Методичка с заданиями по Алгебре и геометрии 2 (1018635), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Линейный оператор в базисе (⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗) задан матрицейA. Найти матрицу оператора  в базисе (⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗).№ варианта1( ⃗,A()⃗ = -⃗ +⃗⃗ = 2⃗ +⃗⃗ =⃗⃗⃗ - ⃗⃗= ⃗ - ⃗23(())⃗=2 ⃗ - ⃗⃗ =- 2 ⃗ + ⃗⃗ = -⃗ +⃗⃗ = 2⃗ +⃗⃗ , ⃗)444567891011(((((((())⃗ = ⃗ -⃗⃗=3 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗⃗ = - ⃗ -2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗ + ⃗⃗=2 ⃗ + ⃗)⃗=3 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗ = ⃗ +3 ⃗)⃗ = - ⃗ -2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗ + ⃗⃗=2 ⃗ + ⃗))⃗ = ⃗ + ⃗ -2 ⃗⃗=2 ⃗ + ⃗ - ⃗⃗= ⃗⃗=3 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗)⃗=-2 ⃗ + ⃗⃗= ⃗ - ⃗)⃗ = - ⃗ +2 ⃗ + ⃗⃗= ⃗ + ⃗ -2 ⃗⃗ =2 ⃗ + ⃗ - ⃗⃗= ⃗45121314()()()⃗=3 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗ = ⃗ +3 ⃗⃗=3 ⃗ + ⃗⃗ = - ⃗⃗⃗ - ⃗ + 2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗⃗ = -2 ⃗ + ⃗⃗= ⃗ - ⃗⃗ = - ⃗ +2 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ -2 ⃗15()⃗= ⃗ - ⃗ + ⃗⃗ =2 ⃗ + ⃗⃗=3 ⃗ + ⃗16()⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗ = ⃗ +3 ⃗17181920(((())⃗ = ⃗ + ⃗ -2 ⃗⃗ =2 ⃗ + ⃗ - ⃗⃗= ⃗⃗=3 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗)⃗ = ⃗ + ⃗ -2 ⃗⃗=2 ⃗ + ⃗ - ⃗⃗= ⃗)⃗ = - ⃗ -2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗ + ⃗462122232425262728(((((((()))))⃗=2 ⃗ + ⃗⃗ = -2 ⃗ + ⃗⃗= ⃗ - ⃗⃗ = - ⃗ +2 ⃗ + ⃗⃗=3 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗ = ⃗ +3 ⃗⃗= ⃗ + ⃗ -2 ⃗⃗=2 ⃗ + ⃗ - ⃗⃗= ⃗⃗ = -2 ⃗ + ⃗⃗= ⃗ - ⃗⃗ = - ⃗ +2 ⃗ + ⃗⃗=3 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗)⃗=3 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗ = ⃗ +3 ⃗)⃗ = - ⃗ -2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗ + ⃗⃗=2 ⃗ + ⃗)⃗ = ⃗ + ⃗ -2 ⃗⃗ =2 ⃗ + ⃗ - ⃗⃗= ⃗472930((⃗=-2 ⃗ + ⃗⃗= ⃗ - ⃗)⃗ = - ⃗ +2 ⃗ + ⃗⃗=3 ⃗ + ⃗⃗=- ⃗ - ⃗ +2 ⃗⃗= ⃗ - ⃗)̂ действует в пространствеЗадача 2.10.

Оператор,̂⃗=( , , ). Проверить, является ли операторлинейным. В случаелинейности записать матрицу оператора ̂ в каноническом базисе пространства .№ варианта12345678̂а) ̂ ⃗⃗=(+ ,,)̂ ⃗⃗=(+3,+ ,)а) ̂ ⃗⃗=(+ ,,+ )б) ̂ ⃗⃗=( ,,)а) ̂ ⃗⃗=(+ , ,+ )б) ̂ ⃗⃗=(+ ,+ , + )а) ̂ ⃗⃗=(+ ,+ ,)б) ̂ ⃗⃗=(,,)а) ̂ ⃗⃗=(+ , +,)б) ̂ ⃗⃗=(+ ,+ ,)а) ̂ ⃗⃗=(+ ,,)̂ ⃗⃗=(,+ ,)̂ ⃗⃗=(+ , , )̂ ⃗⃗=(-3 , ,)а) ̂ ⃗⃗=( , + , )б) ̂ ⃗⃗=(+ ,+,+ )48910111213141516171819202122а) ̂ ⃗⃗=(+ ,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(+ ,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(+ , + ,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(+ ,5 ,б) ̂ ⃗⃗=( ,,)а) ̂ ⃗⃗=(+ ,б) ̂ ⃗⃗=(, + ,а) ̂ ⃗⃗=(,+ ,б) ̂ ⃗⃗=(,,а) ̂ ⃗⃗=(5+ ,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(0,+ ,б) ̂ ⃗⃗=(+ , +а) ̂ ⃗⃗=(+ ,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(+ ,б) ̂ ⃗⃗=(+ , ,а) ̂ ⃗⃗=(+,б) ̂ ⃗⃗=(,+а) ̂ ⃗⃗=(-3+ ,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(+ , ,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(+ ,б) ̂ ⃗⃗=( , ,+,, )+++), ), )+ )+, )+ )+,+)))+ )+-2,,+7)+ )+ ),+3)+ , )+ , )+,+2)+ )+ ),+ )++,,)+)),+)-7 ), )492324252627282930а) ̂ ⃗⃗=(+ ,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(+ ,б) ̂ ⃗⃗=(,+3а) ̂ ⃗⃗=( + ,,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,,а) ̂ ⃗⃗=(+ ,,б) ̂ ⃗⃗=( ,+ ,а) ̂ ⃗⃗=(,+б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(2,+ ,б) ̂ ⃗⃗=(+ ,а) ̂ ⃗⃗=(,+б) ̂ ⃗⃗=(+ , ,а) ̂ ⃗⃗=(+ ,б) ̂ ⃗⃗=(2,+ ,Задача 2.11.

Для линейного оператора,)+2),+), + ))+ )+ )+ ),++),+ )+ )+ ,,+ ))++)+ ),+) из задачи 2.10 определить,является ли оператор обратимым? Если да, то найти матрицу обратного3оператора  в каноническом базисе пространства R , сделать проверку.Найти образ вектора ⃗=(-1,2 , . Найти ядро линейного оператора  .Является ли вектор x  (0,1,0) собственным вектором оператора  ?Задача 2.12. Определить собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей A . Является ли ли-нейный оператор оператором простого типа? Если является, то записатьматрицу линейного оператора  в базисе из собственных векторов.№ вариантаA№ вариантаA5012345678 4  3 31211 1 27  6 6 212 2 2  1 6  2  1  1 5  1 1 2 4 41 2020 2  2  1 1 4 1111 0 0  2  1  2 12 043056  1 1 3151 3  1 1 2 19 30  0  5  12 0 25 1617181920212223 3 1 1 131005  3 1 40130 3 1 5 0  3 4 5  4 6 0  4 1 1  8020  1 1  10 1 5220 1 3  36 2 2 1520 0 1 2 1 1 1211 1 2 2  4 120  0 2  2 1519107  6 6232 2 2 3 5  4 4212 2 0 311214  1 7  1 1 2 4 121 0 2 2 3 2 2 0 4131415 5 7 0 310 12 6  3  4 0 5729 3 0 61 7 2010 2 3 42425 6  2 0150 1  2 4 2 1 1421 0 0 3267 6  23 4 5  0 0  227 2 0 2531 2 0 2282930 1  4 5413 00 1 0 7 4010 1 13 3  1 1 1130 1 0 3Задача 2.13.

Пусть – линейный оператор в пространстве .a) Найти матрицу линейного оператора  в базисе {⃗ ⃗ ⃗⃗}.b) Найти образ вектора ⃗.c) Найти ядро и образ оператора  .d) Является ли оператор ̂ обратимым? Если да, описать его действие.52e) Найти собственные значения и собственные векторы оператора̂№ варианта .⃗1(1, 0, 2)2Отражение относительно плоскости YOZ(-1, 1, 0)3Гомотетия c коэффициентом к = 2(0, -1, 2)4Проекция на плоскость XOY(-2, 0, 1)5(0, 1, 3)6Отражение относительно оси OZ(-1, 2, 0)7Гомотетия c коэффициентом к = 0,5(3, 0, 2)8Проекция на ось OY(-1, 4, 1)9(-2, 0, 2)10Отражение относительно плоскости XOY(0, -2, 3)11Гомотетия c коэффициентом к = -2(1, 2, 3)12Проекция на плоскость XOZ(-1, 3, 1)13(3, 0, 2)14Отражение относительно оси OY(-2, 3, 1)15Гомотетия c коэффициентом к =-0,5(0, 1, 3)16Проекция на ось OZ(-1,0, -2)по17часовой стрелке(3, -1, 2)18Отражение относительно плоскости XOZ(1, -1, 4)5319Гомотетия c коэффициентом к = 3(-2, 0, 2)20Проекция на плоскость YOZ(0, 1, -2)21(1, 2, -3)22Отражение относительно оси OX(-1, 2, 1)23Гомотетия c коэффициентом к = -3(0, 1, 2)24Проекция на ось OX(-2, 1, 0)против часо-25вой стрелки(1, -1, 3)26Гомотетия c коэффициентом к = 5(-1, 0, 2)27Гомотетия c коэффициентом к = -5(3, -1, 2)282930(1, 0, 4)Гомотетия c коэффициентом к = -1почасовой стрелкеЗадача 2.14.

В пространстведан оператор ̂(-2, 2, 1)(0, -2, 1)многочленов степени не выше 2 за-a) Показать линейность оператора Â .b) Найти матрицу линейного оператора Â в каноническом базисе пространства .c) Найти образ многочлена ( .d) Найти ядро линейного оператора Â .e) Существует ли обратный оператор?̂ (р (№ Варианта1tpʹ(t)-2p(t)p(t)3t2-5t+12(t2p(t))ʹʹ2t2+7t-35434567891011(tp(t))ʹʹ-2p(t))(tp(t))ʹ-3p(t)2p(t)- t2pʹʹ(t)pʹ(t)-2p(t)t2pʹ(t)-2tp(t)2pʹ(t)-p(t)2p(t)-2tpʹ(t)(t+1)pʹʹ(t)(tp(t))ʹ-p(t)t2-44t2-2t+33t-t2t2-5t-4t2-2t+42t2+3t3t2-14t2+5t4t+712131415161718192021(t2p(t))ʹʹ-6p(t)t2pʹʹ(t)-p(t)2(tp(t))ʹ-6p(t)p(t)-tpʹ(t)pʹ(t)-2p(t)(t2 -1)pʹʹ(t)tpʹʹ(t)-p(t)2tpʹ(t)-4p(t)(tp(t))ʹʹ(t-1)pʹ(t)3t-t24t2-3t2t2-5t+32t2+3tt2-3t-63t2+4t+57t-53t2-5t2t2-5t2+2t+3222324252627282930(t2p(t))ʹʹ+p(t)3t (((tp(t))ʹ-p(t)(t-2)pʹ(t)pʹ(t)+3p(t)t2pʹʹ(t)ʹ-2p(t)(t+3)pʹ(t)2tpʹ(t)-4p(t)p(t)-2pʹ(t)-2t2-3t2t2-t+1t2-6t-23t2+55t2-2t+33t2-t+22t+35t2-t+1-t2+555Задача 2.15.* Оператор Â действует в пространствемногочленов степени не выше 2.a) Показать линейность оператора Â .b) Найти матрицу линейного оператора Â в каноническом базисе пространства .c) Найти образ многочлена ( .d) Найти ядро линейного оператора Â .e) Существует ли обратный оператор?(Задача не является обязательной.

Вводится в типовой расчет по указаниюпреподавателя).̂( (№ вариантаp(t)1t(p(t+1)-p(t))-t2-3t+102t (t-1)-p(t)-3t2+2t+63(t2p(t-1))''2t2-8t42p(t)-p(t+1)-t2+6t+352t (t)-4p(t-1)5t2+26t (t+2)3t2-5t+17t (t+1)-2p(t)3t2-2t+48(t2p(t+1))''-2t2-t+79t(p(t-2)-p(t))4t2+3t+210t (t)-2p(t-1)-3t2-2t+111(t2p(t-2))''5t2+2t+312p(t)-2p(t+1)-7t2+2132t (t)-4p(t+1)3t2-3t+414(tp(t+2))'-t2-8t-25615t (t)-2p(t-1)2t2+t+916t(p(t-1)-p(t))3t2+4t-717t4t2+t-518(t2p(t))'' -2p(t+1)-3t2-7t+219p(t)-2p(t-1)8t2+5t-3202t (t)-p(t+1)t2-2t+921t3t2-5(t-2)(t-2)Задачи по теме «Квадратичные формы. Евклидово пространство»Задача 2.16.

