Занятие 1 (АиГ1) (1016709)
Текст из файла
5
Занятие 1. Матрицы. Операции над матрицами.
1.1. Операции с матрицами: равенство матриц; умножение матрицы на число; сложение матриц; перемножение матриц. Основные свойства операций сложения и умножения матриц.
1.2. Транспонирование матрицы.
1.3. Квадратные, треугольные, диагональные, симметрические матрицы. Единичная матрица.
1.4. Возведение квадратной матрицы в натуральную степень.
Сначала вспомним определение матрицы. Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и
столбцов, записанная в круглых скобках или двойных прямых чертах.
Пример 1.
1) - матрица размером
, содержащая 3 строки и 2 столбца.
3) - матрица размером
. Матрицу с одним столбцом часто называют вектор-столбцом.
4) - матрица размером
. Матрицу с одной строкой также называют вектор-строкой.
Элементы матрицы обозначаются
, где первый индекс
означает номер строки,
- номер столбца, на пересечении которых стоит соответствующий элемент. Так в примере 1 для матриц
имеем
1.1. Операции над матрицами.
1.1.1. Равенство матриц. Матрица равна матрице
, если у обеих матриц одинаковые размеры и
, т.е. совпадают соответствующие элементы этих матриц для всех возможных наборов индексов
.
Пример 2.
3) , т.к. матрицы
имеют различные размеры.
1.1.2. Умножение матрицы на число
происходит по правилу:
Пример 3.
1.1.3. Сложение матриц и
возможно только для матриц с одинаковыми размерами и производится по правилу:
, где
.
Пример 4.
Операции сложения матриц и умножение матриц на число обладают следующими свойствами:
- свойство коммутативности сложения матриц;
- свойство ассоциативности сложения матриц;
- первый закон дистрибутивности;
- второй закон дистрибутивности.
1.1.4. Нахождение разности матриц
определяется с помощью рассмотренных выше операций умножения матрицы на число и сложения матриц:
. Аналогично,
.
Пример 5.
1.1.5. Перемножение матриц. Матрицу можно умножить слева на матрицу
(или матрицу
можно умножить справа на матрицу
) и, тем самым, найти произведение
только тогда, когда число столбцов левой матрицы
равно числу строк правой матрицы
. Если под матрицами написать их размеры, то
где
Формула (1) показывает, какие размеры будет иметь матрица , а формула (2) определяет правило, по которому находятся элементы матрицы
. Говорят также, что элемент
матрицы
есть результат «скалярного произведения»
-й строки матрицы
на
-й столбец матрицы
.
(скалярному произведению 1-й строки матрицы
на 1-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 1-й строки матрицы
на 2-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы
на 1-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы
на 2-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 1-й строки матрицы
на 1-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 1-й строки матрицы
на 2-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 1-й строки матрицы
на 3-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы
на 1-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы
на 2-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы
на 3-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 3-й строки матрицы
на 1-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 3-й строки матрицы
на 2-й столбец матрицы
)=
(скалярному произведению 3-й строки матрицы
на 3-й столбец матрицы
)=
Операции умножения матриц и сложения матриц имеют следующие свойства:
- свойство коммутативности умножения матриц в общем случае
не выполняется (это видно уже из примера 6);
- свойство ассоциативности умножения матриц;
- первый закон дистрибутивности;
- второй закон дистрибутивности.
1.2. Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы обозначается
и означает операцию переписывания строк (столбцов) матрицы
в виде соответствующих столбцов (строк).
Пример 7.
1.3. Квадратные, треугольные, диагональные, симметричные матрицы. Единичная матрица.
Матрица называется квадратной, если число строк и столбцов в ней одинаково.
Примеры квадратных матриц:
1) - матрица с размерами
- квадратная матрица 1-го порядка;
2) - матрица с размерами
- квадратная матрица 2-го порядка;
3) - квадратная матрица 3-го порядка.
Элементы квадратной матрицы
-го порядка образуют главную диагональ этой матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если под ее главной диагональю (или над ее главной диагональю) все элементы равны нулю.
Примеры треугольных матриц:
,
- верхне-треугольные матрицы 2-го и 3-го порядка соответственно;
- нижне-треугольные матрицы 3-го и 4-го порядка соответственно.
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы
при
.
Примеры диагональных матриц:
,
,
- диагональные матрицы 2-го, 3-го и 4–го порядка соответственно.
Для диагональных матриц выполнен закон коммутативности умножения матриц
.
Квадратная матрица называется симметрической, если
или другими словами
.
Например,
Единичными матрицами называются диагональные матрицы, у которых все диагональные элементы равны единице. Эти матрицы обычно обозначаются буквой .
Примеры единичных матриц:
,
,
- единичные матрицы 2-го, 3-го и 4–го порядка соответственно. Эти матрицы получили такое название в связи с тем, что для любой матрицы
размера
выполнены равенства
и
. Если же
- квадратная матрица порядка
, то
.
1.4. Возведение квадратной матрицы в натуральную степень.
Домашнее задание.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.