Главная » Просмотр файлов » Занятие 1 (АиГ1)

Занятие 1 (АиГ1) (1016709)

Файл №1016709 Занятие 1 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)Занятие 1 (АиГ1) (1016709)2017-07-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5


Занятие 1. Матрицы. Операции над матрицами.

1.1. Операции с матрицами: равенство матриц; умножение матрицы на число; сложение матриц; перемножение матриц. Основные свойства операций сложения и умножения матриц.

1.2. Транспонирование матрицы.

1.3. Квадратные, треугольные, диагональные, симметрические матрицы. Единичная матрица.

1.4. Возведение квадратной матрицы в натуральную степень.

Сначала вспомним определение матрицы. Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов, записанная в круглых скобках или двойных прямых чертах.

Пример 1.

1) - матрица размером , содержащая 3 строки и 2 столбца.

2) - матрица размером .

3) - матрица размером . Матрицу с одним столбцом часто называют вектор-столбцом.

4) - матрица размером . Матрицу с одной строкой также называют вектор-строкой.

Элементы матрицы обозначаются , где первый индекс означает номер строки, - номер столбца, на пересечении которых стоит соответствующий элемент. Так в примере 1 для матриц имеем

, где .

, где .

1.1. Операции над матрицами.

1.1.1. Равенство матриц. Матрица равна матрице , если у обеих матриц одинаковые размеры и , т.е. совпадают соответствующие элементы этих матриц для всех возможных наборов индексов .

Пример 2.

1) .

2) , т.к. .

3) , т.к. матрицы имеют различные размеры.

1.1.2. Умножение матрицы на число происходит по правилу:

, где .

Пример 3.

1) .

2) .

1.1.3. Сложение матриц и возможно только для матриц с одинаковыми размерами и производится по правилу: , где .

Пример 4.

1) .

2) .

Операции сложения матриц и умножение матриц на число обладают следующими свойствами:

- свойство коммутативности сложения матриц;

- свойство ассоциативности сложения матриц;

- первый закон дистрибутивности;

- второй закон дистрибутивности.

1.1.4. Нахождение разности матриц определяется с помощью рассмотренных выше операций умножения матрицы на число и сложения матриц: . Аналогично, .

Пример 5.

1) .

2) .

1.1.5. Перемножение матриц. Матрицу можно умножить слева на матрицу (или матрицу можно умножить справа на матрицу ) и, тем самым, найти произведение только тогда, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы . Если под матрицами написать их размеры, то

, (1)

где

. (2)

Формула (1) показывает, какие размеры будет иметь матрица , а формула (2) определяет правило, по которому находятся элементы матрицы . Говорят также, что элемент матрицы есть результат «скалярного произведения» -й строки матрицы на -й столбец матрицы .

Пример 6. Найти и , если .

1) .

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=

= .

Следовательно, .

2)

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 3-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 3-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 3-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 3-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=

= ,

(скалярному произведению 3-й строки матрицы на 3-й столбец матрицы )=

= .

Следовательно, .

Операции умножения матриц и сложения матриц имеют следующие свойства:

- свойство коммутативности умножения матриц в общем случае

не выполняется (это видно уже из примера 6);

- свойство ассоциативности умножения матриц;

- первый закон дистрибутивности;

- второй закон дистрибутивности.

1.2. Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы обозначается и означает операцию переписывания строк (столбцов) матрицы в виде соответствующих столбцов (строк).

Пример 7.

1) .

2) .

3) .

Отметим, что .

1.3. Квадратные, треугольные, диагональные, симметричные матрицы. Единичная матрица.

Матрица называется квадратной, если число строк и столбцов в ней одинаково.

Примеры квадратных матриц:

1) - матрица с размерами - квадратная матрица 1-го порядка;

2) - матрица с размерами - квадратная матрица 2-го порядка;

3) - квадратная матрица 3-го порядка.

Элементы квадратной матрицы -го порядка образуют главную диагональ этой матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если под ее главной диагональю (или над ее главной диагональю) все элементы равны нулю.

Примеры треугольных матриц:

, - верхне-треугольные матрицы 2-го и 3-го порядка соответственно;

- нижне-треугольные матрицы 3-го и 4-го порядка соответственно.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы при .

Примеры диагональных матриц:

, , - диагональные матрицы 2-го, 3-го и 4–го порядка соответственно.

Для диагональных матриц выполнен закон коммутативности умножения матриц .

Квадратная матрица называется симметрической, если или другими словами .

Например,

, симметрические матрицы.

Единичными матрицами называются диагональные матрицы, у которых все диагональные элементы равны единице. Эти матрицы обычно обозначаются буквой .

Примеры единичных матриц:

, , - единичные матрицы 2-го, 3-го и 4–го порядка соответственно. Эти матрицы получили такое название в связи с тем, что для любой матрицы размера выполнены равенства и . Если же - квадратная матрица порядка , то .

Пример 8. Проверить, что .

1) .

.

2) .

.

1.4. Возведение квадратной матрицы в натуральную степень.

По определению, .

Пример 9. .

Домашнее задание.

1. Для заданных матриц

найти .

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
362 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее