Занятие 3 (АиГ1) (1016711)
Текст из файла
5
Занятие 3. Определители (продолжение). Обратная матрица
3.1. Миноры и алгебраические дополнения.
3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).
3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы.
3.1. Миноры и алгебраические дополнения.
Часто применяемым, а потому важным приемом вычисления определителей является «правило разложения определителя по строке или столбцу ». Этот прием позволяет свести вычисление определителя -го порядка к вычислению не более, чем
определителей
-го порядка. Чтобы правильно пользоваться этим правилом требуется уметь находить следующие величины: миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Напомним их определения.
Минором элемента
квадратной матрицы
называется определитель, полученный из определителя
вычеркиванием
-й строки и
-го столбца, т.е. строки и столбца на пересечении которых стоит элемент
.
Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы
называется число
, где
-минор элемента
.
Перейдем к примерам.
Пример 1. Найти миноры и алгебраические дополнения
соответствующих элементов матрицы
.
Решение.
1) Согласно определению минора, минор получается из определителя матрицы
вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. Следовательно,
.
2) Минор получается из определителя матрицы
вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца.
.
Пример 2. Найти миноры и алгебраические дополнения
соответствующих элементов матрицы
.
Вычисление определителей и получение окончательного ответа предоставляем читателю.
3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).
Разложение определителя по
й строке производится по формуле:
Аналогично разлагается определитель по му столбцу:
Пример 3. Вычислить определитель матрицы из примера 1 тремя способами: по правилу Саррюса; разложением по 2-й строке; разложением по 3-му столбцу.
Решение.
2) Разложение определителя по 2-й строке согласно формуле (1) имеет вид:
3) Разложение определителя по 3-му столбцу согласно формуле (3) дает:
Во всех трех случаях получен один и тот же результат, что и должно быть.
Пример 4. Вычислить определитель матрицы из примера 2 двумя способами: разложением по 2-й строке и разложением по 3-му столбцу.
Решение.
1) Разложение определителя по 2-й строке имеет вид:
2) Разложение определителя по 3-му столбцу имеет вид:
Комбинирование основных свойств определителей с методом разложения определителя по строке (столбцу) является наиболее эффективным средством вычисления определителей 4-го и более высоких порядков.
Пример 5. Вычислить определитель .
Решение.
Здесь над определителем проведены следующие действия.
1. Ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1).
2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 2-му столбцу.
Пример 6. Вычислить определитель .
Решение.
Здесь индексами отмечены следующие действия.
1. К 2-й строке определителя прибавлена 1-я строка,
к 3-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,
к 4-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,
к 5-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на 4.
2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 1-му столбцу.
3. В определителе с индексом 3
к 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 11,
к 3-й строке прибавили1-ю, умноженную на 5,
к 4-й строке прибавили 1-ю, умноженную на .
4. Определитель с индексом 4 разложили по 1-му столбцу.
5. В определителе с индексом 5 к 1-му столбцу прибавили 3-й столбец, умноженный на 9.
6. Определитель с индексом 6 разложили по 1-й строке.
3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы.
Пусть - квадратная матрица. Матрица
называется обратной матрицей для матрицы
, если
, где
единичная матрица. Т.к.
, то отсюда выводится, что
, т.е. обратная матрица
определяется только для матриц
, определитель которых не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными (квадратные матрицы, у которых определитель равен нулю называются вырожденными). Для неквадратных матриц
размером
,
обратная матрица не определяется.
Приведем последовательность действий, позволяющих найти по заданной матрице
.
1. Вычисляем . Если
, то делается вывод:
не существует. Если
матрица
существует и для ее нахождения переходим к выполнению следующих пунктов.
2. Находим все алгебраические дополнения матрицы
и составляет из них матрицу
.
Пример 7. Найти обратную матрицу для матрицы .
Решение.
1. матрица
не вырождена и матрица
существует.
2. Вычислим все алгебраические дополнения матрицы и составим из них матрицу
.
4. Находим искомую матрицу .
.
Сделаем проверку. Должно быть и
, где
- единичная матрица.
Пример 8. Найти обратную матрицу для матрицы .
Решение. Ответ.
не существует.
Пример 9. Найти обратную матрицу для матрицы .
Решение.
2. Найдем все алгебраические дополнения матрицы и составим из них матрицу
.
Проверка.
Домашнее задание.
Найти миноры и алгебраические дополнения
Вычислить определитель матрицы двумя способами:
а) разложением по 3-й строке; б) разложением по 4-му столбцу.
2. Найти обратные матрицы для матриц ,
.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.