Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 107

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 107)

Но установить, насколько оно велико, удалось только сравнительно недавно. Все математические формулы были разбиты вначале на классы сложности так, что эти классы образовали расширяющуюся цепь и каждый класс содержал в себе предыдущий и, в свою очередь, содержался в последующем классе. С увеличением классов сложность формул в них возрастала. Затем было показано, что множество выводимых формул целиком содержится в самом нижнем, нулевом классе.

И наконец, доказано, что множество истинных формул не помещается даже в тот предельный класс, который получается при стремлении показателя сложности к бесконечности. Известный математик Ю. И. Манин так прокомментировал эту ситуацию: «Выводимость находится на нижней ступеньке бесконечной лестницы, а истинность располагается где-то над всей лестницей». Конечно, эти результаты, показывающие, что расстояние от доказуемости (выводимости) до истинности столь велико, могуг служить солидным основанием для значительной доли пессимизма в оценке роли логики (и, в частности, математической логики) в процессе познания окружающего мира и истины. Некоторые определенные философы истолковывают эти результаты как полное отрицание роли логики в процессе познания, считая, что она нужна лишь для придания уже полученным результатам общепонятной и убедительной формы, а сам механизм получения этих результатов совершенно иной.

Не следует истолковывать эти результаты и как полный крах формального подхода к математическим теориям. Эти результаты несомненно означают, что первоначальная, «максималистская» гильбертовская программа финитистского подхода к обоснованию математики не может быть реализована в полном объеме: нельзя построить математику как 429 некоторую фиксированную совокупность средств, которые можно было бы объявить единственно законными и с их помощью строить метатеории любых теорий. Невозможность полной формализации содержательно определенных математических теорий— это не недостаток подхода или концепции, а объективный факт, неустранимый никакой концепцией, «суровая правда« об устройстве мира, изучаемого этой теорией.

Невозможность адекватной формализации теории означает, что надо либо искать формализуемые ею фрагменты, либо строить какую-то более сильную формальную теорию, которая, правда, снова будет неполна, но, быть может, будет содержать всю исходную теорию. Рассматриваемые выдающиеся результаты Геделя и Тарского демонстрируют не только слабость математической логики в процессах познания, но и ее силу, еще раз являя уникальность этой науки.

Фактически средствами математической логики устанавливаются границы применимости самой математики. Наука с такими уникальными возможностями не может быть бесполезна для дела познания окружающего мира, и думается, что ее будущие результаты заставят еше не раз как математиков, так и философов обратиться к их интерпретации. Интересно отметить, что подобная ситуация, когда вдруг обнаруживается ограниченность того или иного научного метода, который доселе представлялся как всеобьемлющий и единственно мыслимый, характерна не только для математики.

Так, в биологии мы привыкли думать, что все ныне живущее образовалось в результате естественного отбора в соответствии с известной теорией Дарвина. Но в самые последние годы ученые, последовав микроструктуру органической материи, сделали поразительный вывод: если бы возникновение и развитие жизни на нашей планете, считая от появления на Земле первых живых молекул до человека, шло по Дарвину, оно потребовало бы намного больше времени, чем это произошло в действительности.

Значит, естественный отбор — не единственный движущий фактор эволюции'. Вывод второй по существу уже сделан: то, что мы интуитивно понимаем под процессом математического доказательства, не сводится к использованию лишь аксиоматического метода и законов традиционной и математической логики. Этот вывод сформулирован в Меморандуме алгериканских мателгатиковз: «Математическое мышление не сводится к дедуктивным рассуждениям, оно не состоит только в формальных доказательствах. Мыслительные процессы, подсказывающие нам, что доказывать и как доказывать, также составляют часть математического мышления, как и само ' Карлеакав С.

Концепции современного естествознания. — М. — 2000. ' Меморандум американских математиков // Математика в школе. 1964. Гв 4. С. 90 — 92. 430 доказательство, которым они завершаются. Выделять понятие, приспособленное к конкретной ситуации, обобщать исходя из наблюдаемых частных случаев, рассуждать по индукции, по аналогии и находить интуитивные доводы для выделяемой догадки— все это математические способы мышления».

Совершенно безнадежно рассчитывать на то, что понятию убедительного математического доказательства можно придать раз и навсегда очерченные логические формы, связанные с определенными аксиомами и правилами вывода. Логика традиционная и выросшая на ее основе математическая логика отражают лишь часть тех законов, по которым происходит наше мышление, по которым мышление производит истинные утверждения.

В связи с такой ситуацией математическая наука пытается найти новые нетрадиционные подходы к проблеме доказательности истинности, к пониманию того, что есть доказательство, что следует считать доказанным и обоснованным. Один из таких подходов напрямую связан с вероломным вторжением компьютеров во все сферы жизни, в науку„в математику. Эту тенденцию отмечает известный российский математик академик РАН В.А.Садовничий, считая, что математика вынуждена признать права на такую же математическую договоренность и доказательность за другими схемами рассуждений, отличными от классического логического вывода, основанного на аксиомах. «В частности, — говорит он,— за аргументацией с помощью примеров, за рассуждениями по аналогии или путем ассоциаций, за использованием мнений авторитетных специалистов (экспертов).

