Занятие 13 (АиГ1) (1016721), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Например, многочлен приводим над полем , он допускает разложение и неприводим над полем , т.к. каждый из множителей в квадратных скобках принимает комплексные значения при действительных значениях переменной . Поэтому, разложение многочлена из примера 4 над полем будет иметь следующий вид: . Здесь каждый из множителей принимает только действительные значения при действительных . Чтобы получить это разложение, нужно перемножить квадратные скобки в найденном выше разложении многочлена над полем .

Следует помнить также следующий факт: если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то комплексное сопряжение этого корня также является корнем этого многочлена. Согласно этому факту и основной теореме алгебры многочленов разложение многочлена с действительными коэффициентами над полем в общем случае имеет следующий вид

, (2)

где - действительные корни кратности соответственно, а квадратные многочлены имеют комплексно сопряженные корни.

Пример 5. Найти разложения многочлена на множестве комплексных (над полем ) и на множестве действительных (над полем ) чисел, если известно, что - корень кратности 2 этого многочлена.

Решение.

1) - действительный корень кратности 2 многочлена .

2) - многочлен с действительными коэффициентами вместе с комплексным корнем кратности 2 этот многочлен имеет корень тоже кратности 2 в разложении многочлена над полем (см. формулу (1)) будет присутствовать множитель

многочлен , и значит, многочлен нацело делится на многочлен .

3) Найдем результат деления на по алгоритму Евклида.

.

4) Теперь найдем корни квадратного трехчлена .

.

Следовательно, разложение заданного многочлена над полем имеет вид

.

Из этого разложения видно, что имеет корни кратности 2 и корни кратности 1.

Чтобы найти разложение многочлена над полем нужно перемножить скобки с сопряженными комплексными корнями. Т.к. и , получаем следующее разложение многочлена над полем : .

_______________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти все корни многочлена и указать их кратность.

2. Найти целую и дробную части отношения , где , .

3. Найти разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел.

Характеристики

Список файлов лекций