Занятие 12 (АиГ1) (1016720)
Текст из файла
8
Занятие 12. Комплексные числа.
12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.
12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.
12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
Комплексным числом в алгебраической форме называется число
где называется мнимой единицей и
- действительные числа:
называется действительной (вещественной) частью;
- мнимой частью комплексного числа
. Комплексные числа вида
называются чисто мнимыми числами. Множество всех комплексных чисел обозначается буквой
.
Множество всех действительных чисел является частью множества
:
. С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству
. Например,
и
, т.к.
.
Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни
Пример 2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел
Решение.
- соответственно вещественная и мнимая части числа
,
Любое комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости
, представляющей плоскость с декартовой системой координат
. Начало вектора лежит в точке
, а конец - в точке с координатами
(рис 1.) Ось
называется вещественной осью, а ось
- мнимой осью комплексной плоскости
.
Рис. 1.
Комплексные числа сравниваются между собой только знаками
.
. Если же хотя бы одно из равенств:
нарушено, то
. Записи типа
не имеют смысла.
По определению, комплексное число называется комплексно сопряженным числу
. В этом случае пишут
. Очевидно, что
. Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.
Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.
1. Сложение комплексных чисел производится так:
Свойства операции сложения:
Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел означает сложение отвечающих им на плоскости
векторов по правилу параллелограмма.
Операция вычитание числа из числа
производится так:
2. Умножение комплексных чисел производится так:
Свойства операции умножения:
3. Деление комплексных чисел выполнимо только при
и производится так:
Решение.
Решение.
Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:
Модуль, аргумент комплексного числа.
Модуль комплексного числа (модуль
обозначается
) это - неотрицательное число
, т.е.
.
Геометрический смысл - длина вектора, представляющего число
на комплексной плоскости
. Уравнение
определяет множество всех чисел
(векторов на
), концы которых лежат на единичной окружности
.
Аргумент комплексного числа (аргумент
обозначается
) это – угол
в радианах между вещественной осью
и числом
на комплексной плоскости
, причем
положителен, если он отсчитывается от
до
против часовой стрелки, и
отрицателен, если
отсчитывается от оси
до
по часовой стрелке.
Таким образом, аргумент числа определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого
, где
. Однозначно аргумент числа
определяется в пределах одного обхода единичной окружности
на плоскости
. Обычно требуется найти
в пределах интервала
, такое значение называется главным значением аргумента числа
и обозначается
.
и
числа
можно найти из уравнения
, при этом обязательно нужно учитывать, в какой четверти плоскости
лежит конец вектора
- точка
:
если (1-я четверть плоскости
), то
;
если (2-я четверть плоскости
), то
;
если (3-я четверть плоскости
), то
;
если (4-я четверть плоскости
), то
.
Фактически, модуль и аргумент числа , это полярные координаты
точки
- конца вектора
на плоскости
.
Пример 5. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:
Решение.
Аргументы чисел , лежащих осях
, разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости
, находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости
.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:
где - модуль,
- аргумент комплексного числа
. Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств
.
Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного числа имеет вид:
где - модуль,
- аргумент числа
. Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:
Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).
Пример 6. Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел: из примера 5.
Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.
- тригонометрическая форма записи числа
,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа
.
- тригонометрическая форма записи числа
,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа
.
- тригонометрическая форма записи числа
,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа
.
- тригонометрическая форма записи числа
,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа
.
- тригонометрическая форма записи числа
,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа
.
- тригонометрическая форма числа
,
- показательная (экспоненциальная) форма числа
.
- тригонометрическая форма записи числа
,
- показательная (экспоненциальная) форма числа
.
- тригонометрическая форма записи числа
,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа
.
Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел. Пусть - показательные формы чисел
.
1. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
2. При делении комплексного числа
на число
получается комплексное число
, модуль
которого равен отношению модулей
, а аргумент
- разности
аргументов чисел
.
Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
По определению,
При возведении в целую степень комплексного числа
, следует действовать так: сначала найти модуль
и аргумент
этого числа; представить
в показательной форме
; найти
, выполнив следующую последовательность действий
Замечание. Аргумент числа
может не принадлежать интервалу
. В этом случае следует по полученному значению
найти главное значение
аргумента
числа , прибавляя (или вычитая) число
с таким значением
, чтобы
принадлежало интервалу . После этого, нужно заменить в формулах (5)
на
.
Решение.
1) =
(см. число
из примера 6).
Следовательно, можно заменить на
и, значит,
Извлечение корня -й степени
из комплексного числа
проводится по формуле Муавра-Лапласа
Из формулы (6) видно, что имеет ровно
различных значений
.
Пример 8. Найти все значения .
Решение. Требуется вычислить в случае
.
Формула Муавра-Лапласа (6), подставляя в которую , дает:
Следовательно,
Итак,
,
,
- искомые значения
.
Пример 9. Найти в показательной форме все значения .
Решение. Требуется вычислить в случае
.
По формуле Муавра-Лапласа, в которой следует положить ,
для значений последовательно находим требуемые значения
:
,
. Заменим
на
, получим окончательное выражение
.
,
. Заменим
на
, получим окончательное выражение
.
___________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти действительную и мнимую части, модуль и аргумент следующих комплексных чисел: . Изобразить эти числа на комплексной плоскости. Представить эти числа в показательной и тригонометрической формах.
2. Найти для комплексного числа
.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.