Методичка с заданиями по Алгебре и геометрии 2 (1018635), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Канатников А.Н. Крищенко А.П. Линейная алгебра. М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 2006. 335 c.3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. 383 с.4. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия. М.:Планета знаний, 2007. 469 с.5.

Кузнецова Е.Ю, Малыгина О.А., Морозова Т.А., Пронина Е.В.,Параскевопуло О.А., Руденская И.Н., Таланова Л.И., Чекалкин Н.С. Алгебра и геометрия. 2-ой семестр. Учебно-методическое пособие для студентов ф-та РТС. М.: МГТУ МИРЭА, 2014. 55 с. // электронное издание.Рег. Свидетельство № 37937.6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. 431c.7. Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ, том1. М.: Издательство физико-математической литературы, 2003.

288 с.Дополнительная литература8. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Едиториал УРСС, 2002. 252 с.9. Атабеков Г.И. Основы теории цепей., Спб.: издательство «Лань»,2009. 432 с.10. Аксененкова И.М., Игонина Т.Р., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С.и др. Математический анализ, 1 семестр. Учебно-методическое пособие.М.: МИРЭА, 2012. 128с.11. Сборник задач по высшей математике для экономистов/под ред.П.С.

Геворкяна/. М.: ЗАО «Издательство Экономика», 2010. 384 с.9Часть 1Основные типы задачдля подготовки к контрольным работам и экзамену (зачету)Часть 1 построена следующим образом. По каждой теме курса алгебры и геометрии 2-го семестра приведены основные типы задач. Дляуспешной подготовки к контрольным работам и сдаче экзамена (зачета)студенту рекомендуется выполнить все такие задачи.

Также в части 1 содержатся дополнительные задачи – это задачи повышенной трудности повсем темам курса для углубленного изучения материала.Особенностью пособия является расширение традиционного списказадач алгебры и геометрии задачами прикладного характера, возникающими, например, в электротехнике, радиотехнике, экономике. Здесь же естьзадачи из курса дифференциальных уравнений.

Решение подобных задачраскрывает взаимосвязи между различными дисциплинами.Полноценное усвоение материала алгебры и геометрии 2-го семестрастроится на базе программы алгебры и геометрии 1-го семестра, на использовании знаний и умений по математическому анализу (1 семестр), атакже на основе применения элементарной математики (алгебры, тригонометрии, геометрии).Задачи по теме «Комплексные числа»Задача 1.1. Заданы два комплексных числа z1ской форме.

Вычислить:2) (iz1  3z 2  5i)5) Re( z1  z 2  2 z1  4)№1z1 и z 2z1  1  2i6) Im(3)иz 2 в алгебраиче-4)z1z25 z 2  z1)iz 2  1№62738z1 и z 21049510Задача 1.2. Заданы два комплексных числа z1 и z 2 в алгебраическойформе.1) Найти модули и аргументы комплексных чисел z1 и z 2 .2) Представить комплексные числа z1 и z 2 в тригонометрической и показательной формах.3) Вычислить и изобразить№z11а) z2а)3а)4а)5а)(z1 )100 .№z2√√√z1б)6а)б)7а)б)8а)б)9а) zб)10а)z2б)√б)б)√б)б)√В электротехнике при расчете электрических цепей широко применяются комплексные числа (метод комплексных амплитуд).

Приведемпримеры задач по расчету электрической цепи на основе использованиякомплексных чисел.Задача 1.3. Для участка электрической цепи задано комплексноесопротивление Z . Найти комплексную проводимость Y тивную проводимость g  ReY1. Найти акZ, найти реактивную проводимостьb  ImY .№z№Z1Z  3 5i ом3Z  0,12  0,7i ом11Z  8  15i ом2Z  4,7  9,3i ом4Задача 1.4. Для участка электрической цепи задана комплексное1проводимость Y . Найти комплексное сопротивление Z  . Найти акYтивное сопротивление a  Re Z , найти реактивное сопротивлениеd  Im Z .№Y№Y1Y  0,2  0,2i3Y  6,2  8,2i2Y  3  2i4Y  4  7iЗадача 1.5.

