Занятие 7 (АиГ1) (1016715)
Текст из файла
6
Занятие 7. Векторное и смешанное произведение векторов.
7.1. Деление отрезка в данном отношении.
7.2. Компланарные, некомпланарные тройки векторов. Ориентация тройки векторов.
7.3. Векторное произведение: определение; свойства; координатное выражение.
7.4. Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов ( ).
7.1. Деление отрезка в данном отношении.
Если точки - заданные концевые точки отрезка
, разделенного точкой
в заданном отношении
, то координаты точки
В случае, когда точка является серединой отрезка
,
и координаты точки
найдутся по формулам:
. (2)
Пример 1. Точки лежат на отрезке
в последовательности
и делят этот отрезок на три равные части. Найти координаты точек
, если
.
1). Точка делит отрезок
в отношении
. Согласно формулам (1), в которых следует отбросить последнюю формулу, находим
2). Точка делит отрезок
в отношении
, поэтому формулы (1) дают
Пример 2. Точки являются вершинами треугольника
. Найти длину
медианы и длину
биссектрисы этого треугольника, проведенных из вершины
.
Решение. Пусть точка - основание медианы
и точка
- основание биссектрисы
.
1). Точка - середина отрезка
. Следовательно, ее координаты можно найти по формулам (2).
2). Точка делит сторону
в отношении
, в котором находится отношение длин сторон
, т.е.
.
Следовательно, . Теперь, зная
, по формулам (1) находим точку
.
7.2. Компланарные, некомпланарные тройки векторов. Ориентация тройки векторов.
Система векторов называется компланарной, если все векторы этой системы параллельны одной плоскости, в противном случае система векторов называется некомпланарной. Система из одного вектора
всегда компланарна. Система из двух векторов
всегда компланарна. Система из трех векторов
может быть как компланарной, так и некомпланарной. Некомланарные тройки векторов имеют ориентацию: тройка векторов
называется правой тройкой, если с конца вектора
кратчайший поворот вектора
к вектору
происходит против часовой стрелки, и тройка векторов
называется левой, если с конца вектора
кратчайший поворот вектора
к вектору
происходит по часовой стрелке.
Если тройка векторов - некомпланарна, то перестановка в ней местами любых двух векторов меняет ориентацию этой тройки. Например, если тройка
- левая, то тройки
и
будут правыми.
Пример 3.
1. Тройка векторов - компланарна, т.к. все векторы лежат в плоскости
.
2. Тройка векторов - некомпланарна, т.к. нет ни одной плоскости, которой бы были параллельны все три вектора одновременно.
Пример 4.
1. Тройка векторов - правая тройка, т.к. с конца вектора
кратчайший поворот вектора
к вектору
происходит против часовой стрелки.
2. Тройка векторов - левая тройка, т.к. с конца вектора
кратчайший поворот вектора
к вектору
происходит по часовой стрелке.
7.3. Векторное произведение: определение; свойства; координатное выражение.
Определение. Векторным произведением векторов называется вектор
, который удовлетворяет следующим требованиям:
Векторное произведение векторов обозначается
или
.
Требования 1, 2 однозначно определяют направление вектора по отношению к векторам
, а требование 3 определяет длину вектора
, оно содержит следующий геометрический смысл векторного произведения: длина вектора
равна площади параллелограмма, построенного а векторах
.
Свойства векторного произведения таковы:
и
выполнены
- свойство антикоммутативности;
Если , то координаты вектора
вычисляются по формуле:
Формула (3) называется координатным выражением векторного произведения .
Замечание. Если требуется найти векторное произведение векторов
, то сначала векторы
переносят в пространство
:
, а затем используют формулу (3), которая в данном случае дает:
Решение. . Координаты вектора
найдем с помощью формулы (3).
Пример 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .
Решение. Сначала найдем векторное произведение .
Теперь воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения, по которому длина вектора равна искомой площади
параллелограмма на векторах
, т.е.
Пример 7. Найти площадь треугольника на плоскости
с вершинами в точках
.
Решение. Рассмотрим векторы . Найдем их векторное произведение
.
Площадь треугольника
равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
. Следовательно,
.
Пример 8. Найти координаты орта , перпендикулярного одновременно векторам
и такого, чтобы тройка
была правой.
Решение. Сначала с помощью формулы (3) найдем вектор .
Согласно определению вектор перпендикулярен одновременно векторам
и тройка
- правая. Проверим перпендикулярность пар векторов:
и
, используя условие ортогональности векторов (см. Занятие 6.)
Искомый орт получается нормировкой вектора
.
.
.
Пример 9. Сформулировать условие коллинеарности векторов с помощью векторного произведения.
Решение.
1). Если , то угол
между
и
равен 0 или
. Рассмотрим
.
Согласно требованию 3 и указанным значениям угла из определения векторного произведения выводим:
.
2). Рассмотрим теперь векторное равенство . В силу определения векторного произведения (достаточно использовать требование 3) из этого векторного равенства получаем следующие три возможности: а)
; б)
; в)
, т.е.
или
. Т.к. нулевой вектор параллелен любому вектору, то все три случая а), б), в) приводят к выводу:
.
Таким образом, условие коллинеарности можно записать в виде: .
Отсюда, как следствие получаем: .
7.4. Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов.
Смешанное произведение определено на трех векторах . Обозначим его
.
Определение. . Таким образом, смешанное произведение векторов
представляет векторное произведение векторов
, умноженное затем скалярно на вектор
. Результатом смешанного произведения векторов будет число.
Свойства смешанного произведения.
Перестановки векторов: называются циклическими.
Свойства ,
означают, что смешанное произведение векторов не меняется после циклической перестановки векторов и изменяет свое значение на противоположное при нециклических перестановках векторов.
Если векторы заданы координатами , то смешанное произведение
находится по формуле
Эта формула дает координатное выражение смешанного произведения .
Смешанное произведение имеет следующий геометрический смысл:
1. Если тройка векторов - правая, то смешанное произведение
равно объему
параллелепипеда, построенного на векторах
;
2. Если же тройка - левая, то
, где
- объем параллелепипеда на векторах
.
Указанный геометрический смысл смешанного произведения векторов приводит к следующей формулировке условия компланарности системы из трех векторов :
Решение. Согласно координатному выражению (4) находим
Заметим, что полученный результат позволяет также сказать, что
2) объем параллелепипеда на векторах равен 19.
Пример 11. Найти объем пирамиды с вершинами
.
Найдем их смешанное произведение.
Следовательно, объем параллелепипеда на векторах
равен 45. Объем
пирамиды
составляет одну шестую объема
. Таким образом,
.
Пример 12. Выяснить, лежат ли точки
на одной плоскости.
Решение. Четыре произвольно выбранные точки в общем случае не лежат одной плоскости. Для того, чтобы заданные четыре точки оказались на одной плоскости нужно, чтобы тройка векторов была компланарной. Условие компланарности :
.
заданные точки не лежат на одной плоскости.
____________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти координаты вектора , удовлетворяющего следующим условиям:
а) ; б)
; в)
- левая тройка, если
.
2. Вычислить площадь треугольника с вершинами
.
3. Найти объем пирамиды с вершинами
.
4. При каком значении параметра точки
лежат в одной плоскости?
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.