Занятие 13 (АиГ1) (1016721), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Например, многочлен приводим над полем
, он допускает разложение
и неприводим над полем
, т.к. каждый из множителей в квадратных скобках принимает комплексные значения при действительных значениях переменной
. Поэтому, разложение многочлена
из примера 4 над полем
будет иметь следующий вид:
. Здесь каждый из множителей принимает только действительные значения при действительных
. Чтобы получить это разложение, нужно перемножить квадратные скобки в найденном выше разложении многочлена
над полем
.
Следует помнить также следующий факт: если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то комплексное сопряжение этого корня
также является корнем этого многочлена. Согласно этому факту и основной теореме алгебры многочленов разложение многочлена с действительными коэффициентами над полем
в общем случае имеет следующий вид
где - действительные корни кратности
соответственно, а квадратные многочлены
имеют комплексно сопряженные корни.
Пример 5. Найти разложения многочлена на множестве комплексных (над полем
) и на множестве действительных (над полем
) чисел, если известно, что
- корень кратности 2 этого многочлена.
Решение.
1) - действительный корень кратности 2 многочлена
.
2) - многочлен с действительными коэффициентами
вместе с комплексным корнем
кратности 2 этот многочлен имеет корень
тоже кратности 2
в разложении многочлена
над полем
(см. формулу (1)) будет присутствовать множитель
многочлен
, и значит, многочлен
нацело делится на многочлен
.
3) Найдем результат деления на
по алгоритму Евклида.
4) Теперь найдем корни квадратного трехчлена .
Следовательно, разложение заданного многочлена над полем
имеет вид
Из этого разложения видно, что имеет корни
кратности 2 и корни
кратности 1.
Чтобы найти разложение многочлена над полем
нужно перемножить скобки с сопряженными комплексными корнями. Т.к.
и
, получаем следующее разложение многочлена
над полем
:
.
_______________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти все корни многочлена и указать их кратность.
2. Найти целую и дробную части отношения , где
,
.
3. Найти разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел.