Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей. Учебник под ред. В.М.Кудрявцева (1014186), страница 57
Текст из файла (страница 57)
параметры потока поперек камеры не изменяются, а зависят только от координаты данного сечения. Рис. 9.24. Расчетная схема камеры лля анализа про- дольных нысокочастотных колебаний 3. Длина докритической части сопла предполагается небольшой, Тогда время пробега волной давления длины докритической части сопла будет малым по сравнению с временем пробега длины камеры сгорания. Это обстоятельство позволяет считать стационарным течение газа в сопле в каждый данный момент времени и пользоваться для сопла всеми известными газодинамическими зависимостями, выведенными для стационарного течения. 4. Так же как и при рассмотрении низкочастотных колебаний„ для упрощения задачи считаем, что двигатель работает на однокомпонентном топливе с вытеснительной системой подачи. Все выводы качественно будут справедливы и при двухкомпонентной схеме двигателя.
Основными уравнениями, которые описывают нестационарное одномерное движение идеального сжимаемого газа, являются уравнения движения, неразрывности, адиабаты: Граничными условиями для этои системы уравнении будут следую щие: 1) прн х = О или в сечении фронта пламени (см. рис. 9.24), расположенном вблизи головки, можно считать, что в любой момент времени расход газа через это сечение равен поступлению ПС в камеру сгорания за счет выгорания жидкого топлива и определяется известным соотношением (рР~)9)х=о = тттпс = ттча(1 ти) (1 ~(к~74(1) где Є— площадь поперечного сечения камеры; 2) при к = 1„, т.
е. в конце КС или на входе в сопле, в соответствии с допущением 3 можно считать, что число Маха на входе в сопло, определяемое при стационарном течении только относительной площадью камеры Р„= Р„!Р„„будет неизменным и равным числу Маха на стационарном режиме.
Таким образом, принимая течение в короткой входной части сопла квазистационарным, можно записать это условие в виде (9. 125) где М вЂ” число Маха в конце камеры на входе в сопла. Индекс «О» соответствует стационарному режиму. Так же как и раньше, в написанных уравнениях удобно перейтп к безразмерным величинам: ЧРΠ— +ЦР (ш+ 1) — =— 'хх Йх рр дч! д! дх ро(Ь+ 1) дх дг д 1ро 11 + 1) вго (м + 1Н д! дх ро(4+ 1)/( ра(Ь+ 1)~] = сопя!. (9.127) Так же как и раньше, рассматриваем тот момент, когда колебания только начинаются и их амплитуда еще очень мала. В этом случае в равенствах (9.127) можно пренебречь членами более высокого порядка (например, бг)- О, шб = 0 и т. д.), и уравнения линеаризуются к виду ,Ъ а ах чо дЧ х дз г йр 1)Р = — = — а,—; д! о дх А дх о дх дб/д/+ В', (дб/дх) + Юо (дш/дх) = 0; 9 = йб, (9.128) где ао = йр,/рр — скорость звука на стационарном режиме.
Представим теперь в безразмерных переменных (9.128) граничные условия (9.124) и (9.125): 1) при х = 0 формулу (9.124) перепишем в виде 1р,(б + 1)Р„)17,(1в + + 1)] =а — — тпс = тиф(1 — тхН1 — дтх/д/). Пренебрегая величинами более высокого порядка малости и учитывая, что на стационарном режиме имеет место равенство рог„))7, = = гпф„и, кроме того, учитывая, что давление в КС переменное по длине, соотношение (9.27) надо записать в виде г(т,/й = п17)(/ — т„, 0)— — г)(!, 0)], тогда граничное условие !л(/, 0)+а(/, 0)=чф(/ тх) пт1(1 — тп 0)+пт1(/, 0), (9.129) где тф = (гпф — гпфо)/~тфф — относительный расход через форсунки. Если прейебречь сжимаемостью и инертностью жидкостч в полости головки и форсунках, то можно записать ф(/ — т„) = им(1 — г„), (9, 130) где п1Ж вЂ” относительная скорость жидкости в конце трубопровода на входе в головку; 2) при х = 1 выражение (9.125) перепишем в виде М = Мо = )г'О/а, = У)7/а = ЯРО (и + 1)/а, и — (р — р )/ро) ш = ())Р Яро)/)(Ро) ь' = (Р РО)' РО ' 1) - ф' = ЯР (ш+ 1) о = рой+ 1)' (9'128) Отметим, что хотя параметры р, )17, р и соответственно !), ш, б относятся к камере сгорания, однако для упрощения записи индекс «к» опущен.
В безразмерных параметрах система уравнений (9.123) будет: скорость звука а' = /гр/р = йро (п + 1) /[ро (б + 1) ) = афг (т) + 1 + б — б) /(б + 1) = = а,'(1+ (4 — б)/(б+ 1Н ж а',(1+ т) — б) Учитывая малость величины (1) — б), можно написать: а = [1+ +(г) — б)/2], кроме того, так как г) = йб, то а = а,(1+ /! — 1/2б). = по Подставляя значение а в выражение (9.131), получим ф — 1 Ь вЂ” 1 в+ 1+ — о — — 1 2 2 д — 1 и — — Ь =М 1 + жМ,))+и —: 8).
2 / х — 1 1+ — 1 ф — 1 2 2 Так как, по условию, М, =М = сопя( то 1+ б(ь 1)/2 откуда при х = 1 граничное условие ш(/, /) = — б(/, /). 2 (9.132) итоги + ))Ро = — а,' —; дх гй+ ЯР, + )р Ых ~~=йб, ) Преобразуем по Лапласу граничные условия: 1) при х = 0 выражение (9.129) в преобразованных функциях будет (9.133) ~(~ )+Йг, О) =е "" Ф вЂ” пе ',1(г, 0), „-,,(, 0) или, учитывая (9.130), фф — — ш, 1)„= йб и полученное ранее соотно- шение ''+" ~'"- —." '" '1аж' =' Фта можно записать в следующем виде: 277 Так же как и при исследовании низкочастотных колебаний, решение уравнений (9.128) ищем с помощью операционного ме П еоб аз ем п р р у по Лапласу уравнения (9.128), учитывая приведенные ранее соотношения, получим При этом искомые величины А=л,[л; В=лл[лг (9.
148) где Лж Ла — соответствующие миноры определителя Л. Подставляя (9.148) в решения дифференциальных уравнений (9.140) н (9.143), получаем следующие соотношения: гх/[а, (1 — М)] Ла — гх/[а, (1+М)1 д 8(г,х)= — е ' + — зе л д Г,(г,х,а„М, д„Л,) д„ з)(г, х) = — — Х л лм — гх([а, (1 — м)! д — гх([а, (1+и)] хв (г, х, аа, м, лл, л ) хе ' + — зе ДМ л Исходные функции 6([, х) н ш([, х) находятся из интегральных уравнений: га 8(г„х) = — = ~ е В([, х) ([[; д о (9. 149у ш (г, х) = — = ~ е г(ш ([, х) ([!.
л о Решения этих интегральных уравнений представляются в виде суммы следующих функций: 8([, х) = ~~~~ ~Сне ' [д; и)([, х) = "«~~Св(е ' [д, (9.150г 1 1 где г( — корни определителя; Со, С 1 — постоянные коэффициенты; т — число корней определителя; р — показатель, учитывающий кратность корней. Определение границы устойчивости. Из анализа выражений (9.150), так же как и при низкочастотных колебаниях, видно, что для того чтобы амплитуды отклонений б, и) со временем убывали, необходимо, чтобы все корни г[ имели действительную часть меньше нуля. Таким образом, условия устойчивости определяют корни уравнения: (М вЂ” '+Т~(1 — ' ' М)е'"'""+ "+("+ +Т~ Х ~(1+ Й 1 М) е '["' ]~=О. (9 !5!) Так же как и раньше, границы устойчивости определяются из условия, что все корни г; имеют только мнимую часть г = (ш.
— " + ](М + — М + МТ~ ( е '" + е 'к] = О, которое можно привести к следующему виду: 1)) гтак + М + МТ = О, »+1 2 где !)) г.г (Е 'ак Е ~ак) /(Е~~ак + хаак) Учитывая равенство 1))х = — 1[я[х, а также подставляя г = (в и раскрывая выражение Т из (9.145), получаем Й+1 га 1!нн)т,„+ М+ М ~ 2 Йф 1! + г*г( (Я ыаа ((Йфха)1 (9. 153) — г (~ — ")] = а (9.154) н дальше 1[йвт, — — ' [двтак[йвт,-)- Й+1 М-,'-1' Й+1 М 1 1 + Йфта »[Й . МЙ + — созвт,— 1 — з!пвт„— Мйл '! 1; '1 [з ) ЙФ ( Йфг Х (1 — СОЗ а)т + [З!П вт„) = О.
(9.155) Разделяя действительную и мнимую части и преобразовывая, получаем следующие два равенства: М (Й+ 1 — 2»л) Йфга ~) (»+ 1 — 2»л) Х ((1 + ПЙФ) 51П втгг — П вЂ” !Я в'та СОЗ втд~ ха Ь 1 2!я "ак '1 ! '] ф — — 1= М(Й+ 1 — 2»л) Йфга Явт. = МЙ(Й+ 1) [Й+ 1 — 2»л) ЙФ (1+ лЬФ) соз вт, + и — ' Х х [нвт,зш вт„~. (9.155) Если учесть, что в изобарической КС величина М' — О, то (9.151) можно преобразовать к следующему виду: Й вЂ” 1 1 — гг . (1 — М) М вЂ” 1-)- — М-)-МТ~ е '"' + 2 +(М+1+ — М+МТ) е " =О, (9,152) 2 где т, = 1)ад — время пробега волной давления длины КС.
Тогда равенство (9.152), предварительно разделив все его члены на величину е ''", будет 281 Эти уравнения аналогичны уравнениям (9.84) н (9.85) и определяют соотношение между параметрами /!Ф, т, п, т,„, т„т, на границе устойчивости. Так же как и раньше, обозначив 8 = спт и разделив одно уравнение на другое, получим соотношение шсак М ()с + ! — 2)сп) "фпа л «с/та) !яшка 188 + Ф . (9.15?) п (сс/си) 18 шаа 1+ 1ЯВ !+"пл 2 усилии !— я ш си М (сс + ! — 2!сл) Л,фиа Обозначим: (дд = 2!ясат,„/[й
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
