Занятие 15 (АиГ1) (1016723), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Согласно второму определению базиса (
- полная, линейно независимая система в 
), заключаем: - базис .
В заключении отметим, что 
, 
.
Пример 7. Доказать, что множество функций 
образует линейное пространство. Найти его базис и размерность.
Решение. Для доказательства линейности пространства можно воспользоваться определением линейного пространства. Поступим иначе. Заметим, что - подмножество линейного пространства 
, образованного непрерывными на отрезке 
функциями. Если переписать в виде 
, то становится видно, что - линейная оболочка трех функций: 
.
Следовательно, - линейное пространство ( - линейное подпространство пространства ).
Найдем базис и размерность пространства . Рассмотрим систему 
, 
, 
.
Эта система полная в пространстве , т.к. 
.
.
. Отсюда видно, что все эти три функции – линейные комбинации двух функций: 
и 
.
Теперь нетрудно найти, что 
.
Действительно, 
. Следовательно, в силу критерия линейной зависимости система функций , , линейно зависима. С учетом найденного выражения функции через , множество можно представить в виде 
.
Обозначим 
. Т.к. 
зависит от 
и не зависит от 
, а постоянная 
зависит от и не зависит от , новые постоянные 
не зависят друг от друга.
Следовательно, 
- линейная оболочка двух функций , . Эти функции образуют полную систему в . Кроме этого, , - линейно независимая система. Действительно,
.
При 
. При 
, с учетом того, что 
получим 
. Т.е. линейная комбинация функций , обращается в ноль только при тривиальном наборе чисел. В силу полноты и линейной независимости системы , делаем вывод: эта система функций – базис . Следовательно, 
.
Домашнее задание.
1. Доказать, что 
- линейное подпространство пространства 
. Найти базис и 
.
2. Доказать, что 
- линейное подпространство пространства 
. Найти базис и .
3. Найти базис и размерность линейной оболочки 
многочленов 
в пространстве 
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
