Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей. Учебник под ред. В.М.Кудрявцева (1014186), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Вывод уравнений трубопроводов. В соответствии с работой К. И. Артамонова рассматривается движение жидкости по трубопроводу, соединяющему бак с полостью головки (рис. 9.11). Движение жидкости в трубопроводе, если пренебречь трением, описывается уравнениями движения и неразрывности: ди + 12У дзг дР . д (оро) -[- д (РЕ,)(Г) ='О, (9.46) Щ дх дх ду ' до МОЖНО Рпг "и-гп 1 Рк Р «Ф (9.43) (9.50) 2 р..г о — рки 2 р,,„— рко 248 249 или после простых преобразований, рассматривая начало колебаний, когда амплитуда отклонений еще мала, соотношение (9.42) можно представить в следующем линеаризованном виде: трубе.

Дифференцируя (9,49) накрест соответственно по х и получить два волновых уравнения дго дгг дгв о дгв — — а' — ' = 0; — — а' — = О. д~г дхг др дхг Для решения уравнений необходимо установить: 1. Начальные условия: при 1 = О, т((0, х) = то(0, х) = 0 — условие отсутствия колебаний скорости и давления на всем протяжении трубопровода. 2. Граничные условия: а) при х = О, т. е. в начале трубопровода, можно положить т)(1, О) = 0 и (дто(1, х)/дх), о = 0 — условие отсутствия колебаний давления и изменения скорости по й б) при х = 1. т. е.

в конце трубопровода, на входе в полость головки. Полагая полость головки абсолютно жесткой и пренебрегая сжимаемостью жидкости, находящейся в полости головки и форсунках, можно написать, что в любой момент времени ( расход жидкости через концевое сечение трубы равен расходу через форсунки: Ргт)т (/ т/ = тф (9 51) Отсюда, учитывая, что это соотношение сохраняется и при не- стационарном режиме, можно написать ((Р (( 1) — 1(Ро)/(Ро = [те (/) — тео)/тео (9.52) или, переходя к безразмерным величинам, имеем то(/.

1) = те(/). (9.53) Отсюда, используя (9.45), а также полагая„что давление в полости головки равно давлению на конце трубопровода: ч..,(/) = )(/, 1), (9.54) граничное условие при х = 1 можно записать в следующем виде: ш(/ О = — ')(/ Π— — ').(/). 1 1 (9.55) «е ' аф Решение уравнений камеры и трубопроводов. Приступим теперь к решению полученных выше дифференциальных уравнений камеры (9.40) и волновых (9.50), которое удобно выполнить с помощью так называемого операционного метода. Основа метода — замена искомых функций — оригиналов функциями преобразованными — изображениями. Преобразование искомых функций осуществляется путем перевода их из плоскости действительно переменного й х в плоскость комплексного переменного г. Связь между оригиналом П(й х) и изображением т)(г, х) определяется соотношением Лапласа — Хевисайда: Ю т) (г, х) = ~ е "; (/, х) й.

(9.56) Преобразование функции от производной дт)(/,х)/дх будет: д, (О .) д ~. „ д е " ~ ~ ' ) й = — ( е " т)(/, х) й = — т)(/, х); (9.57) дх Ых,1 дх о о пт производной дц(йх)(д/, если взять интеграл по частям: ОЪ ОО е" "( ' ) й =. т,(/„х)е ™ ( + г~е "т((/, х) й = гЧ(г, х). (9.58) д( о о о Так как согласно начальным условиям т((0, х) = 0 при ( = О, колебания отсутствуют. Можно также показать, что преобразованные функции от вторых производных д'т)(1, х)/дх' и д'т(1, х)(дР соответственно будут равны: дт~(/, х) дт~(х, х) е-х дхо дхт о (9.59) е " ' ' ' е(г = г'т)(г, х). дтч (О х) д/т о Используя формулы преобразования (9.56) — (9.59), волновые уравнения (9.50) могут быть представлены в преобразованных функциях в следующем виде: — — т((г, х) = 0; Ыхт рт (9.60) д'о (х, х) ' ( х) О д(2 ат (9.61) т) (г, 0) = А + В = О, (9.63) откуда В = — А.

