Главная » Просмотр файлов » Занятие 5 (АиГ1)

Занятие 5 (АиГ1) (1016713)

Файл №1016713 Занятие 5 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)Занятие 5 (АиГ1) (1016713)2017-07-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5


Занятие 5. Метод Гаусса решения линейных алгебраических систем.

Приведение системы к треугольному виду.

Выделение свободных и базисных неизвестных.

Получение общего решения системы или вывода о несовместности системы.

Изучаемый ниже метод Гаусса решения линейных алгебраических систем

(1)

является универсальным и предоставляет возможность полностью исследовать любую линейную систему. Он показывает, совместна или несовместна заданная система и в случае ее совместности позволяет найти ее общее решение. Напомним, что общим решением системы называется множество всех ее решений.

Основная идея метод Гаусса состоит в том, чтобы решение исходной системы уравнений свести к решению более простой системы. Сформулируем определения и элементарные операции, составляющие основу метода Гаусса.

. Две линейные системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же общее решение.

. Над системой можно проводить следующие элементарные операции, переводящие заданную систему в эквивалентную ей систему.

1) В системе можно поменять местами любые два уравнения.

2) В системе, во всех ее уравнениях сразу, можно поменять местами слагаемые с любыми двумя выбранными неизвестными.

3) Любое уравнение системы можно умножить на число, отличное от нуля.

4) К любому уравнению системы можно прибавить любое другое уравнение (этой же системы), умноженное на некоторое число.

Далее, эквивалентные системы будем соединять значком ~ .

Пример 1. Дана система уравнений .

1. Поменяв в заданной системе местами 2-е и 3-е уравнения, получим эквивалентную ей систему, т.е.

.

2. Поменяв в заданной системе (во всех уравнениях сразу) местами слагаемые с неизвестными , получим эквивалентную систему, т.е.

.

3. Умножив 3-е уравнение заданной системы на число (-0.5), получим эквивалентную систему, т.е.

.

4. Прибавим к первому уравнению заданной системы второе уравнение, умноженное на (-2), получим новую эквивалентную систему.

.

В примере 1 к заданной системе применены бессистемные элементарные произведения, не преследующие каких-либо целей. В противоположность им, метод Гаусса – целенаправленная последовательность элементарных преобразований, приводящих в итоге линейную систему (1) к системе треугольного вида:

, (2)

в которой все первые коэффициенты отличны от нуля. В этой системе неизвестные , связанные с коэффициентами , называются базисными, а оставшиеся неизвестные - свободными.

В процессе элементарных преобразований системы некоторые уравнения системы могут перейти в равенства 0=0. Появление таких равенств означает, что исходная система содержит «лишние» уравнения, которые являются следствиями других уравнений системы. В этом случае равенства 0=0 отбрасываются. Число уравнений системы при этом уменьшается. Поэтому число уравнений системы (2) может оказаться меньше числа уравнений исходной системы (3).

Если в ходе проведения метода Гаусса появляются невыполнимые равенства типа и т.д., то исследуемая линейная система несовместна.

Еще один совет: элементарные преобразования системы будут выполняться проще, если с помощью этих преобразований добиваться, чтобы коэффициенты , становились равными или .

Общее решение системы (2) находится так: свободным неизвестным присваивают произвольные числовые значения; затем, последовательно двигаясь от последнего уравнения системы (2) вверх к первому уравнению, определяют базисные неизвестные в порядке .

Приведем конкретные примеры применения метода Гаусса к линейным системам

Пример 2. Найти общее решение системы .

Решение. Применим метод Гаусса.

1. Поменяем местами первое и второе уравнения, получим эквивалентную систему

.

2. С помощью первого уравнения исключим неизвестную из второго и третьего уравнений системы . Для этого:

а) прибавим во 2-му уравнению 1-е уравнение, умноженное на число ;

б) к 3-му уравнению прибавим 1-е уравнение.

В результате получим систему

.

3. Два последних уравнения системы образуют подсистему, независящую от неизвестной .

