Занятие 8 (АиГ1) (1016716), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ответ:
- каноническое уравнение прямой
.
4) Обозначим прямую, идущую по биссектрисе треугольника из вершины
через
. Найдем направляющий вектор прямой
. Сначала найдем векторы
,
. Сумма ортов
- вектор, направленный по диагонали параллелограмма, построенного на векторах
. Т.к. эти векторы имеют одинаковую длину
, то параллелограмм является ромбом, а диагональ ромба является одновременно его биссектрисой. Следовательно, вектор
- направляющий вектор прямой
. Вместо вектора
в качестве направляющего вектора прямой
лучше взять вектор
. Найдем уравнение прямой
.
координаты векторов
пропорциональны
ответ:
- каноническое уравнение прямой
.
Пример 6. Стороны треугольника лежат на прямых
заданных общими уравнениями.
.
Найти длину высоты этого треугольника из вершины
.
Решение. Сначала найдем вершину , которая служит точкой пересечения прямых
и
. Поскольку эта точка лежит на обеих прямых, ее координаты можно определить из системы
. Решение этой системы найдем по правилу Крамера:
Из уравнения прямой находим нормальный к ней вектор
, который будет параллелен прямой
, идущей по высоте
, т.е.
является направляющим вектором прямой
. Найдем общее уравнение прямой
.
координаты векторов
пропорциональны
- каноническое уравнение прямой
Теперь найдем точку пересечения прямых
и
, как решение системы
. Эту систему тоже решим по правилу Крамера.
Точка является проекцией точки
на прямую
.
8.3. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельны, совпадать. Полезную информацию о взаимном расположении двух прямых дают направляющие векторы и векторы нормали этих прямых. Например, угол (острый или тупой) между прямыми равен углу (острому или тупому) между направляющими векторами этих прямых. Этот же угол равен углу между нормалями к этим прямым.
Расстояние от точки
до прямой
можно вычислить по формуле:
.
Пример 7.
При каких значениях параметров прямые
а) пересекаются в одной точке, б) параллельны, но не совпадают, в) совпадают?
Решение. Из общих уравнений прямых найдем их нормальные векторы.
Если прямые параллельны или совпадают, то . Следовательно, ответ на вопрос а) такой: прямые
пересекаются в одной точке при
.
Если прямые совпадают, то помимо пропорциональности координат векторов , система из дух уравнений
должна быть эквивалентна одному уравнению.
Уравнение
должно быть пропорционально уравнению
.
Ответ на вопрос в): прямые совпадают при
.
Ответ на вопрос б) вытекает из полученных двух ответов: прямые параллельны, но не совпадают при таких, что
и
.
Пример 8.
Выяснить взаимное расположение прямых :
,
:
.
Если прямые пересекаются, то найти точку их пересечения и угол между прямыми.
Решение. Из параметрических уравнений прямых ,
легко находятся их направляющие векторы
.
Координаты векторов не пропорциональны, значит эти векторы не коллинеарны и значит, прямые
,
пересекаются в одной точке. Эту точку
можно найти такими рассуждениями:
. Эту точку можно по-другому. Из параметрических уравнений найдем общие уравнения прямых
,
. Система из общих уравнений прямых определяет
.
Чтобы найти угол между прямыми, найдем угол между направляющими векторами
,
.
,
. Данное значение
дает тупой угол между прямыми
,
.
Острый угол между прямыми ,
равен
.
Пример 9. Стороны треугольника лежат на прямых
заданных общими уравнениями.
.
Найти длину высоты этого треугольника из вершины
.
Решение. Данная задача уже решена примером 6. В отличие от используемых там методов теперь найдем высоту с использованием формулы расстояния точки до прямой. Начало решения повторяет решение в примере 6: находим точку
пересечения прямых
и
.
Теперь отходим от решения в примере 6 и воспользуемся тем, что равно расстоянию от точки
до прямой
. Следовательно, по формуле
_________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точки .
2. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой
.
3. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой
.