Занятие 14 (АиГ1) (1016722), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пример 4. Проверить на линейную зависимость (независимость) систему матриц .

Решение. Рассмотрим линейную комбинацию и приравняем ее к нулевому элементу .

. (*)

Полученная система совместна (у нее есть тривиальное решение ).

Теперь нужно выяснить, имеет ли эта система нетривиальные решения? Систему (*) нельзя решить с помощью правила Крамера, т.к. число уравнений больше числа неизвестных. Найдем сначала все решения подсистемы из первых трех уравнений системы (*).

. (**)

Ее главный определитель , поэтому систему (**) также невозможно решить с помощью правила Крамера. Поступим так. Присвоим неизвестной произвольное значение и найдем значения неизвестных в зависимости от . Для этого перепишем систему (**) в виде

. (***)

Из второго, а затем из первого уравнений системы (***) последовательно выводим

. Подставим эти выражения неизвестных в третье уравнение системы (***). Получим тождество , которое показывает, что все решения системы (***), и соответственно системы (**) можно записать так:

, где - произвольное число. (****)

Возвратимся к системе (*). Подставим в ее последнее уравнение найденные выражения неизвестных . Получим тождество , которое показывает, что все решения системы (*) представимы в виде (****). Отсюда сразу же выводится наличие нетривиальных решений у системы (*). Действительно, положив из (****) находим .

Таким образом, при нетривиальном наборе имеет место равенство и, следовательно, система матриц линейно зависима.

Справедлив следующий критерий линейной зависимости системы: система линейно зависима тогда и только тогда, когда один из ее элементов линейно выражается через другие элементы системы.

Этот критерий позволяет быстрее решить пример 4, если заметить, что .
Действительно, . Поэтому матрица представляется линейной комбинацией из матриц . Согласно критерию линейной зависимости следует сделать вывод о линейной зависимости системы матриц . Нетривиальный набор чисел нетрудно найти, если равенство переписать в виде . Отсюда получаем . Точно такой же набор найдем в примере 4.

Пример 5. Проверить на линейную зависимость (независимость) систему функций

из линейного пространства .

Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее нулевому элементу пространства , который представлен функцией тождественно равной нулю.

.

Полученное равенство должно выполняться для всех . Это возможно, только если все коэффициенты при различных степенях равны нулю, т.е.

. - главный определитель этой системы. Т.к. он отличен от нуля система имеет только одно решение. Это решение .

Следовательно, заданная система функций линейно независима.

Домашнее задание.

1. Доказать, что множество с обычными для векторов операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует линейное пространство.

2. Доказать, что множество всех матриц вида с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число образует линейное пространство.

3. Проверить линейную зависимость (независимость) системы векторов из пространства .

4. Проверить линейную зависимость (независимость) системы функций из линейного пространства .

Характеристики

Список файлов лекций