ВОПРОСЫ и ОТВЕТЫ к экзаменудля студентов 1 курса по математике (1019738), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством:

Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,

то есть как раз получается нужная формула.

Операции над комплексными числами

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность сложения:

   z1 + z2 = z2 + z1

2. для любых .

3. Ассоциативность сложения:

   (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

4. для любых .

5. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством

   z + 0 = z

6. для любого z .

7. Для любых двух чисел z₁ и z₂ существует такое число z, что z₁ + z = z₂. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z₂ – z₁.

8. Коммутативность умножения:

   z1z2 = z2z1

9. для любых .

10. Ассоциативность умножения:

    (z1z2)z3 = z1(z2z3)

11. для любых .

12. Дистрибутивность сложения относительно умножения:

    z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

13. для любых .

14. Для любого комплексного числа z:

    z · 1 = z.

15. Для любых двух чисел и существует такое число z, что Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.

Действия над комплексными числами

• Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

• Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

• Умножение

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi² = (ac − bd) + (bc + ad)i

• Деление

1. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа. Формула Муавра. Логарифмирование комплексного числа.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учётом тождества i² = − 1.

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент ( , ), то комплексное число z можно записать в тригонометрической форме

.

Также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера

,

где - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Геометрическое представление

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y (или её радиус-вектор, что тоже самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

Формула Муавра

Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

,

где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 г.

Эта формула применима при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа.

Логарифмированием называют операцию, обратную потенцированию. Так, если верно равенство

,

то верно равенство

Как и в случае комплексных чисел, логарифм кватерниона неоднозначен и сферично - периодичен. Отбрасывая сферично-периодичную составляющую в ln(p), и зная покомпонентное представление , найдем ln(p).

Несложно заметить, что кватернион является в некотором роде 3-х мерным комплексным числом. Приведенные формулы переходят в соответствующие формулы для комплексных чисел при сокращении базиса мнимых единиц до любой одной.

1. Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Определение, решение, общее решение ДУ первого порядка. Задача Коши. Частное решение.

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в отыскании решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие (откуда терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0).

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия.

Различные постановки задачи Коши

• ОДУ первого порядка, разрешённая относительно старшей производной

• Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно старших производных

• ОДУ n-го порядка, разрешённая относительно старшей производной

Свойства задачи Коши

• Теорема (о единственности решения).

Пусть , пускай также — решение задачи Коши (1), определённые на отрезке , причём , тогда на всём [x₁,x₂].

Теорема носит глобальный характер: решения совпадают везде, где существуют.

• Теорема (о существовании).

Пусть , пускай также , тогда , зависящее от x₀,y₀,D,f такое, что — решение задачи Коши (1), определённое на отрезке [x₀ − h,x₀ + h].

Теорема носит локальный характер: решение существует лишь в небольшой окрестности x₀.

Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество на интервале .

1. Теорема существования решения ДУ первого порядка. Метод изоклин.

Метод изоклин

Для построения фазового портрета пользуются методом изоклин – на фазовой плоскости наносят линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. Уравнение изоклин легко получить из (4.2). Положим

где А – определенная постоянная величина. Значение А представляет собой тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории и может принимать значения от –¥ до +¥. Подставляя вместо dy/dx в (4.2) величину А получим уравнение изоклин:

. (4.3)

Уравнение (4.3) определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой за исключением точки, где P (x,y) = 0, Q (x,y) = 0, в которой направление касательной становится неопределенным, так как при этом становится неопределенным значение производной:

.

Эта точка является точкой пересечения всех изоклин – особой точкой. В ней одновременно обращаются в нуль производные по времени переменных x и y.

Таким образом, в особой точке скорости изменения переменных равны нулю. Следовательно, особая точка дифференциальных уравнений фазовых траекторий (4.2) соответствует стационарному состоянию системы (4.1), а ее координаты – суть стационарные значения переменных x, y.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)