ВОПРОСЫ и ОТВЕТЫ к экзаменудля студентов 1 курса по математике (1019738), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Особый интерес представляют главные изоклины:

dy/dx=0, P(x,y)=0 – изоклина горизонтальных касательных и

dy/dx=¥ , Q(x,y)=0 – изоклина вертикальных касательных.

Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения (x,y), координаты которой удовлетворяют условиям:

мы найдем тем самым точку пересечения всех изоклин фазовой плоскости, в которой направление касательных к фазовым траекториям неопределенно. Это – особая точка, которая соответствует стационарному состоянию системы

1. ДУ с разделяющимися переменными. Примеры.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида

где X(x) и Y(y) — непрерывные функции.

Найдем общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка exp(-y)(x+y')=x

Запишем уравнение в нормальной форме: y'=(exp(y)-1)x

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

dy/(exp(y)-1)=xdx

Запишем и вычислим выражение для общего интеграла этого уравнения

Знак интеграла вводится щелчком по символу интеграла в панели Calculus

Для того чтобы вывести в рабочий документ результат символьных вычислений, функцию F(x,y), нужно ввести имя функции и знак символьных вычислений ("стрелка вправо").

Знак символьных вычислений вводится щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation или в панели Symbolic

Общий интеграл уравнения записывается в виде F(x, y) = C :

Проверим правильность результата.

Выражение F(x,y) = С задает решение уравнения y=y(x) как функцию переменной x в неявной форме.

Для проверки решения вычислим производную y'(x) по формулам дифференцирования неявной функции и подставим ее в уравнение y' = (exp(y)-1)x, или, что то же самое, в уравнение y' -(exp(y)-1)x=0:

Введите ключевое слово simplify щелчком по соответствующей позиции в панели Symboliic, введите левую часть уравнения в помеченной позиции слева и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки

После подстановки уравнение обратилось в тождество. Общий интеграл записан верно.

1. Однородные ДУ. Примеры.

Уравнение

, (4.1)

в котором M и N - однородные функции одной и той же степени, называется однород-ным уравнением. Функция f(x,y) называется однородной функцией степени k, если при всех t выполняется тождество . Например, функция – однородная второй степени, т.к. ; функция – однородная первой степени; функция - однородная третьей степени.

Записываем уравнение (4.1) в виде :

.

Делаем замену .

Пусть функции имеют степень однородности k , тогда

-

уравнение с разделенными переменными. Пусть общее решение последнего уравнения, тогда - общее решение уравнения (4.1).

П. 4.1. .

M(x,y)=x(x+2y), N(x,y)=x²-y². Легко проверить, что функции M и N однородные второй степени. Делаем замену y=zx; находим : . С другой стороны из заданного уравнения или

, ,

. Так как , то ∫ = =∫( ), , подставляя вместо , получаем общий интеграл: .

П. 4.2.

Функции M=y и N=y-x однородные первой степени. Поступаем по шаблону: y=zx, ,

∫ ∫ , или ∫ ∫ , , подставляя в это уравнение , находим общий интеграл:

, , .

П. 4.3. .

Выделить интегральную кривую, проходящую через точку т.е. найти частное решение, удовлетворяющее начальным данным: .

Уравнение однородное первой степени. Делаем замену y=zx, ,

, или

, ∫ ∫ , , подставляя в это уравнение , находим , , подставляя начальные данные, находим 0+ , с=1 - искомое частное решение.

1. Линейные неоднородные и однородные ДУ. Метод Бернулли. Пример.

1. ЛОДУ и ЛНДУ. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Пример.

2. ДУ в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

3. Уравнения Лагранжа и Клеро. Примеры.

4. ДУ второго порядка. Задача Коши. Общее и частное решения. Общий интеграл как семейство кривых. Теорема существования и единственности (без док-ва).

5. Понижение порядка ДУ: ДУ, содержащие явно искомую функцию, и ДУ, явно не содержащие искомую функцию.

6. Понижение порядка ДУ: ДУ, явно не содержащие независимой переменной.

7. Интегрирование ДУ порядка выше второго. Пример.

8. ЛНДУ и ЛОДУ высшего порядка. Линейно зависимые и линейно независимые функции. Пример.

9. Определитель Вронского (вронскиан). Теоремы 1 и 2. Док-во. Формула Лиувилля. Теорема 3 (без док-ва).

10. Структура общего решение ЛДУ высшего порядка. Теорема 4. Док-во. Фундаментальная система решений. Теорема 5 (без док-ва).

11. ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема 6.

12. ЛНДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов (рассмотреть 2 случая). Теорема 7 (без док-ва).

13. Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения ЛНДУ (метод Лагранжа).

14. ЛДУ с постоянными коэффициентами порядка выше второго: вронскиан, характеристическое уравнение, метод вариации произвольных постоянных.

15. Интегрирование систем ДУ. Нормальная система ДУ. Метод исключения.

16. Интегрирование систем ДУ. Системы ЛДУ с постоянными коэффициентами (рассмотреть решение матричным способом, используя собственные числа и собственные векторы).

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)