Методичка с заданиями по Алгебре и геометрии 2 (1018635), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Найти:‒ матрицу линейного оператора‒ ядро линейного оператора‒ образ вектора a  (4,8,3) ; . оператором – зеркальное отражение в базисе {⃗ ⃗ ⃗⃗}; ;‒ собственные значения и собственные векторы оператораСуществует ли обратный оператор? Является ли операторпростого типа? . оператором18№5) В пространствелинейный операторотносительно плоскости.

Найти:xoz‒ матрицу линейного оператора‒ ядро линейного оператора‒ образ вектора a  (3,9,4) ; – зеркальное отражение в базисе {⃗ ⃗ ⃗⃗}; ;‒ собственные значения и собственные векторы оператора  .Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в базисе{⃗ ⃗ ⃗⃗} . Является ли оператор  оператором простого типа?№6) В пространствемногочленов степени не выше 2 задан операторAˆ p( x)  x  p( x) .a) Показать линейность оператора.b) Найти его матрицу в каноническом базисе пространства .2c) Найти образ многочлена p( x)  3x  5x  6 .d) Найти ядро линейного оператора  .e) Существует ли обратный оператор?№7) В пространствемногочленов степени не выше 3 задан операторAˆ p( x)  p( x) .a) Показать линейность оператора.b) Найти его матрицу в каноническом базисе пространства .с) Найти ядро линейного оператора  .d) Существует ли обратный оператор?№8) В пространствемногочленов степени не выше 2 задан операторAˆ p( x)  2 p( x)  p( x) .a) Показать линейность оператора.b) Найти его матрицу в каноническом базисе пространства .с) Найти ядро линейного оператора  .d) Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицув каноническом базисе пространства .№9) Отображение ̂ действует в линейном пространстве .

Проверить,является ли оператор ̂ линейным оператором. В случае линейности19записать матрицу оператора ̂.а) ̂ ⃗⃗=(б) ̂ ⃗⃗=(,++ ,в каноническом базисе пространства,++,)+ ).№10) Для линейного оператора из предыдущей задачи №9 определить:а) Является ли оператор  обратимым? Если да, то найти матрицу3обратного оператора  в каноническом базисе пространства R , сделать проверку.b) Найти образ вектора ⃗=(1,-2 , .c) Найти ядро линейного оператора .d) Будет ли вектор x  (0,1,0) собственным вектором оператора  ?В экономике используется математическая модель международнойторговли. Задачи №11,№12 и №13 – это примеры использования такоймодели.1 223№11) Структурная матрица торговли двух стран имеет вид A   1 1 2 3Найти отношение национальных доходов S1 : S2 двух стран, чтобы торговля была сбалансированной.Указание.

Найти собственный вектор структурной матрицы A ,соответствующий собственному значению   1 .Замечание. Пусть собственный вектор структурной матрицы Aa  (a1 , a2 )T . Тогда сбалансированность тордля   1 имеет видговли двух стран достигается, если отношение национальных доходовS1a 1 .стран равно отношению координат собственного вектораS2a220№12)Структурная матрица торговли трех стран141A412131313имеет вид120  . Найти отношение национальных доходов S1 : S2 : S3 трех12стран для сбалансированной торговли.Указание. Вектор национальных доходов S  (S1 , S2 , S3 )T долженбыть пропорционален собственному вектору структурной матрицы Aдля   1 .№13)Известна491A3293101215структурнаяматрицаторговлитрехстран1 10 1 .

Как должны соотноситься национальные доходы этих2 2 5 трех стран, чтобы торговля была сбалансированной.Задачи по теме «Квадратичные формы. Евклидово пространство»Задача 1.15. Выписать квадратичную форму, матрица которой в базисе {e1 , e2 , e3} имеет заданный вид. Исследовать квадратичную форму назнакоопределенность по критерию Сильвестра.№варианта12№варианта(())67()()21()4()95()103()()8()Задача 1.16. Установить, какие из заданных матриц являются матрицами Грама.№№11 23461 0 1 0 4 31 3 92 1  33471 0 2 0  4 32 3 93 5 224841 7 759  7 1  3 1 4 13 1 5 8 2 0  2 1  1 0 1 4 59 772104 2 0  2 1  1 0 1 4 Задача 1.17. Матрица Грама G скалярного произведения в базисе{e1 , e2 } имеет заданный вид.

Найти длины базисных векторов и угол22между ними. Найти с помощью заданной матрицы Грама угол между векторами x  (1,2) , y  (6,5) .№ вариантаG№ вариантаG12345 2  3 3 6 8 1 1 3 1  2255 116 7  222 2 3 3 8 1  11 6  9  442678 6  5598 556910Дополнительные задачидля подготовки к экзамену или зачету (задачи повышенной трудности)В дополнение к основным типам задач по курсу алгебры и геометрии2-го семестра предлагается перечень задач повышенной трудности дляуглубленного изучения материала.   №1. Доказать, что множество векторов L  {x : ( xa)  0, a  (2,6,0)}является линейным подпространством в пространстве V3 .

