Краткие ответы на всю теорию за 1 семестр по матану (1017920), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения ax^m, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a₀xⁿ + a₁x_n-1 + ... +a_n-1 + a_n. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале . Частное двух многочленов непрерывно всюду, кроме точек b₀x^m + b₁x^m-1 +...+ b_m-1x + b_m = 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).

Показательная функция y=a^x(a>1) монотонно возрастает на всем интервале . Ее значения заполняют весь интервал . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.

Логарифмическая функция . Рассмотрим случай a>1. Эта функция возрастает при , и принимает любое значение из . Отсюда следует ее непрерывность.

Степенная функция . При возрастании x от 0 до возрастает или убывает на интервале . Следовательно, данная функция непрерывна.

Тригонометрические функции , , , , , . Остановимся на функции . Ее непрерывность на отрезке вытекает из ее монотонности, а также из факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает все значения от -1 до 1. То же относится к любому промежутку . Следовательно, функция непрерывна для всех значений x. Аналогично - для функции . По свойствам непрерывных функций вытекает непрерывность функций . Исключение для первых двух функций - значения x вида , при которых , для других двух - значения вида , при которых .

Обратные тригонометрические функции , , , . Первые две непрерывны на , остальные - на

В14.Сравнение и порядок бесконечно малых. Эквиваленты бесконечно малых. Основные примеры

Сравнение бесконечно малых

Определение 2.16 Пусть фиксирована некоторая база и на некотором её окончании заданы две функции и , бесконечно малые при базе . Предположим также, что при всех . Пусть существует

Если , то бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что и . Этот факт обозначается так:

Если же , то имеет больший порядок малости, чем . Это обозначается так:

Заметим, что если , то для всех из некоторого окончания базы будет выполнено неравенство . Это сразу следует из того, что

Предложение 2.2 Если при базе бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что , то и имеет тот же порядок малости, что , то есть

(S)

Если две бесконечно малых и одного порядка малости, и две бесконечно малых и тоже одного порядка малости при базе , то две величины и также имеют один и тот же порядок малости при базе , то есть

(T)

Кроме того, бесконечно малая величина имеет тот же порядок малости, что она же сама:

(R)

Доказательство. Поскольку то , откуда следует первое из доказываемых утверждений.

Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств

где

по условию предложения.

Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения

Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение , заданное в множестве бесконечно малых при данной базе величин , является рефлексивным, транзитивным и симметричным.

Рефлексивность какого-либо отношения , заданного в некотором множестве объектов , означает, что выполнено свойство
(R): ,
транзитивность -- что выполнено свойство
(T): ,
а симметричность -- что выполнено свойство
(S): .

Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом попадают все объекты , для которых .

Поэтому все бесконечно малые при данной базе величины разбиваются на классы по отношению , в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.

Пример 2.31 При базе величины и , где и , , имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел постоянно и его предел равен . Например, при величины и имеют один и тот же порядок малости.

При базе величина имеет больший порядок малости, чем , при :

так как . Если степени и определены и при , то аналогичное утверждение верно и для двусторонней базы . Например, при величина -- большего порядка малости, чем . При величина -- большего порядка малости, чем , а -- величина большего порядка малости, чем .

Пример 2.34 Поскольку, как мы видели в примерах выше, и , то -- величина большего порядка малости, чем .

Определение 2.17 Пусть и -- бесконечно малые при базе и

Тогда бесконечно малая называется эквивалентной бесконечно малой при базе . Это обозначается следующим образом:

Очевидно, что если величина эквивалентна величине , то они имеют один и тот же порядок малости (так как при этом ). Кроме того, свойство двух бесконечно малых величин быть эквивалентными, то есть отношение , (так же, как и отношение ) рефлексивно, транзитивно и симметрично. А именно, имеет место

Предложение 2.4 Если при базе бесконечно малая эквивалентна бесконечно малой , то и эквивалентна :

(S )

Если две бесконечно малых и эквивалентны, и две бесконечно малых и тоже эквивалентны при базе , то две величины и также эквивалентны при базе :

(T )

Кроме того, величина эквивалентна себе самой:

(R )

Доказательствоповторяет доказательство предложения 2.2. Нужно только учесть, что .

Итак, отношение эквивалентности обладает свойствами симметричности (S ), транзитивности (T ) и рефлексивности (R ) и, следовательно, разбивает множество всех бесконечно малых при данной базе величин на классы эквивалентных между собой бесконечно малых. Эти классы более мелкие, чем классы бесконечно малых величин одного порядка малости, на которые то же самое множество бесконечно малых разбивается отношением .

Пример 2.35 Согласно первому замечательному пределу, Это означает, что

Кроме того, в примере 2.20 мы показали, что Это означает, что

Польза для вычисления пределов от использования эквивалентности бесконечно малых, а также от бесконечно малых большего порядка выражается следующими утверждениями.

Предложение 2.5 Пусть существует предел где и -- бесконечно малые при базе . Пусть также и . Тогда существует предел

то есть бесконечно малые как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида можно заменять на эквивалентные им бесконечно малые: величина предела от этого не изменится.

Доказательство. Для доказательства напишем такое равенство:

и заметим, что эквивалентность величин и , и означает, что первый и последний пределы в правой части этой формулы равны 1.

Совершенно так же доказывается уточнение доказанного только что предложения. Это уточнение означает, что заменять эквивалентными можно не только числитель или знаменатель целиком, но и любой бесконечно малый множитель в числителе или знаменателе:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)