Краткие ответы на всю теорию за 1 семестр по матану (1017920), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда образ интервала (a,b) (соответственно [a,b), (a,b]) есть интервал (,) (соответственно [,), (,]) и обратная к f функция x=g(y) однозначна, строго возрастает и непрерывна на (,) [,), (,])). Дадим рассматриваемому у приращение y0. Ему соответствует приращение x обратной функции, также не равное нулю в силу строгой монотонности f. Поэтому x/y=1/(y/x). Если теперь y0, то в силу непрерывности g(y) при­ращение x также 0; но при х0 y/xf'(x)0, =>, существует предел lim_y0x/y=1/(lim_y0y/x)=1/f'(x). Этим формула [1] доказана. Примечание: Если f'(x)0 непрерывна на (a,b), то g'(y) непрерывна на (A,B). Это следует из [1], где можно положить x=g(y): g'(y)=1/f'[g(y)] (y(A,B)). Ведь сложная функция f'[g(y)], состоящая из непрерывных функций f' и g, непрерывна.

Основные формулы:

Для сложных функций:

В20.Производная сложной функции. Логарифмическая производная. Производная функции,заданной неявно.

Теорема №1: Если функция x=(t) имеет производ­ную в точке t, а функция y=f(x) имеет производную в точке х, то сложная функция у=F(t)=f[(t)] (1) имеет производную (по t) в точке t и справедлива равен­ство F'(t)=f'(x)'(t) (2) или y'_t=y'_xx'_t (3) Доказательство: Зададим t, ему соответствует значение х=(t). Придадим t приращение t0. это вызовет приращение x=(t+t)– (t). Так как функ­ция y=f(x) имеет производную в точке х, то на осно­вании равенства f'(x)=lim_(x0)y/x=lim_(x0)f(x+x)–f(x)/x, имеем

y=f'(x)x+(x)x (4), где (x)0 при х0. Будем считать, что (0)=0. Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т.к. если подставить в него x=0, то получится 0=0. Разделим теперь равенство (4) на t0: y/t=f'(x)(x/t)+ (x)(x/t) (5). Пусть t0. Тогда, потому что функция x(t)(t) имеет производную в точке t и, =>, непрерывна. Переходим в равенстве (5) к пределу при t0. Тогда x0 и (x)0, поэтому получим y'_t=f'(x)x'(t)+0x'(t)=f'(x)x'(t)=y'_xx'_t. Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если – z=f(y), y=(x), x=() и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то z'_=z'_yy'_xx'_

Логарифмическое дифференцирование

Если требуется найти из уравнения , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения ;

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х, .

в) заменить его выражением через х .

Пример:

§6. Метод логарифмического дифференцирования.

5. Дифференцирование неявных функций Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х. а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ; б) из полученного уравнения выразим .

Пример: .

В21.Приращение и дифференциал функции одной переменной.Условия существования диффренциала. Инвариантность форм записи дифференциала первого порядка.

Дифференциал функции:

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х: т.е. для её прира­щения у в этой точке выполняется равенство [2]. Тогда у есть сумма двух слагаемых. Первое из них A x про­порционально x, а в таких случаях говорят, что оно есть линейная однородная функция от х. Второе – о(х)_x0 является бесконечно малой функцией высшего порядка малости сравнительно с x. Если А0, то второе сла­гаемое стремится к нулю при x0 быстрее, чем пер­вое. В связи с этим первое слагаемое A x=f'(x)x наз. главным членом приращения y. Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом dy. Итак, по определению dy=df=f'(x)x. На (рис. 47) изображен график Г функции y=f(x);

Т –касательная к Г в точке A, имеющей абсциссу х; f'(x)=tg, где  – угол, образованный касательной с осью х; dy=f'(х)x=tgx=CD, DB=y–dy=o(x)_x0. Таким образом, дифференциал функции у в точке х, соответствующий приращению x, есть приращение ординаты точки, ле­жащей на касательной (dy=CD). Вообще говоря, dyy, ибо y=dy+ o(x)_x0, а второй член этой суммы, вообще говоря, не равен нулю. Только для линейной функции у=Ах+В имеет место ра­венство у=А x=dy для любого х. В частности, для у=х, dy=dx=x т.е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой (dx=x). По­этому дифференциал произвольной функции f обычно записывают так: dy=f'(x)dx, откуда f'(x)=dy/dx,

т.е. производная функции f в точке х равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной х.