Наконец, за доказательствами, в основе которых лежит простая вера в сходимость бесконечного вычислительного процесса. Ведь никакое вычисление нельзя продолжать бесконечно, и где-то, на каком-то шаге мы его обрываем и полученную таким образом приближенную числовую величину принимаем за решение рассматриваемой задачи — за истину. Но сходимость многих вычислительных алгоритмов„используемых в машинных расчетах, не доказана в классическом понимании.

Тем не менее именно на этой вере возведено практически все здание современных компьютерных вычислений и приложений. Многообразные вычислительные процедуры сушествуют и используются, но их строгое теоретическое обоснование либо отсутствует, либо остается неполным... Таким образом, ясно, что с появлением компьютеров мир математики стал меняться. Изменяются не только математическое мышление, математические подходы, но и научное мировоззрение в целом»'. Именно такова ситуация с современным решением проблемы четырех красок: полученное доказательство чрезвычайно длинно, к тому же суще- ' Садовничий В.А. Математическое образование: настояшее и булушее // Математика.

1000. № 40. С. 3. 431 ственно (до нескольких тысяч часов машинного времени) использует компьютер для проверки большого количества промежуточных утверждений '. Подобная тенденция подмечается и другими исследователями, считающими, что в будушем «математическая теория, узаконивающая заведомо нестрогие переходы, будет лучше соответствовать реальному процессу»2, По существу, это означает, что математика и в этом своем качестве начинает теснее сближаться с гуманитарными науками, в которых подобные нестрогие (с точки зрения математики) критерии и нормы истинности вырабатывались на протяжении столетий и прочно вошли в их обиход.

Выразительная характеристика такого подхода к проблеме доказательности в гуманитарных науках дана известным филологом академиком А.А.Зализняком (опубликовано, кстати, в журнале «Успехи математических наук»); «У гуманитария же вообще нет возможности что-либо доказать в абсолютном смысле этого слова. Если слово «доказать» и применяется иногда в гуманитарных науках, то лишь в несколько ином, более слабом смысле, чем в математике. Строгого определения для этого «доказательства в слабом смысле», по-видимому, дать невозможно.

Практически имеется в виду, что предложенная гипотеза, во-первых, полностью согласуется со всей совокупностью уже известных фактов, имеющих отношение к рассматриваемой проблеме, во-вторых, является почему-либо безусловно предпочтительной из всех прочих мыслимых гипотез, удовлетворяющих первому требованию. В отличие от математического доказательства «доказательство в слабом смысле» может и рухнуть, если откроются новые факты или будет выяснено, что автор не учел каких-то принципиально мыслимых возможностей.

Все это не значит, однако, что утверждения гуманитарных наук вообще не могут претендовать ни на какую точность и надежность и что в этой области любая гипотеза не хуже и не лучше, чем любая другая. В гуманитарных науках, так же, как, например, в естествознании, долгим опытом выработаны критерии, позволяющие оценивать степень обоснованности того или иного утверждения даже при условии невозможности доказательства в абсолютном смысле»з Как это ни покажется парадоксальным, но фактически и в математике — как в научной, так и в школьной — реально используются такие доказательства, которые далеки от строгих ло- ' Самохин А.

В. Проблема четырех красок: неоконченная история доказательства // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6, № 7. С. 91 — 96. ' Беляев Е.А., Пермияов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. — М., 1981. С. 133. ' Зализняк А А. Лингвистика по А Т Фоменко р' Успехи математических наук. 2000. Т. 55, № 2.

С. 163. 432 гических канонов, а представляют собой рассуждения, которые призваны убедить определенный круг людей в справедливости того или иного утверждения. «В математике, — отмечает Г. В.Дорофеев', — при оценке доказанности той или иной теоремы фактически пользуются методом «экспертной оценки», а в роли экспертов выступают коллеги — математики, слушатели докладов на семинарах, рецензенты и члены редколлегий математических журналов». Аналогичную мысль высказывает Ю. И. Манинз: «Доказательство становится таковым только в результате социального акта «принятия доказательства». Это относится к математике в той же мере, что и к физике, лингвистике или биологии. Эволюция признанных критериев доказательности — почти не исследованная тема в истории науки...

Каждое предложенное доказательство апробируется на приемлемость математиками, иногда нескольких поколений», Эти обстоятельства накладывают на такое понимание доказательства субъективный оттенок: то, что убеждает одного, может быть неубедительным для другого. В этом смысле может показаться, что и в математике понятие доказательства также весьма расплывчато и неопределенно и напоминает по своей строгости доказательства в гуманитарных науках. Тем не менее это не так. «Математика не существовала бы как наука, — справедливо считает Г. В.Дорофеевз, — если бы не существовало более или менее единого мнения относительно того, является ли данное рассуждение доказательством.

Характеристики

Список файлов книги