Для участка электрической цепи, состоящего из последовательно соединенных сопротивления r и индуктивности L , найтикомплексное сопротивление Z и комплексную проводимость Y . Ответизобразить на комплексной плоскости.1Указание: воспользоваться формулами Z  r  wL  i , Z  .Y№№rrwLwL13040315542251946371Задача 1.6. Для электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных контуров с комплексными сопротивлениями Z1, Z 2 ,..., Z n ,полное комплексное сопротивление цепи определяется равенством1111 ...

. Известно, что модуль комплексного сопротивленияZ Z1 Z 2ZnZ - это коэффициент пропорциональности между амплитудами тока инапряжения, arg Z - разность фаз между током и напряжением.Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из трех параллельносоединенных контуров с комплексными сопротивлениями Z1 , Z 2 , Z 3 ,Найти:а) полное комплексное сопротивление цепи Z ;12б) коэффициент пропорциональности между амплитудами тока инапряжения, разность фаз между ними.№z1z2Z313 5i ом4  4,21i ом0,12  0,8i ом28  15i ом6,75  9i ом4,7  5,3i омЗадача 1.7. Решить уравнение.

Изобразить корни уравнения на комплексной плоскости.№№16273849510Задача 1.8. Найти корни многочлена. Разложить многочлен на линейные множители.№№1P( z)  z 2  256P( z )  z 3  i2P( z )  z 2  z  17P( z)  z 3  iz 2  4 z  4i3P( z )  z 3  278P( z )  z 4  z 3  z  14P( z )  z 3  z 2  4 z  49P( z)  4 z 3  12iz 2  z  3i5P( z)  z 3  2 z 2  9 z  1810P( z )  z 5  2 z 4  z  213Задача 1.9. Изобразить области, заданные неравенствами, на комплексной плоскости.№№1z 462 z4 32z 3  272  z 1 i  43z  5i  38Re z  34z  1  2i  19Im z  55z  2  3i  110 arg z 42Задачи по теме «Линейные пространства»Задача 1.10.

Найти ранг матрицы.№№1231  14564 789  7543926  2 1 5135 11  5 13  1  17  3  19 3125735 11  3 4 1 1 7 791 6783012123133211 1 44 10 1 7 17 3 2 4 3  3 2 0 3  1 3 6  1 3 2 0 1 233112311221 14411 134 42  4 42 3  30111 51 2 13 1  22 3 13  3 00202 2  1 3 52431 5 172 11798923211034411121 2231Задача 1.11. Векторы a, b, c, d заданы своими координатами в каноническом базисе i, j , k линейного пространства V3 .

Показать, что векторы a, b, c образуют базис пространства V3 . Найти разложение вектораd по этому базису. Сделать проверку.№12345№⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗((((((((((((⃗((6⃗⃗⃗⃗7⃗⃗⃗⃗8⃗⃗⃗⃗9⃗⃗⃗10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗((((((((⃗⃗⃗⃗((((((⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗15⃗⃗(⃗⃗⃗⃗⃗⃗(⃗⃗⃗⃗Задача 1.12. Выполнить следующие задания.№1) Является ли множество векторов L  {(3, a  b,0, a)} , a,b  R, линейным подпространством в R 4 ?№2) Является ли множество векторов L  {(b, a  b,0,2a)} , a,b  R, линейным подпространством в R 4 ? Если да, то найти базис и размерность этого подпространства.

