Колебания в механических и электрических системах (1019797), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Следовательно, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы.Как видно из (9.12), при отсутствии сопротивления среды(β = 0) амплитуда бы обращалась в бесконечность, что в реальных системах не имеет места.При увеличении коэффициента затухания резонансная кривая становится ниже, и располагается левее, резонансной частотав этом случае явно меньше ω0 (рис. 9.2, кривая для β 2 ).
Приочень большом затухании выражение под корнем в (9.12) становится мнимым и резонанс не наблюдается (рис. 9.2, кривая дляβ 3 ).Явление резонанса играет большую роль в технике и повседневной жизни. При конструировании машин и механизмов необходимо предусмотреть, чтобы собственная частота устройства63не совпадала с частотой возможных внешних воздействий. Впротивном случае возникнут вибрации, которые могут привестик разрушению конструкции («резонансная катастрофа»). В то жевремя принцип действия многих радиотехнических устройств,приборов прикладной акустики, музыкальных инструментов основан именно на явлении резонанса.10.
ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕКОЛЕБАНИЯРис 10.1Для того, чтобы обеспечить незатухающие колебания в LRC- контуре (рис. 8.1), нужно оказывать на систему периодическоевнешнее воздействие. Для этого следует последовательно к элементам контура включить переменную ЭДС. Рассмотрим наиболее типичный случай, когда значение ЭДС изменяется со временем по гармоническому закону(10.1)ξ = ξ 0 cos ω t ,где ξ 0 - амплитудное значение ЭДС, ω - циклическая частотаколебаний.На рис. 10.1 изображена схема контура с включенной в негоЭДС. При этом в уравнение (8.1) в его правую часть помимо ЭДСсамоиндукции следует добавить внешнюю ЭДС ξ.64iR + U C = ξинд + ξ(10.2)Вследствие этого уравнение будет содержать в правой частивынуждающий член:1di(10.3)+ Ri + q = ξ 0 cos ω tLdtCТогда уравнение (8.2) примет видL q&& + R q& +q= ξ 0 cos ω t ,c(10.4)После преобразования уравнение (10.4) трансформируется квидуξ(10.5)q&& + 2 β q& + ω 02 q = 0 cos ω tLгде, как и в случае свободных затухающих колебаний (8.3),Rβ=2L(10.6)1ω0 =LCУравнение (10.5) называется дифференциальным уравнением вынужденных электромагнитных колебаний и имеетточно такую же структуру, что и уравнение вынужденных механических колебаний (9.4).
Так же, как и в том случае, нас будутинтересовать только установившиеся вынужденные колебания,только теперь в электрическом контуре.В силу упомянутой выше идентичности структур уравнений(9.4) и (10.5) соответствующее частное решение последнегоуравнения описывает установившиеся электромагнитные колебания и имеет вид(10.7)q = q m cos (ω t − ϕ )65где q m и ϕ определятся по формулам, аналогичным (9.9) и(9.10),ξ0qm =L(ω02 − ω )2 2tgϕ =(10.8)+ 4 β 2ω 22 βωω 02−ω(10.9)2С учетом (10.6) амплитудное значение заряда будет иметьвид:ξ0qm =ω1 ⎞⎛R 2 + ⎜ωL −⎟ωC ⎠⎝2,(10.10)а отставание по фазе вынужденных колебаний заряда в контуре от колебаний вынуждающей ЭДС можно рассчитать по формулеR(10.11)tg ϕ =1− ωLωCПродифференцировав выражение (10.7) по времени, найдемсилу тока в контуре в режиме установившихся колебанийπ ⎞⎛i = − q m ω sin (ω t − ψ ) = im cos ⎜ ω t − ϕ + ⎟ ,2⎠⎝(10.12)где im = qmω - амплитудное значение тока.
Перепишем это выражение в видеi = im cos (ω t − ψ ) ,(10.13)66где ψ = ϕ −π,2что соответствует сдвигу по фазе между током и приложеннойЭДС.Тогда, с учетом (10.11)1ωL −π⎞1⎛ωCtg ψ = tg ⎜ ϕ − ⎟ = −=tg ψR2⎠⎝Отсюда получим, что ток опережает напряжение, когда11(ψ < 0), и отстает от нее - когда ω L >(ψ>0).ωL <ωCωCПринимая во внимание формулу (10.10), можем получить выражение для амплитудного значения токаim = q m ⋅ ω =ξ01 ⎞⎛R 2 + ⎜ωL −⎟ωC ⎠⎝2(10.14)Вернемся теперь к уравнению (10.3). В этом уравнении iRdiравно напряжению на сопротивлении U R , L- напряжение наdtqиндуктивности U L ,- напряжение на конденсаторе. С учетомCэтого уравнения (10.3) можно переписать в виде(10.15)U R + U L + U C = ξ 0 cos ω tТаким образом, сумма напряжений на элементах контураравна приложенной ЭДС.С учетом (10.13) напряжение на сопротивлении равноU R = im R cos (ω t − ψ)(10.16)Разделив (10.7) на величину емкости, получим напряжение наконденсаторе67UC =qmπ⎞⎛cos (ω t − ϕ ) = U Cm cos ⎜ ω t − ψ − ⎟2⎠C⎝(10.17)qmi= mC ωC(10.18)ЗдесьU Cm =амплитудное значение напряжения на конденсаторе.Выражение для U L получим, умножив производную функции i(10.12) на LUL = Ldiπ⎞⎛= −ω Li m sin (ω t − ψ ) = U Lm cos ⎜ ω t − ψ + ⎟ , (10.19)dt2⎠⎝где U Lm = ω Li m(10.20)Сравнение формул (10.13), (10.16), (10.17) и (10.19) позволяет сделать вывод, что напряжение на емкости отстает по фазе отπсилы тока на , а напряжение на индуктивности опережает силу2πтока на .
Напряжение на активном сопротивлении изменяется2со временем синфазно с изменением силы тока в цепи.Указанные фазовые соотношения наглядно иллюстрируются спомощью векторной диаграммы. В качестве прямой, от которойотсчитывается начальная фаза, выбирается ось токов (рис 10.2).Согласно (10.15) три функции U R , U L и U C в сумме равныЭДС ξ .
Поэтому ξ изображается на диаграмме как сумма трехвекторов U R ,U C ,U L .Следует отметить, что точное значение резонансной частоты длязаряда совпадает с соответствующим значением для амплитудыколебаний материальной точки и определяется по формуле (9.11).Это значение также соответствует резонансной частоте для на-68пряжения на конденсаторе U C . Соответственно и форма резонансных кривых для амплитудного значения заряда qm и амплитудного значения напряжения на конденсаторе U cm (10.18) аналогично резонансной кривой, изображенной на рис. 9.2.Рис 10.2Резонансная кривая для тока im = ω q m имеет иной характер, поскольку эта зависимость отличается от qm наличием сомножителя ω .
Эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 10.3.Рис 10.369При этом точным значением резонансной частоты являетсязначение ω ðåç = ω 0 .Библиографический список.1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2001.2. Савельев И.В. Курс общей физики. - Книга 1,2. М.: АстрельАСТ, 2005.3. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. - Часть 1, 2.Киев.: Днепр, 1994.4. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.:Наука, 1985.5. Иродов И.Е.
Задачи по общей физике. - М.-С.П.: Физматлит,2001.6. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. - М.: Физматлит, 2003.7. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. - М.: Машиностроение, 1967.70СОДЕРЖАНИЕВведение……………………………………………………… 31. Колебательное движение, его характеристики и уравнение 42. Метод векторных диаграмм и комплексные обозначения….83. Механические гармонические колебания. Пружинныймаятник.………………………………………………….……114. Гармонический осциллятор. Физический и математический маятники. Энергия колебательной системы ……..… 165.
Свободные незатухающие колебания в электрическихсистемах………………………………………………… 266. Сложение гармонических колебаний ………………………346.1 Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты …………………………………………………..356.2 Сложение колебаний одного направления и разнойчастоты. Биения…………………………………....................386.3 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.Фигуры Лиссажу …………………………………………… 407.
Свободные затухающие колебания механического осцилля-71тора …………………………………………………………...458. Затухающие колебания в электрическом контуре ………...519. Вынужденные колебания механических систем. Резонанс 5710. Вынужденные электромагнитные колебания……….....63Библиографический список ……………………………………70Наталия Михайловна КолачеваМихаил Яковлевич ИзраиловичЛидия Владимировна СоломатинаКОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЧЕСКИХИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХУчебное пособиеЛитературный редакторГосударственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования“Московский государственный институт радиотехники,электроники и автоматики (технический университет)”119454, Москва, пр. Вернадского, 78.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