Чтобы упростить последующие преобразования сделаем коэффициент , равным . Для этого вычтем из 2-го уравнения 3-е уравнение (т.е. прибавим ко 2-му уравнению 3-е уравнение, умноженное на число ). После этой операции получим систему

.

4. Теперь, в системе с помощью 2-го уравнения исключим неизвестную из 3-го уравнения. Для этого прибавим к 3-му уравнению 2-е уравнение, умноженное на число .

В итоге получим систему треугольного вида

.

В ней - базисные неизвестные, - свободная неизвестная.

5. Теперь из системы найдем общее решение. Положим , где - произвольное действительное число. Из 3-го уравнения находим .

Для облегчения последующих вычислений положим , где , как и , принимает произвольные действительные значения. Тогда .

Из 2-го уравнения находим .

Наконец, из 1-го уравнения находим .

Таким образом, получен следующий результат: система совместна, и ее общее решение представимо в виде

, , , , где .

Проведем проверку. Для этого подставим найденные выражения неизвестных во все уравнения исходной системы (3).

.

Проверка подтвердила истинность решения .

Обычно для сокращения записей метод Гаусса проводят на расширенных матрицах системы. Расширенной матрицей системы называют матрицу , где - матрица системы, - вектор столбец свободных членов. Для системы (1) расширенная матрица запишется так:

.

1). Операция «перестановка уравнений системы» означает перестановку соответствующих строк расширенной матрицы.

2). Операция «перестановка поменять местами слагаемых с двумя выбранными неизвестными» означает перестановку соответствующих столбцов матрицы .

3). Операция «умножение уравнения на число, отличное от нуля» означает умножение на это число соответствующей строки расширенной матрицы.

4). Операция «прибавление к уравнению системы другого уравнения, умноженного на число» означает аналогичную операцию над строками расширенной матрицы.

Изложение метода Гаусса в примере 2 с применением расширенных матриц запишется в виде.

~ ~

~ ~ ~ система .

Внизу, справа под матрицами указаны выполняемые над системой элементарные операции, выполненные над системой:

1. Переставили местами 1-е и 2-е уравнения.

2. Прибавили ко 2-му уравнению 1-е, умноженное на число ( ).

Прибавили к 3-му уравнению 1-е.

3. Прибавили ко 2-му уравнению 3-е, умноженное на число ( ).

4. Прибавили к 3-му уравнению 2-е, умноженное на число ( ).

Далее находится общее решение системы (см пункт 5. решения примера 2).

Пример 3. Найти методом Гаусса общее решение системы

Решение проведем с использованием расширенных матриц.

~ ~ ~

1. Переставили местами 1-ю и 3-ю строки.

2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на число 2.

Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( ).

Прибавили к 4-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( ).

Прибавили к 5-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( ).

3. Прибавили 2-ю строку к 3-й строке.

Прибавили 2-ю строку к 4-й строке.

~ ~ ~

4. Прибавили к 5-й строке 4-ю строку, умноженную на число ( ).

5. Отбросили 3-ю и 5-ю нулевые строки (они эквивалентны равенству ).

Переставили местами 3-й и 4-й столбцы и над столбцами написали соответствующие

неизвестные.

- система треугольного вида.

свободные неизвестные, базисные неизвестные.

Положим , где . Из 3-го, 2-го, 1-го уравнений системы последовательно находим неизвестные .

.

Ответ. Система совместна, и ее общее решение представимо в виде

, где .

Пример 4. Найти методом Гаусса общее решение системы .

Решение.

~ ~ ~

~ .

1. Прибавили 2-ю строку к 1-й строке.

2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на 2.

Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на ( ).

3. Прибавили к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 2.

Наличие в полученной системе невыполнимого равенства означает несовместность заданной системы уравнений.

___________________________________________________________________________________

Домашнее задание.

Решить методом Гаусса следующие системы (или доказать несовместность):

1) ; 2) .

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
275,5 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее