Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей. Учебник под ред. В.М.Кудрявцева (1014186), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Больше того, из равенств (9.160) и (9.162) легко могут быть получены (9.91) и (9.93).. В самом деле, при малых частотах колебаний величину !дсптак можно записать углом ест,„. Кроме того, при низкочастотных колебаниях процесс распространения волн давления в газе можно принять изотермическим, т. е. положить /в = !. Наконец, при одномерном потоке отношение !/Юа равно времени пребывания газа в камере сгорания тк. Учитывая сказанное, можно записать следующие приближенные равенства: 2 18 исаак 2шсак ш!/спи шик М (!с+ ! — 2йп) М (2 — 2п) )аа(! — п)/аа ! — и ~1~~~~~~) ( с с,к ) с, ~/с+ ! — 2)с~)в Если теперь подставить эти выражения в (9.158), (9.160) и (9.162), то последние переходят в условия на границе устойчивости (9.91) и (9.93), полученные при рассмотрении низкочастотных колебаний.
Таким образом, теория продольных акустических колебаний в известной степени включает в себя и теорию низкочастотных колебаний. Используя полученные соотношения для границы устойчивости: тд —— [я — (а+ ср) + 8)/дс; (9.163) ~(Я аи)с (В+ ! 2ьп~с Г ~1цшсаи)с ~ )с+ ! — 2)си~с "~'[( —;) ("";.")-"~ можно построить границу устойчивости в плоскости двух любых параметров, оставляя все остальные параметры постоянными. Положение границы устойчивости здесь определяют весемь параметров: 'сф' тд' л' такс й)[с /гс тн та' 282 ((ш шпик с)с (сс + 1 — 2ссл ) Границу устойчивости, так же как и раньше, можно построить в координатах т — йф. Метод построения прежний: приняв постоян- ка 283 т = (т.
— а)/ы; (9.166) то при равенстве атт,„= гп Ьф „= (2/г)/(Ь + 1 — 4Ьа). (9.166) Отсюда /д а+! / 4ап 2 рт (а+ !) (9. 170) ными величины и, т,„, М, Ь, т„т„исключаем из (9.163) и (9.164) частоту колебаний ах. Так же как и раньше, проанализируем границу устойчивости для различных случаев. Анализ устойчивости двигателя с короткими трубопроводами. При коротких трубопроводах члены, их учитывающие, отсутствуют и соотношения границы устойчивости (9.163) и (9.164) преобразуются к виду Ь = 1/! 1((пытаа)/(ЬМ)1'-!-!(Ь+ 1 — 2Ьп)/(2Ь)]а — а] .
(9.165) Заметим, что последнее уравнение здесь преобразовано так, что оно по форме полностью соответствует такому же уравнению (9.94б) при низкочастотных колебаниях. Как и раньше, анализ границы устойчивости удобно начинать с построения зависимости Ьф(тв), которая определяет возможные частоты колебаний в зависимости от Ь и п. Прежде всего заметим, что ввиду периодичности функции 1дсат„„при непрерывном изменении пт, когда 1дтвт,„= со, соблюдается равенство ы гаи где г = 1,2, 3, ..., величина Ь, =- О. Причем число г определяет номер возбуждаемой гармоники собственных продольных колебаний газа в КС. В самом деле, из акустики камеры (см.
2 9.6) следует, что частота собственных продольных колебаний /а, = ат„,/(2п) = га/(2/). Отсюда, учитывая, что т,„= //а, следует ат„т,„=- гк. С другой стороны, величина Ьф будет принимать максимальные значения при следующих условиях: 1) если показатель взаимодействия 0 < и < (Ь -]- 1)/(4Ь), (9.167) при и = 0 Ьэ мах — — (2Ь)/(Ь + 1); (9.169) при п = (Й + 1)/(4/г) Ьф „ — — ° , 2) если показатель взаимодействия и ) (Ь + 1)/(4Ь), то величина Ьф — — со всякий раз, как что соответствует двум частотам ат' и ат", симметрично лежащим от- носительно собственной: ы'х„и, ыат„а = гп ~ агс1я М ' ! " — 1 . (9,171) 1.' (ь -]- !) Учитывая сказанное, принимая т,„= 1 .
