментов сил,действующих на стержень равнаr нулю(4.13)∑ Mi = 0iРаспишем подробнее сумму моментов сил относительно осивращения (точка 0).
Сила тяжести создает момент mg2l , а момент силы F0 равен − klϕ 0 l . Следовательно, суммарный моментсил, приложенных к оси вращения, равенM = 2mgl − kl 2ϕ0(4.14)Подставим это в (4.13). Получим232mgl − kl 2ϕ 0 = 0отсюда определим угол φ02mgϕ0 =kl(4.15)Если отклонить стержень от положения равновесия на дополнительный угол ϕ , то возникнут колебания. Для полученияуравнения колебаний воспользуемся основным законом динамики вращательного движения (4.1). При этом в качестве угловойкоординаты будем брать суммарный угол отклонения стержня отгоризонтали (φ0+φ). Сумма моментов сил определяется аналогично равенству (4.14)I (ϕ&&0 + ϕ&&) = 2mgl − kl 2 (ϕ0 + ϕ ) ,(4.16)где I = m(2l )2 - момент инерции груза m.
Так как ϕ 0 = const ,то ϕ&&0 = 0 . С учетом этих фактов и равенства (4.15), уравнение(4.16) перепишется⎞⎛ 2mg+ϕ⎟4ml 2ϕ&& = 2mgl − kl 2 ⎜⎝ kl⎠Упростив его, получим4mϕ&& + kϕ = 0илиk(4.17)ϕ&& +ϕ =04mСопоставив уравнения (4.17) и (1.5), получим, что колебаниястержня происходят с частотой1 kω=2 mи имеют периодmT = 4πkЭнергия колебательной системы24Собственные колебания происходят в замкнутой системе.Если пренебрегать силами трения, как мы это делали выше, то вслучае собственных механических колебаний должен выполнятсязакон сохранения механической энергии.Поскольку во всех приведенных выше примерах характернезатухающих гармонических колебаний аналогичен, они описываются одними и теми же уравнениями, то для установленияэнергетических закономерностей достаточно рассмотреть произвольный гармонический осциллятор.
В качестве такового рассмотрим случай пружинного маятника (рис. 3.1), уравнение колебаний которого имеет видx (t ) = A cos (ω t + ϕ )Полная энергия механического движения является суммой кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергияосциллятора - это энергия движущейся массы, которую с учетомначальной фазы ϕ , равенств (1.1) и (1.3) можно записатьmV 2mA 2 ω 2Ek ==sin 2 (ω t + ϕ )22Принимая во внимание равенство (3.5), согласно которомуmω 2 = k , получимkA 2Ek =sin 2 (ω t + ϕ )(4.18)2Потенциальная энергия определяется работой внутреннихконсервативных сил при изменении взаимного расположения телсистемы. При расчете энергии упругой (или квазиупругой) силы,которая является консервативной, условимся отсчитывать ее отположения равновесия.
То есть, полагаем Eп=0 при x=0. Тогдапотенциальная энергия в точке x будет равна работе силы, совершаемой при перемещении груза из положения равновесия вданную точку, взятую с обратным знаком.25xxkx 2 kA 2=cos 2 (ω t + ϕ ) (4.19)E n = − ∫ Fdx = ∫ kxdx =2200Сложив (4.18) и (4.19),энергииполучим выражение для полнойkA 2kA 222⎡⎣ sin (ω t + ϕ ) + cos (ω t + ϕ ) ⎤⎦ =E = Ek + En =22 (4.20)Сопоставляя между собой как аналитические зависимостисмещения x, кинетической Ek и потенциальной Eп энергий отвремени, так и их графическое отображение (рис. 4.6), видим, чтов процессе колебаний кинетическая и потенциальная энергии непрерывно меняются.Кинетическая энергия превращается в потенциальную и наоборот, однако полная энергия гармонических колебаний, какмы и предположили в начале параграфа, остается в процессе колебаний постоянной величиной, пропорциональной квадратуамплитуды смещения.kA2 mA2ω 2E = Ek + En === const22В силу того, что1[1 − cos 2 (ω t + ϕ )]21sin 2 (ω t + ϕ ) = [1 + cos 2 (ω t + ϕ )],2можно сделать вывод, что энергии Ek и Eп изменяются со временем с частотой 2ω, то есть с частотой, в два раза превышающейсобственную частоту гармонических колебаний осциллятора(см.
рис. 4.6).Максимальные значения кинетической и потенциальнойэнергий одинаковы и равны величине полной энергии колебаний.cos 2 (ω t + ϕ ) =Ek ,max = En ,max = E26Рис 4.65. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХКолебательные движения могут происходить не только вмеханических системах, рассмотренных выше, но и в устройствах, в которых периодические изменения физических величин27связаны с движением электрических зарядов. Системы такого рода возникшие в них электромагнитные колебания могут излучатьв пространство в течение длительного времени в виде радиоволн,светового излучения, рентгеновских лучей и т.п.
Поэтому они находят широкое применение в современной технике.Простейшей моделью такой системы является электрический колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L (рис. 5.1).Активное сопротивление контура считаем пренебрежимомалым R = 0 , т.к. рассматриваем случай свободных незатухающих колебаний.Для того чтобы в контуре возбудить колебания, надо либосообщить обкладкам конденсатора начальный заряд, либо возбудить в катушке ток (включить внешнее магнитное поле, пересекающее витки катушки).Рис.
5.1Предположим, что система выведена из состояния равновесия путем заряда конденсатора, для чего предварительно отключенный от катушки конденсатор присоединяют к источнику напряжения. В результате на его обкладках возникнут разноименные заряды ± q0 . Если теперь отключить источник и замкнутьконденсатор на индуктивность, то емкость начнет разряжаться ив контуре потечет ток i(t )28dq(5.1)= q&dtПоложительным считают ток, заряжающий конденсатор(см. рис. 5.1).Переменный ток i(t ) , протекая в катушке, вызывает появление в ней ЭДС самоиндукции.i=ε инд = − Ldidt(5.2)Запишем закон Ома для замкнутой цепи, содержащей резистор сопротивлением R , конденсатор емкостью C и катушку индуктивностью LiR + U c = ε индгде iR - напряжение на активном сопротивлении, U c =(5.3)q- наCпряжение на конденсаторе.Учитывая, что в нашем случае R = 0 , подставим все значения в (5.3).
Получим:diq= −LdtC(5.4)Заметим, чтоdi d dqd 2q= ( ) = 2 = q&&dt dt dtdtС учетом этого (5.4) преобразуем следующим образом:1Lq&& + q = 0Cили1(5.5)q&& +q=0LCМы получили уравнение, которое по структуре знакомо намиз теории гармонических колебаний механических систем (см.уравнения (1.5) и (3.3).29В данном случае собственная частота контура и период колебаний определятся формулами:1ω=(5.6)LCT = 2π LC(5.7)Последнее выражение называется формулой Томсона.Решением уравнения (5.5) является функция:(5.8)q ( t ) = q m cos( ω t + ϕ ) ,где q m - амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора.Напряжение на конденсаторе можно получить, если выражение для q (5.8) разделить на постоянную величину, равнуюемкости конденсатора:U (t ) =qmcos(ω t + ϕ ) ,С(5.9)qm= U m - амплитудное значение напряжения.гдеСТаким образом, разность потенциалов на обкладках конденсатора изменяется со временем по гармоническому закону с тойже частотой ω .Продифференцировав (5.8) по времени, получим выражениедля силы тока:i (t ) = q& = − qmω sin(ω t + ϕ ) = im cos(ω t + ϕ +π)2 , (5.10)где im = q m ω - амплитудное значение силы тока.Видим, что ток в контуре также изменяется по гармоничеπскому закону, но опережает по фазе напряжение на величину .2Из формул (5.8), (5.9) и (5.10) следует, что в момент, когда ток в30контуре достигает максимального значения, заряд и напряжениена конденсаторе обращаются в нуль, и наоборот.Амплитудное значение заряда qm и начальная фаза ϕ определяются из начальных условий.
При t = 0 заряд на обкладкахравен q 0 , т.е. q (0) = q 0 , а ток в контуре равен нулюi(0) = q& (0) = 0 . Подставив это в зависимости (5.8) и (5.10), получимq (0) = q m cos ϕ = q 0i ( 0 ) = − q m ω sin ϕ = 0Откуда получим, ϕ = 0 и q m = q 0 .Из (5.9) и (5.10) с учетом (5.6) следует, что амплитудныезначения тока и напряжения связаны соотношением:L(5.11)CВозвращаясь к уравнению (5.5) и сопоставляя его с уравнением (3.3), находим, что индуктивность L играет в рассматриваемой электрической системе ту же роль, которую выполняет массаm колеблющейся точки в механической системе. Аналогично,1влияет на процесс колебаний таким же образом каквеличинаCжесткость пружины k .Определим баланс энергии колебательного контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