Задана квадратичная форма  (x ) .а) Привести  (x ) к каноническому виду методом Лагранжа, выписатьпреобразование координат.б) Найти положительный и отрицательный индексы, ранг квадратичнойформы  (x ) .в) Исследовать  (x ) на знакоопределенность двумя способами: по каноническому виду и по критерию Сильвестра.№ варианта (x )1x12  5x22  4 x32  2 x1 x2  4 x1 x322 x12  4 x22  10 x32  4 x1 x2  6 x1 x33x12  5x22  11x32  4 x1 x2  2 x1 x3  2 x2 x34x12  2 x22  5x32  2 x1 x2  2 x1 x354 x12  5x22  9 x32  4 x1 x2  4 x1 x3  14 x 2 x364 x12  2 x22  10 x32  4 x1 x2  12 x1 x3  8 x 2 x3577x12  3x22  8x32  2 x1 x2  2 x1 x3  10 x 2 x3813x12  x22  x32  6 x1 x2  4 x1 x394 x12  3x22  9 x32  4 x1 x2  4 x1 x3  10 x 2 x3104 x12  8x32  4 x1 x2  6 x1 x3  4 x2 x311x12  3x22  7 x32  4 x1 x2  2 x1 x3  10 x2 x3129 x12  3x22  8x32  12 x1 x2  6 x1 x3  2 x2 x313 x12  2 x22  4 x32  2 x1 x2  2 x1 x314x12  4 x1 x2  2 x1 x315x12  8x22  2 x32  4 x1 x2  2 x1 x3  8x2 x3168x12  x22  x32  4 x1 x2  4 x1 x317 5x12  x22  x32  4 x1 x2  6 x1 x318 13x12  x22  x32  4 x1 x2  6 x1 x319x12  2 x22  x32  2 x1 x2  2 x1 x3204 x12  12 x22  x32  6 x1 x2  2 x2 x3214 x12  3x22  7 x32  4 x1 x2  12 x1 x3  10 x2 x322x12  8x22  5x32  4 x1 x2  2 x1 x3  8x2 x3232 x12  4 x22  12 x32  4 x1 x2  6 x1 x324x12  5x22  8x32  4 x1 x2  2 x1 x3  2 x2 x325x12  2 x22  x32  2 x1 x2  2 x1 x3264 x12  5x22  5x32  4 x1 x2  4 x1 x35827 x12  2 x22  2 x1 x2  2 x1 x328x12  x32  4 x1 x2  2 x1 x3  8x2 x329x12  11x22  10 x1 x2  2 x1 x3  26 x2 x330x12  2 x1 x2  2 x1 x3  2 x2 x3Задача 2.17.

Дана матрица Грама скалярного произведения G в базисе {e1 , e2 }. Найти:‒ длины базисных векторов {e1 , e2 };‒ угол между базисными векторами {e1 , e2 };‒ длины заданных векторов x и‒ угол между векторами x иy;y.Ортогонализовать базис {e1 , e2 }. Сделать проверку с помощью матрицыперехода.№ варианта1357911G 36 8 1 1 3 1  225 235 116 7  2 2 2  2  336x ,y№ варианта(1,2)(-1,1)2(1,2)(-1,1)4(1,2)(-1,1)6(1,2)(-1,1)8(1,2)(-1,1)10(-3,1)(1,-2)12Gx,y 2 338 1  11 6  9  442(1,2)(-1,1) 6  5598 55 6 2 338(1,2)(-1,1)(1,2)(-1,1)(1,2)(-1,1)(1,2)(-1,1)(-3,1)(1,-2)591315171921238 113 1  2255 11 6(-3,1)(1,-2)14(-3,1)(1,-2)16(-3,1)(1,-2)18 7  222 2  3368 113(-3,1)(1,-2)20(3,-1)(1,2)22(3,-1)(1,2)24 1  2 2 5 (3,-1)(1,2)265 116 7  222(3,-1)(1,2)28(3,-1)(1,2)30252729 1  116 9  442(-3,1)(1,-2)(-3,1)(1,-2) 6  559(-3,1)(1,-2)8 556 2 338 1  116(-3,1)(1,-2) 9  442 6  5598 556(3,-1)(1,2)(3,-1)(1,2)(3,-1)(1,2)(3,-1)(1,2)(3,-1)(1,2)Задача 2.18.* Дана матрица G квадратичной формы  (x ) в базисеS  {e1 , e2 , e3 }.а) Показать, что матрица G является матрицей Грама.b) Найти длины базисных векторов и углы между ними.c) Найти длины векторов x =(1,2, 3) и y =(2,-1,2) и угол между ними.матрицу Грама квадратичной формы  (x ) в базисеS1  { f1 , f 2 , f 3 } .(Задача не является обязательной.

Характеристики

Список файлов книги