Дополнить базис подпространства L добазиса всего пространства R 4 .№3) Является ли множество векторов L  {(2a  b, b, c, a  c)} , a,b,c  R, линейным подпространством в R 4 ? Если да, то найти базис и размерность этого подпространства. Дополнить базис подпространства L добазиса всего пространства R 4 .a 4} , a,b  R, линейным подL{№4) Является ли множество матрицbaпространством в линейном пространстве квадратных матриц второгопорядка M 22 ? a  2b } , a,b  R, образует№5) Доказать, что множество матриц L  {baлинейное подпространство в линейном пространстве квадратных матриц второго порядка M 22 . Найти базис и размерность этого подпространства. Дополнить базис подпространства L до базиса всего пространства M 22 .2№6) Доказать, что множество L  {P( x)  ax  bx  2a} многочленов свещественными коэффициентами образует линейное подпространствов линейном пространстве P2 многочленов степени не выше 2.

Найтиразмерность и базис L. Дополнить базис подпространства L до базисавсего пространства P2 .№7) Доказать, что множество многочленов с вещественными коэффици32ентами L  {P( x)  (a  b) x  3bx  cx  6a} образует линейноеподпространство в линейном пространстве P3 многочленов степени невыше 3. Найти размерность и базис L. Дополнить базис подпространства L до базиса всего пространства P3 .16Задачи по теме «Линейные операторы»Â и ̂ действуют в пространстве R 2 .а) Проверить линейность операторов  и ̂ .б) Написать матрицы линейных операторов  и ̂ в каноническом базисеЗадача 1.13.

Операторыпространства R 2 .в) Найти образ заданного вектора ⃗г) Найти ядро операторов Â и ̂ .д) Являются ли операторы Â иматрицу обратного оператора.̂ обратимыми? Если являются, найтие) Найти собственные значения и собственные векторы оператора№варианта̂⃗̂⃗Â .⃗1( x1  6 x2 , x1  2 x2 )( x1  x2 ,2 x1  2 x2 )(1, 2)2(4 x1  2 x2 ,2 x1  x2 )(3x1  x2 ,2 x1  2 x2 )(-1, 1)3(2 x1  x2 , x1  2 x2 )(2 x1  x2 ,2 x1  x2 )(0, 2)4(2 x1  6 x2 , x1  3x2 )(2 x1  6 x2 ,2 x1  3x2 )(-2, 1)5( x1  2 x2 ,2 x1  3x2 ) (4 x1  6 x2 ,2 x1  3x2 ) (1, 3)6( x1  3x2 ,2 x1  6 x2 )(5x2 ,2 x1  3x2 )(-1, 0)7(3x1  5x2 , x1  x2 )(3x1  x2 ,3x1  x2 )(3, 2)8(4 x1  2 x2 ,2 x1  x2 )(3x1  4 x2 ,2 x1  x2 )(1, 4)9(2 x1  3x2 , x2 )(2 x1  x2 ,4 x1  2 x2 )(-2, 2)10(2 x1  x2 ,4 x1  2 x2 )(2 x1  3x2 ,4 x1  3x2 ) (0, -2)Задача 1.14.

Выполнить следующие задания.17№1) В пространствелинейный оператор  – поворот плоскости вокруг начала координат на уголпротив часовой стрелки. Найти:4 ‒ матрицу линейного оператора  в базисе (i , j ) ;  ‒ образ вектора x  5i  2 j ;‒ ядро и образ оператора  ;‒ матрицу обратного оператора.№2) В пространствелинейный оператор  – проектирование наплоскость xoy , параллельно оси oz . Найти: в базисе {⃗ ⃗ ⃗⃗};‒ ядро и образ линейного оператора  ;‒ матрицу линейного оператора‒ собственные значения и собственные векторы оператораСуществует ли обратный оператор? Является ли операторпростого типа?№3) В пространствеoz . Найти:линейный оператор . оператором – проектирование на ось в базисе {⃗ ⃗ ⃗⃗};‒ ядро и образ линейного оператора  ;‒ матрицу линейного оператора‒ собственные значения и собственные векторы оператораСуществует ли обратный оператор? Является ли операторпростого типа?№4) В пространствеотносительно осилинейный операторox .

Характеристики

Список файлов книги