10 а с; М = 0,2 и положив показатель адиабаты Ь = 1,2, строим зависимость Ьф(ат). Эта зависимость приведена иа рис. 9.25. Она имеет симметричную форму относительно собственной частоты а!так =- гл. Причем при показателе взаимодействия 0 < п < (Ь + 1)/(4Ь) функция Ьф(ат) имеет форму вертикального зубца. При показателе л > (Ь -]- 1)/(4Ь) форма функции Ьф(ат) приобретает вид сходящейся вертикальной полосы. На рис. 9.25 приведена также и крайняя ветвь Ь, соответствующая г = == О.
Как видно, эта ветвь лежит в области малых частот, соответствующих низкочастотному диапазону колебаний. Для сравнения здесь же пунктиром нанесены кривые Ьф, полученные ранее при рассмотрении низкочастотных колебаний. Обе группы кривых в области низких частот практически совпадают друг с другом. Таким образом, граница устойчивости, полученная при рассмотрении волновых явлений в камере, т. е. при высокочастотных колебаниях, может быть распространена и на низкочастотную область колебаний, если учесть нулевую гармонику г = О, соответствующую одной четверти волны.
После того как найдены пределы изменения величины Ьф и возможные частоты, остается вычислить соответствукхцие им значения величины тп. Для этого используем первое уравнение системы (9.165), где а = агс]я ((2 1ц ыт,а)/1М (/г + 1 — 2Ьи)]). (9.172) г=л г ьа ! 2-.Г а 2Щ 40Д2 Дмг ЛП2 Юж а! а'т ' Рнс. 9.26. Зависимость аф от ы при прадольиых высокочастотных ! колсбаиивх Ф 28а Из всех значений «з надо брать те, при которых область неустойчивости получается максимальной.
Этому условию соответствуют значения «з = -~(Π—: я/2). Знак зависит от изменения 1явт,„. Величина сз имеет отрицательный знак ( — а) при изменении а»так в диапазоне гк.а' мт к) зк — я/2; ак/(так) ) м) гк/(так) к/(2так) 'т. е. при движении по левой ветви Ьэ(кз) (рис. 9.25). Величина и имеет положительный знак (+а) при изменении «зт,„ в диапазоне так ~ З«1 ак/(так) + к/(2так) ) м Зк/(так) т, е. при движении по правой ветви Ь (рис. 9.
25). Характер и форму границы неустойчивости можно определигь и без подробного расчета. Для этого достаточно вычислить характерные точки — значения т, при Ьэ — — 0 и Ьэ = о В точке 1, соответствующей Ьэ —— 0 на левой ветви Ьф(аз) (рис. 9.25), 1 / к 1 к 1 имеем: частоту м, = — / как (~ 2 / аак Заак а = — —; время «кз = —" г ' ки 2 («в В точке 8, соответствующей Ьэ —— 0 на правой ветви ~э(аз), имеем: частоту азз —— — /як+ — "1 = "; величину аз = я/2; вреаак 1 2 / как (з+ 1/2) мя т = (я «3)/взз = так/2(з + 1/2) В точке 2, соответствующей Ьэ = Ьэ, при О ~ и (, ) ( ), Ьа = 2Ь/(Ь + 1 — 2йп) имеем: частоту азз = гп/т,к; величину «зз = = 0; время т„, = я/азз = — т,к/г; при п ) (Ь + 1)/(4Ь) имеем два значения Ьэ — — ао, которые соответствуют симметрично расположенным относительно собственных; «меньшая» частота «большая» частота ь»з = — ~зк ж~'й ~" 2 Ь 1 з м как учитывая соотношение (9.170), величина «з = агс1д — — 1 1 —— Наконец, значения времени т,з = и — аз/вз, таз =' я — аз/кзз Таким образом, вычислив зависимость Ьэ(«з) и найдя значение можно построить границу устойчивости в плоскости т, — Ь»,.
На рис. 9.26 представлена граница устойчивости при различных значениях показателя взаимодействия и. Как вид, р ино, пи О<п< < (Ь ' 1)/(4Ь) область неустойчивости (заштрихована) имеет характерный вид: она состоит из набора замкнутых областей — зу й — з бцов, 288 соответствующих номерам гармоник собственных колебаний г, Причем частично зубцы перекрывают друг друга, образуя в зоне малых Ьэ сплошную область неустойчивости. При и ) (/г + 1)/(4Ь) области неустойчивости имеют вид сходящихся полос, которые сильно перекрывают друг друга, образуя сплошное поле неустойчивости. Следует отметить, что области неустойчивости по отношению к высокочастотным колебаниям располагаются в зоне малых значений времени преобразования т„соизмеримого с временем так. На рис.
9.26, а представлена граница области неустойчивости при и = 0; сравнивая эту область неустойчивости с другими, соответствующими и ) О, можно отметить, что в случае отсутствия «внутрикамерного» механизма область неустойчивости получается самой маленькой. Возможные частоты колебаний имеют определенный диапазон (точки / — 3 на рис. 9.25 и 9.26, а), середина которого (соответствует Ьэ „ —— 2А(Ь + 1) — точка 2, рис. 9.25 и 9.26, а) определяется соответствующей гармоникой собственных колебаний газа в КС.
По мере увеличения и, т. е. вступления в действие все более сильного внутрикамерного механизма, область неустойчивости расширяется — вытягивается в сторону больших значений Ь,к (рис. 9.26, б). Наконец, при и = (Ь + 1)/(4Ь) = 0,458 область неустойчивости замыкается на Ь«а ак а— а со (рис. 9.26, в). Интересно отметить, что если и < (Ь + 1)/(4Ь), то имеется область «абсолютной» устойчивости: всегда есть такое конечное значение Ьэ = 2Ь/(Ь+ 1 — 2Ьзз) (рис.
9.26, б), правее которого двигатель будет устойчив всегда независимо от значения т„. Напомним, что при анализе границы устойчивости по отношению гич к низкочастотным колебаниям там тоже была установлена ан ная зона абсолютной устойчивости при гз < 1/2.
Нетрудно видеть, что если теперь в условии и < (Ь + 1)/(4Ь) положить Ь = 1, что соответствует изотермическому процессу распространения колебаний, то и здесь получится зз < 1/2. О тсюда следует, что если отсутствует «гидравлический» механизм, т. е. имеет место независимость расхода топлива через форсунки от колебания давления (этому условию соответствует значение Ьэ = со), то при значении и < (Ь + 1)/(4Ь) высокочастотные колебания вообще невозможны. Наконец, при и > (Ь + 1)/(4Ь) (рис. 9.26, в) область неустойчивости расширяется: здесь форма областей приобретает форму сходящейся полосы, простирающейся в зону Ьэ — — со. Причем имеется определенный диапазон значений т, при которых неустойчивость всегда будет независима от Ьэ, в том числе и при Ьэ — оо.
Это означает, что здесь появляется зона «абсолютной» йеустойчивости, которая по частоте лежит в зоне собственных колебаний. Если и нанести на плоскость тк — Ьэ рабочуюточку з», соответствующую устойчивому режиму работы некоторого двигателя, то она примерно должна располагаться так, как показано на рис. 9.26, б. В этом уч при форсировании тяги двигателя путем увеличения расхода от исходной точки будет двигаться, как показано на рисунке, впра- 10 1,0 10 14 12 1.2 1,0 П,п 02 04 00 (Д пв г и п, 0) г) Г,10,'С т, и',с 2,2 2,2 г,п г,п 1,0 10 10 24 12 12 10 пб пм1 с-г' 21 04 00 04 02 п,г 0 г 0 и 0 1, г во и вниз.
Дело в том, что при форсировании двигателя расходом с увеличением относительного перепада давления на форсунках гтф одновременно будет снижаться и время преобразования т (за счет повышения мелкости распыливания и интенсивности тепломассообменных процессов при повышении давления). При увеличении тяги можно на некотором режиме попасть в область неустойчивости. Момент, когда наступит неустойчивость, со- а).: 1'„10,'С 2,4 г,г 0) ти 10,0 гг Рис. 9.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
