Занятие 15 (АиГ1) (1016723), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Согласно второму определению базиса ( - полная, линейно независимая система в
), заключаем:
- базис
.
Пример 7. Доказать, что множество функций образует линейное пространство. Найти его базис и размерность.
Решение. Для доказательства линейности пространства можно воспользоваться определением линейного пространства. Поступим иначе. Заметим, что
- подмножество линейного пространства
, образованного непрерывными на отрезке
функциями. Если переписать
в виде
, то становится видно, что
- линейная оболочка трех функций:
.
Следовательно, - линейное пространство (
- линейное подпространство пространства
).
Найдем базис и размерность пространства . Рассмотрим систему
,
,
.
Эта система полная в пространстве , т.к.
.
. Отсюда видно, что все эти три функции – линейные комбинации двух функций:
и
.
Действительно, . Следовательно, в силу критерия линейной зависимости система функций
,
,
линейно зависима. С учетом найденного выражения функции
через
,
множество
можно представить в виде
.
Обозначим . Т.к.
зависит от
и не зависит от
, а постоянная
зависит от
и не зависит от
, новые постоянные
не зависят друг от друга.
Следовательно, - линейная оболочка двух функций
,
. Эти функции образуют полную систему в
. Кроме этого,
,
- линейно независимая система. Действительно,
При . При
, с учетом того, что
получим
. Т.е. линейная комбинация функций
,
обращается в ноль только при тривиальном наборе чисел. В силу полноты и линейной независимости системы
,
делаем вывод: эта система функций – базис
. Следовательно,
.
Домашнее задание.
1. Доказать, что - линейное подпространство пространства
. Найти базис
и
.
2. Доказать, что - линейное подпространство пространства
. Найти базис
и
.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки