Краткие ответы на всю теорию за 1 семестр по матану (1017920), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

A₀ = f(a), A₁ = f'(a), A₂ = f''(a), ..., A_n-1 = f^(n-1)(a),

а из уравнения (2) коэффициент A_n: A_n = f⁽ⁿ⁾(c) и подставим их значения в последнее уравнение системы (1):

,

где 0 <  < 1
Заменяя b на x, получим формулу Тейлора:

где 0 <  < 1
Последнее слагаемое

называется остаточным членом в форме Лагранжа.
При a = 0 получается так называемая формула Маклорена:

где 0 <  < 1, а остаточный член записывается в виде

В29.Условие монотонности функции на промежутке. Условие постоянства функции на промежутке и его свойства.

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a;b] и имеет конечную производную во всех точках.Для того, чтобы функ-я была постоянной достаточно чтобы производная=0 в каждой точке отрезка.

Док-во по теореме лангранжа есть хоть одно С из (x₀,x) для которого f(c)=f(x₀)+f’(c)(=0)(x-x₀) (f’(x)-f(x))/(x’-x₀)=f’(c) f(x)=f(x)

Следствие: f(x) и g(x) непрер, имеют производн и если производн совпад., то фун-и отличаются на постоянную величину.

Док-во: h(x)=f(x)-g(x) h’(x)=f’(x)-g’(x)=0 f-g=c f=g+c

В30.Достаточные признаки экстремума функции 1 переменной

Экстремумы функции.

М ожно указать О(х₁) в которой все значения функции

f(x)<f(x₁) b и О_1(х₁) анологично для точки х₂

f(x)>f(x₁) b и О_2(х₁). Значенгие функции в точке М₁, М₃ и М₅ –

max; M₂ и М₄ – min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение: (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х₀) и f(x)>f(x₀) в

О(х₀) или f(x)<f(x₀) в этом случае точка х₀ – называется точкой локального max (min).

З амечание:

f(x)f(x₁) в О_1(х₁)

f(x)f(x₂) в О_2(х₂)

говорят, что точки х₁ и х₂ точки не строгого локального

экстремума.

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х₀ и точка х₀ – точка экстремума, тогда f(x₀)=0

Доказательсто: Заметим, что х₀ точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x₀) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)(x-x₀)+o(x-x₀)

f(x)-f(x₀)=(x-x₀)[f(x₀)+(x-x₀)] то при х – достаточно близких к х₀ знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x₀)0 (x-x₀) – меняет знак при переходе черех точку х₀  f’(x₀)=0

Функция u=f(Р) имеет максимум (минимум) в точке P₀(x⁰₁,...,x⁰_n), если существует такая окрестность точки P₀, для всех точек Р (x₁,...,x_n)которой, отличных от точки P₀, вы­полняется неравенство f(Р₀)>f(Р) (соответственно f(Р₀)<f(P)). Максимум или минимум функции наз. её экстремумом. Необходимое условие экстремума: Если дифферен­цируемая функция f(Р) достигает экстремума в точке P₀, то в этой точке

f'_xk(P₀)=0 для всех k=1,2,...,n {1} или df(P₀,x₁,...,x_n)=0 тождественно относительно ,x₁,...,x_n. Точки, в которых выполняются условия {1} наз. стационарными точками функции u=f(Р). Таким образом, если P₀ – точка экстремума функции u=f(P), то либо P₀ – стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема. Достаточные условия экстремума. Пусть P₀(x⁰₁,...,x⁰_n) – стационарная точка функции u=f(P), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Тогда: (1) если второй дифференциал d²u(P₀(x₁,...,x_n)) как функ­ция x₁,...,x_n имеет постоянный знак при всевозможных наборах значений x₁,...,x_n не равных одновременно нулю, то функция u=f(P) имеет в точке P₀ экстремум, а именно – максимум при d²u(P₀(x₁,...,x_n))<0 и минимум при d²u(P₀(x₁,...,x_n))>0; (2) если d²u(P₀(x₁,...,x_n)) является знакопеременной функ­цией x₁,...,x_n, т.е. принимает как положительные, так и отри­цательные значения то точка P₀ не является точкой экстремума функции u=f(P); (3) если d²u(P₀(x₁,...,x_n))0 или d²u(P₀(x₁,...,x_n))0, причем, существуют такие наборы значений x₁,...,x_n не равных одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала обращается в нуль, то функция, u=f(P) в точке P₀ может иметь экстремум, но может и не иметь его (в этом случае для выяснения вопроса требуется дополнительное исследование). В частном случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть P₀(x₀,y₀) – стационарная точка функции z=f(x,y) причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Введем обозначения: A=f''_xx(x₀,y₀), B=f''_xx(x₀,y₀), C=f''_xx(x₀,y₀) D=AC–B². Тогда: [1] если D>0, то функция z=f(х,у) имеет в точке Р₀(x₀,y₀) экстремум, а именно – максимум при А<0 (С<0) и минимум при А>0 (С>0); [2] если D<0, то экстремум в точке Р₀(x₀,y₀) отсутствует; [3] если D=0, то требуется дополнительное исследование.

В31.Вогнутость, выпуклость, точки перегиба графика функции. Условиях их существования

В ыпуклость и вогнутость.

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х₀, если f(x)-y_кас<0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х₀, если f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О(х₀) и непрерывна в О(х₀). Точка х₀ –

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

Теорема: (о достаточном условие выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀ и f’’(x₀)<0 (f’’(x₀)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х₀.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:

Если х близко к х₀, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x₀). Если f’’(x₀)<0, то f(x)-y_кас>0 в О(х₀).

Если f’’(x₀)>0, то f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х₀) и дважды дифференцируема в О(х₀), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, тогда точка х₀ – точка перегиба.

Доказательство:

f’’(x) - +

^{(  ) x}

x₀

f’’(x)<0 в O^-(x₀) f(x) – выпукла вверх в О^-(х₀)

f’’(x)>0 в O⁺(x₀) f(x) – выпукла вниз в О⁺(х₀)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х₀. Если точке х₀ точка перегиба, то f’’(x₀)=0

Путь точка х₀ точка перегиба и существует f’’(x₀)>0, тогда

то есть при переходе через точку х₀ левая часть равенства f(x)-y_кас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x₀)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x₀)=0 необходимо, но недостаточно.

В32.Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

Асимптоты.

1. Вертикальные

1. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется правой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется левой вертикальной асимптотой для функции f(x)

1. Наклонные асимптоты

2.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная асимптота).

2.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции f(x).

Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в О(+) и

тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота

Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел lim(f(x)), чтобы выяснить поведение

^х+

функции на бесконечности.

В33.Функции нескольких переменных: открытые множества, окресности, области.Пределы и непрерывность функции.

Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x₁,x₂...x_n), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.

Пусть f(M)=M₀(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰), M(x₁, x₂,... x_n)

Ф-ция f(M)=f(x₁, x₂,... x_n) имеет предел А при М₀М, если каждому значению как угодно малого числа (дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число >0, если |M₀M|=, то |f(M)-A|<

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М₀, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰)=limf(x₁, x₂,... x_n)

x₁⁰  x₁

x₂⁰  x₂

1 (x-x₀)-бесконечно малое при хх₀

1 (∆x) – бесконечно малое при ∆х0, а (∆x)∆х – есть о∆х

1 Y – ордината касательной

a – x-x₀ =∆x

1 (x-x₀)=∆x

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)