Найти базис иразмерность L. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.Замечание: x , a  - это скалярное произведение векторов.№2. Доказать, что множество векторов L  {x : x, a   0, a  (2,1,4)}является линейным подпространством в пространстве V3 . Найти базис иразмерность L. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства. Замечание: x , a  - это векторное произведение векторов.23№3.

Образуют ли векторыa  (1,2,1,0) , b  (3,1,0,1) ,c  (4,1,2,1) , d  (1,3,2,1)базис в линейном пространстве R 4 ?№4. Пусть L- это множество многочленов p  P3 с вещественнымикоэффициентами, удовлетворяющих условию p(0)  p(1)  0 . Доказать,что L является линейным подпространством в P3 .

Найти базис подпространства L.№5. Пусть L- это множество многочленов p  P3 с вещественнымикоэффициентами, удовлетворяющих условию p(1)  0 . Доказать, что L является линейным подпространством в P3 . Найти базис и размерность подпространства L.

Дополнить базис подпространства L до базиса всего пространства P3 . Найти матрицу перехода от канонического базиса P3 к построенному базису.№6. Множество(матрицы, перестановочные с матрицей) . Доказать, что L является линейным подпространством впространстве матриц M 33 . Найти базис и размерность подпространства L.Проверить, что матрица1A  001 0 1 0  принадлежит0 2 подпространству L.Найти координаты матрицы А в найденном базисе подпространства L.№7. Исследовать на линейную зависимость или независимость системы функций:25x5x2 5x1) {sin 3x, cos 6 x,2} , x  R ;2) {e ,5xe , x e } , x  R ;33) {1, ln 2 x, ln x } , x  (0,) ;3x3x2 3x4) {1, e , xe , x e } , x  R .В курсе дифференциальных уравнений используется определительВронского. С его помощью устанавливается линейная независимость системы функций, являющихся решениями линейного дифференциальногоуравнения.24№8.ОпределителемВронскогоy1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x) называется определительy1 ( x)y1 ( x)W ( x) ...( n 1)y1 ( x)y 2 ( x)y 2 ( x)...( n 1)y 2 ( x)W (x)............системыфункцийy n ( x)y n ( x)...( n 1)y n ( x)ЕслиопределительВронскогосистемыфункцийW (x)y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x) не равен тождественно нулю при x  (a, b) , то системафункций линейно независима в интервале (a, b) .Вычислить определитель Вронского и доказать линейную независимость системы функций:2x2x5x4x4x2 4x1) {e sin 3x, e cos 3x, e } , x  R ;2) {1, e , xe , x e } , x  R ;3) {sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x} , x  R ;4) {1, x, sin x, cos x} , x  R .№9.

Доказать, что множество L функций f (x) , x  R , является линейным подпространством в пространстве непрерывных функций. Найтибазис и размерность подпространства L.2x1) L  {a  4b  ch 2 x  3c  e } ;2) L  {a  cos 2 x  b  sin 2 x  c  sin 4 x} .№10. В пространствеоператор действует по правилу   Ax  ( x, a)  a , где a  (1,1,1) . Проверить, что  - линейный оператор.Найти матрицу линейного операторараз линейного операторали оператор в базисе {⃗ ⃗ ⃗⃗}. Найти ядро и об- . Существует ли обратный оператор? Является оператором простого типа?№11. В пространствеоператор действует по правилу   Ax  x, a   x , где a  (4,2,0) .

Проверить, что  - линейный оператор.Найти матрицу линейного оператораратный оператор? в базисе {⃗ ⃗ ⃗⃗}. Существует ли об-25№12. Операторы  и ̂ действуют в линейном пространстве R3 поBˆ x  (3x2  2 x3 , x1  x2  x3 ,2 x3 ) .правилу Aˆ x  ( x1  5x2  x3 , x1  x2 ,6 x3 ) иПоказать линейность каждого оператора. Найти матрицу оператораC  AB  BA .№13. Линейный оператор Ĉ в линейном пространстве V3 состоит вˆ ).последовательном применении линейных операторов  и B̂ ( Cˆ  Bˆ AНайти матрицу оператора Ĉ в каноническом базисе пространства V3 , еслиизвестно, что  - проектирование на плоскость XOY , B̂ - отражение относительно оси OY. Обратим ли оператор Ĉ ?№14.

Задана квадратичная форма ( x )  x12  ax22  (a  1) x32  2 x1 x2  2 x1 x3  2ax2 x3 . При каких значениях a квадратичная форма будет положительно определена?№15. Задано уравнение кривой второго порядка4 x  13 y 2  12 xy  12 x  10 y  3  0 . Привести данное уравнение к каноническому виду методом ортогональных преобразований. Определить тип кривой, сделать чертеж.28 1 3 №16. Матрица Грама в базисе {e1 , e2 , e3 } имеет вид G   1 4  1 .3  1 5 Найти длины базисных векторов и углы между ними. Найти угол междувекторами x  (1,2,4) и y  (3,1,1) .

Характеристики

Список файлов книги