Главная » Просмотр файлов » Занятие 3 (АиГ1)

Занятие 3 (АиГ1) (1016711)

Файл №1016711 Занятие 3 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)Занятие 3 (АиГ1) (1016711)2017-07-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5


Занятие 3. Определители (продолжение). Обратная матрица

3.1. Миноры и алгебраические дополнения.

3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).

3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы.

3.1. Миноры и алгебраические дополнения.

Часто применяемым, а потому важным приемом вычисления определителей является «правило разложения определителя по строке или столбцу ». Этот прием позволяет свести вычисление определителя -го порядка к вычислению не более, чем определителей -го порядка. Чтобы правильно пользоваться этим правилом требуется уметь находить следующие величины: миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Напомним их определения.

Минором элемента квадратной матрицы называется определитель, полученный из определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца, т.е. строки и столбца на пересечении которых стоит элемент .

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется число , где -минор элемента .

Перейдем к примерам.

Пример 1. Найти миноры и алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

Решение.

1) Согласно определению минора, минор получается из определителя матрицы вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. Следовательно, .

2) Минор получается из определителя матрицы вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. .

3) .

4) .

Пример 2. Найти миноры и алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

1) .

2) . .

Вычисление определителей и получение окончательного ответа предоставляем читателю.

3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).

Разложение определителя по й строке производится по формуле:

. (1)

Аналогично разлагается определитель по му столбцу:

. (2)

Пример 3. Вычислить определитель матрицы из примера 1 тремя способами: по правилу Саррюса; разложением по 2-й строке; разложением по 3-му столбцу.

Решение.

1) По правилу Саррюса: .

2) Разложение определителя по 2-й строке согласно формуле (1) имеет вид:

.

Т.к. и

,

получаем .

3) Разложение определителя по 3-му столбцу согласно формуле (3) дает:

.

Следовательно,

Во всех трех случаях получен один и тот же результат, что и должно быть.

Пример 4. Вычислить определитель матрицы из примера 2 двумя способами: разложением по 2-й строке и разложением по 3-му столбцу.

Решение.

1) Разложение определителя по 2-й строке имеет вид:

.

,

,

.

Следовательно, .

2) Разложение определителя по 3-му столбцу имеет вид:

.

,

,

.

Следовательно, .

Комбинирование основных свойств определителей с методом разложения определителя по строке (столбцу) является наиболее эффективным средством вычисления определителей 4-го и более высоких порядков.

Пример 5. Вычислить определитель .

Решение.

.

Здесь над определителем проведены следующие действия.

1. Ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1).

2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 2-му столбцу.

Пример 6. Вычислить определитель .

Решение.

Здесь индексами отмечены следующие действия.

1. К 2-й строке определителя прибавлена 1-я строка,

к 3-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,

к 4-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,

к 5-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на 4.

2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 1-му столбцу.

3. В определителе с индексом 3

к 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 11,

к 3-й строке прибавили1-ю, умноженную на 5,

к 4-й строке прибавили 1-ю, умноженную на .

4. Определитель с индексом 4 разложили по 1-му столбцу.

5. В определителе с индексом 5 к 1-му столбцу прибавили 3-й столбец, умноженный на 9.

6. Определитель с индексом 6 разложили по 1-й строке.

3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы.

Пусть - квадратная матрица. Матрица называется обратной матрицей для матрицы , если , где единичная матрица. Т.к. , то отсюда выводится, что , т.е. обратная матрица определяется только для матриц , определитель которых не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными (квадратные матрицы, у которых определитель равен нулю называются вырожденными). Для неквадратных матриц размером , обратная матрица не определяется.

Приведем последовательность действий, позволяющих найти по заданной матрице .

1. Вычисляем . Если , то делается вывод: не существует. Если матрица существует и для ее нахождения переходим к выполнению следующих пунктов.

2. Находим все алгебраические дополнения матрицы и составляет из них матрицу .

3. Находим .

4. Вычисляем по формуле: .

Пример 7. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение.

1. матрица не вырождена и матрица существует.

2. Вычислим все алгебраические дополнения матрицы и составим из них матрицу .

.

3. Транспонируем матрицу . .

4. Находим искомую матрицу . .

Сделаем проверку. Должно быть и , где - единичная матрица.

1-я проверка. , где

Следовательно, .

2-я проверка. , где

Следовательно, .

Ответ. .

Пример 8. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение. Ответ. не существует.

Пример 9. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение.

1. существует.

2. Найдем все алгебраические дополнения матрицы и составим из них матрицу .

.

.

3. .

4.

Проверка.

.

Ответ. .

Домашнее задание.

1. Дана матрица .

Найти миноры и алгебраические дополнения

Вычислить определитель матрицы двумя способами:

а) разложением по 3-й строке; б) разложением по 4-му столбцу.

2. Найти обратные матрицы для матриц , .

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
319 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее