Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Выше рассказывалось о формальной арифметике, т.е. о формализации теории натуральных чисел. Здесь будут кратко описаны формальные теории других систем чисел — целых, рациональных, действительных. Систему целых чисел можно охарактеризовать с помощью следующих условий. Кольцо целых чисел — это есть кольцо с единицей е, не содержащее отличного от него подкольца с единицей и обладающее тем свойством, что ле ~ 0 для любого натурального числа п.
В самом деле, нетрудно показать, что множество всех элементов вида ле изоморфно системе <)у; +> натуральных чисел. Следовательно, данное кольцо содержит подкольцо Д, изоморфное кольцу у целых чисел, поскольку кольцо У вЂ” минимальное из таких колец. Но так как Д содержит единицу е, то, по усло- 295 вию, Уе должно совпасть с данным кольцом, которое, следовательно,,будет кольцом целых чисел. 'Систему рациональных чисел можно охарактеризовать с помощью следующих условий. Поле рациональных чисел — это простое поле характеристики нуль.
(Поле называется простым, если оно не имеет подполей, отличных от него самого. Говорят, что поле имеет характеристику нуль, если ла ~ О для любого его элемента а ~ О и любого целого числа п л О.) Можно показать, что любое такое поле совпадает со своим подполем частных и, значит, изоморфно полю рациональных чисел. Другими словами, можно сказать, что поле рациональных чисел в известном смысле является минимальным среди всех полей характеристики нуль или что любое поле характеристики нуль содержит в качестве подполя поле рациональных чисел.
Для системы действительных чисел известно довольно много разнообразных аксиоматических характеризаций, т.е. таких систем аксиом, для которых система действительных чисел является единственной с точностью до изоморфизма моделью. Согласно одной из них множество вещественных чисел характеризуется как полное упорядоченное поле, т.е. как поле, в котором любое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань. Гильберт охарактеризовал множество вещественных чисел как максимальное архимедово упорядоченное поле (т.е.
любое поле, являющееся его расширением, уже не архимедово). Наконец, третья характеризация утверждает, что система действительных чисел и только она является плотным в себе полным по Дедекинду линейно упорядоченным множеством без наименьшего и наибольшего элементов, в котором существует счетное всюду плотное подмножество. (Плотность означает, что между любыми двумя элементами множества расположен еще хотя бы один элемент. Полнота по Дедекинду: всякое непустое ограниченное сверху подмножество имеет точную верхнюю грань. Существование всюду плотного подмножества, называемое свойством сепарабельности (отделимости), означает, что для каждого элемента множества существует как угодно близкий к нему элемент этого подмножества.) Проблема М.Я.Сусл и на.
С этой характеристикой системы действительных чисел связана одна из знаменитейших проблем ХХ в. — проблема М.Я.Суслина. Эта проблема состоит в том, что требуется узнать, сохранится ли указанная характеристика системы действительных чисел, если в ней последнее условие сепарабельности заменить более слабым требованием, называемым условием Суслина: любая система из попарно не пересекающихся непустых интервалов не более чем счетна.
Другими словами, будет ли изоморфно системе действительных чисел линейно упорядо- 296 ченное множество, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, кроме. сепарабельносты, и условию Суслииа. Судьба этой проблемы. оказалась поистине исторической, и на ее решение потребовалось более 4О лет. Предположение о ее положительном решении получило название гипотезы СуслинаКонхрпример к гипотезе (хотя пока и не существующий), т.е упорядоченное множество, удовлетворяющее всем условиям проблемы М.Я.Суслина, но не изоморфное действительной прямой, получил названые континуум Суслина.
Эта проблема встала в один ргл, с континуум-проблемой Кантора, и полное решение их обеих было получено лишь в начале 19бО-х гт., когда американский математик П.Коэн открыл принципиально новый метод доказательства, получивший название метода форсинга (вынуждении). (За это открытие он был удостоен в 19бб г. на Международном математическом конгрессе в Москве высшей международной награды„которой удостаиваются ученые-математики,— Филдсовской премии.) Выяснилось, что проблему Суслика, как и континуум-проблему Кантора, вообще невозможно решить в обычном смысле слов — решить проблему, т.е. дать определенный ответ «да» или «нет» на поставленный вопрос.
Гипотеза Суслина, как и континуум-гипотеза Кантора, оказалась не зависящей от остальных аксиом теории множеств. Другими словами, возможна теория множеств, в которой гипотеза Суслина справедлива„и возможна теория множеств, в которой эта гипотеза не выполняется. Кроме того, была также установлена взаимная независимость и самих двух гипотез — гипотезы Суслнна и континуум-гипотезы Кантора. Вопросы, связанные с гипотезой Суслина, продолжают исследоваться в многочисленных работах по теории множеств. Рассматриваются обобщения этой гипотезы, вводятся новые, связанные с ней понятия и конструкции, которые называются именем Суслина.
Они широко используются не только в теории множеств, но и проникают в смежные с ней области — теорию моделей, теоретико-множественную топологию. В обширном потоке современных публикаций по этим дисциплинам часто встречается имя М.Я.Суслина: суслинские множества, критерий Суслина, гипотеза Суслина, континуум Суслина, свойство Суслина, дерево Суслина, число Суслина, коэффициент Суслина и т.д.
М.Я. Суслин (1894 — 1919) родился в селе Красавка Самойловского района Саратовской области. О его жизни и математических открытиях можно прочитать в книге В.И. Игошина'. Углубление формализации: элементарная теория вещественно замкнутых полей. С точки зрения строго формального подхода и к описанным только что фор- ' Игошин Д и. Михаил Яковлевич Суелии (1894 — 1919). — М., 1996. 297 мальным теориям числовых систем, и к формальной арифметике, описанной выше, можно высказать серьезные претензии. Суть их состоит в том, что все эти теории все же еще не до конца формализованы.
Дело в том, что приведенные выше характеризации, например системы действительных чисел, сформулированы в терминах не только основных, элементарных понятий, таких, как +,, < и т.п., но и в терминах, относящихся к понятиям более высокого типа, таких, как «ограниченное сверху множество», «счетное всюду плотное подмножество» и т.п. Другими словами, эти характеристики выражены не на языке первой ступени, а на языке более высокой ступени, в котором понятие множества выступает как самостоятельный индивид. На первый взгляд может показаться, что для углубления формализации понятия действительного числа далее следует приступить к формализации концепции множества. Но теория множеств таит в себе немало проблем и подводных камней (таких, как, например, континуум-гипотеза), которые могут не иметь никакого отношения к предмету изучения. На практике множества, нужные в такой области, как теория чисел, — это лишь такие, которые могут быть описаны с помощью совсем специальных свойств.
Поэтому возможен другой подход к формализации теорий числовых систем — изгнать из аксиоматик упоминания о множествах и заменить их соответствующими свойствами. Так, содержательная аксиома индукции Пеано «Любое множество натуральных чисел, которое содержит 0 и вместе с любым своим элементом х содержит также следующий элемент х', — это множество всех натуральных чисел» при таком подходе превращается в схему формальных аксиом (г(0) л (1гх)(Г(х) -+ Г(х'))) » (1ух)(г"(х)), где Р(х) — произвольная формула с одной свободной предметной переменной х.
Таких формул бесконечно много, и соответствующая формальная аксиома формулируется для каждой из них. Можно показать, что такая схема аксиом не может исчерпать всей силы содержательной аксиомы индукции в том смысле, что нельзя посредством такой схемы (наряду с другими формальными аксиомами формальной арифметики) обеспечить, чтобы единственной с точностью до изоморфизма моделью такой системы аксиом было множество натуральных чисел (что, напомним, обеспечивала содержательная система аксиом Пеано).
Тем не менее для многих целей вполне достаточно употреблять эту форму аксиомы индукции. Аналогично обстоит дело с содержательным свойством полноты поля действительных чисел: всякое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань. При его формализации приходится вводить схему аксиом (называемую аксиомой полноты), 298 в которой снова понятие множества заменено на определяющее его свойство Г(х): ((Эх)(Г(х)) л (ЛЬ)(«х)(Г(х) -+ х < Ь)1 -+ -» (ЗЬ)((Ъх)(Г(х) » х < Ь) л ('Фс)((Ъх)(г(х) » х < с) -+ Ь < сЦ. Словесно зту запись можно прочитать так: если су1цествует число, обладающее свойством Г, и всякое число, обладающее этим свойством, меньше некоторого числа, то существует наименьшее такое число, что все числа, обладающие свойством г", меньше его. В связи с такой формализацией возникает естественный вопрос, до какой степени она отражает «полное содержание» исходной аксиомы полноты в ее содержательной теоретико-множественной формулировке.
Еще раз отметим, что предоставленный в наше распоряжение формальный язык узкого исчисления предикатов первого порядка не позволяет говорить о множествах как элементах области индивидов. Поэтому„рассматривая множества, мы говорим об определяющих их свойствах, точнее, о выразимых в данном языке свойствах индивидов, а именно вещественных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