Это объясняет, что выражение dy/dx употребляется как символ для обозначения произ­водной. Надо иметь в виду, что дифференциал dx независимой переменной не зависит от х, он равен x – произвольному приращению аргумента х. Что же касается дифференциала dy функции у (отличной от х), то он зависит от х и dx. Отметим формулы:

d(u)=dud [3]; d(u)=ud+du [4]; d(cu)=cdu (c – постоянная) [5]; d(u/)=(du–ud)/² (при 0) [6]; где предполагается, что u и  – дифференцируемые функции в рассматриваемой точке х. Например, формула [6] доказывается так:

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х₀) – она называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точки представимо в виде:

∆y=∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x)¹

(0)=0 A=const

Определение: линейная ∆х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х₀:

dy=df(x₀)A∆x

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х₀ то A=f’(x₀), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x₀); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то есть в некоторой О(х₀) справедливо равенство ∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x¹; (0)=0. Поделим обе части этого равенства на ∆х и приведём к пределу при ∆х0:

lim(∆f(x₀))/∆x=lim(A+(x))=A. Этот предел существует, меньше , тогда по определению этот предел есть

^{∆x0 ∆x0}

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х₀  f’(x₀)(<) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х₀) и  lim(∆f(x₀))/∆x=f’(x₀) по определению предела следует, что в некоторой О(х₀)

^∆x0

(∆f(x₀))/∆x=(∆х)+f’(x₀) при ∆х0  ∆f(x₀)=f’(x₀)+(∆x)∆x, так как lim(∆x)=0, то в точке х₀ y (∆x) может

^∆х0

быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:

(0)=0, тогда ∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x  A=f’(x₀) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x₀)=f’(x₀)∆x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=∆x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x

Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx x₀=/2 ∆x=/180

y’=-sinx y’(/2)=-sin(/2)=-1

dy(/2)=-1∆x=-1/180=-/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, а z=g(y) дифференцируема в точке у₀=f(x₀), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х₀ и z’(x₀)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) ∆z=g’(y₀)∆y+(∆y)∆y

(2) ∆y=f(x₀)∆x+(∆x)∆x (0)=0 (0)=0

Подставим в первое равенство второе:

∆z=g’(y₀)f(x₀)∆x+g’(y₀)(∆x)∆x+[f’(x₀)+(∆x)∆x][f’(x₀)∆x+(∆x0∆x]

lim∆z/∆x=limg’(x₀)f’(x₀)+limg’(x₀)(∆x)+lim (f’(x₀)+(∆x)∆x)[f’(x₀)+∆x]  z’(x₀)=g’(y₀)f’(x₀) что и требовалось

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

доказать.Св-ва:
1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

Инвариантность форм записи: дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент и был независимой переменной. Иначе:форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Найдем диф.сложной функции: y=f(u), u=g(x) или y=(f(g(x))). По правило диффер.сложной функции: dy/dx=f’(u)g’(x) => dy=f’(u)g’(x)dx но g’(x)dx=du поэтому dy=f’(u)du

В22.Геометрический смысл дифференциала функции одной перменной. Касательная и нормаль к плоскости.

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

f’(x₀)=tg

уравнение прямой : Y=kx+b

y₀=f(x₀)=kx₀+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x₀)

Y=f(x₀)+f(x₀)-f’(x₀)x₀

b=f(x₀)-kx₀

Y=f(x)+f’(x₀)(x-x₀)

∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0  в некоторой

O(x₀) f(x₀)=f’(x₀)+f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y¹=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)^a=f’(x₀)+f’(x₀)∆x

df(x₀)=f’(x₀)∆x

Геометрический смысл дифференциала:

df(x₀) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х₀;f(x₀).

Замечание: Часто говорят о касательной проведённой в точке х₀.

Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х₀) заменяется отрезком касательной в точке х₀.

( *) f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀), xx₀

Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) – уравнение касательной в точке х₀

Формула получена из определения дифференциала в точке х₀ функции

f(x)=f(x₀)+f(x₀)∆x+o∆x при ∆х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х₀.

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку М(х , у ), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке М, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Оу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kх + b. Поскольку для касательной k=f ¢(x ), то получаем уравнение y=f ¢(x )×x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку М(х , ). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: у = f ¢(x )×x + b . Отсюда b=y – f ¢(x )×x .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)