Далее, второе уравнение системы (9.49) в преобразованных функциях будет = — — гт( (г, х). (9.64) Роо (то Используя (9.62), можно (9.64) преобразовать к виду 251 Таким образом, замена действительных функций т), то их изображениями ть ш позволяет преобразовывать дифференциальные уравнения в частных производных в обыкновенные линейные дифференциальные уравнения. Простой подстановкой можно убедиться, что решениями уравнений (9.60) и (9.61) являются следующие функции: т) (г, х) = Ае*""+Ве *"; то(г, х) = Се"~'+ 0е '"". (9.62) Учитывая граничное условие: при х = О т((00) = О, которому соответствует также равенство т((г, 0) = О, получим из первого уравнения (9.62) а а Рва'цгв Из этого равенства находим, что С = АРко/(Роа[Г») ' /) = ВРкв/(РоаФ о) (9 66) Таким образом, коэффициенты В, С, /) решения (9.62) преобразованных волновых уравнений выражены через один коэффициент А.

Учитывая полученные соотношения (9.63) и (9.66), решение уравнений (9.62) запишем в»(г, х) = А (е~~' — е *"1'); в(г, х) = = — Арко/роа»р' (е*"1'+ е 1'). (9.67) Исключая из уравнений величину А и учитывая, что сй — = (е~1'+ е 1')/(е 1' — е ~1'), (9.68) а можно получить следующее соотношение: в»(г, Х) = — Ы(г, Х) ~ — 1- — С([1 — ). 1 ~ ввав'о (9.69) Воспользуемся теперь граничными условиями на конце трубы х = 1, которое выражается равенством (9.55) и в преобразованных функциях будет иметь вид гв( ° 1) = — 'ч(г 1) — — ъ(г).

(9.70) «ф Полагая в равенстве (9.69) х = 1 и подставляя это соотношение в уравнение (9.70), получаем — с»«в Рва»в в «1 «1 Учитывая, что с1Ь вЂ” = 1/"" после простых преобразоваа а ний имеем в»„(г) -»-йф [1-»- ко ' 1»т ~ 1 ва(г, 1) = О. (9.72) «фркв 252 Введем следующие обозначения: т, = Ва — время пробега звуковой волной длины трубопровода (это время характеризует «запаздывание», связанное с конечной скоростью распространения возмущения давления); т, = ро»Р«1/рко — величина, имеющая размерность времени и пропорциональная длине трубопровода. Это время характеризует «запаздывание», связанное с инерционностью жидкости в трубопроводе.

Перепишем (9.72), используя новые обозначения т, и т,: Преобразованные функции от ш [(1 — т„), 1) и Ч,(1 — тк) будут: е и[(1 — т„), 1[Ж=е "в(г, /); о (9.75) е ввв»„(1 — т ) Ш = е "в»„(г). Учитывая это соотношение, преобразуем уравнение камеры (9„74): ткгв»к (г) + (1 — л) в»к (г) — е "в1а (г, 1) + пе~ .~„(г) = О. (9.76) Запишем теперь полученные уравнения (9.73) и (9.76) в виде следующей системы однородных уравнений относительно функций т» и ас ~„(г) -[- Ьф [1+ — ' 1п(гт,) 1 1ф(г, 1) = 0; «ф~а (9.77) в»к (г) (гтк + (1 — и) + пе *' ) — е "в Ы (г, 1) = О. Известно, что система однородных уравнений может иметь решение, отличное от нуля, в том случае, если определитель системы йф[1+ " 15( .И «ф~а = О.

(9.78) [гтк + (1 — п) + пе *вв] — гв — е Тогда неизвестные величины в»„(г) и «а(г, 1) находят из соотношений: в»„(г) = гв» /Ь; ы~(г, /) = Л /Ь, (9.79) где Лв» и Л,„— соответствующие миноры определителя Л. Для нахождения первоначальных функций в»„(1) н «а(1, 1), т. е. оригиналов по изображениям, необходимо решить следующие интегральные уравнения: в» (г) = ~ е п„(1)«11; о (9,80) и(г, 1) = е "оо(1, 1) «11. 2оэ в»к (г) + «ф [1 + — ' (Ь (гт )~ п1 (г, 1) = О. (9.73) «ф, Преобразуем теперь основное уравнение камеры (9.40), учитывая соотношение (9.53): тк ~'кв 11) + (1 и) в»к(1) — ш [(1 — т,), 1[+ пв»к(1 — ч,) = О. (9.74) а!! 6« (!) = )~~ С„, е ' /»; ! а!1 «, а-дс.ач а.

~ ! (9.81) Обозначим: !д а = ат„/(1 — и); !я !р = [т,/(йфт,)) !и ат„' !я 6 = и — ' !я ат,/(! + ийф) . (9.87) (9.89) (9.90) выраже- (9.91) то, учи- (9.84) — (з!пат )и —" (дат,. (9.85) 26$ Этн интегральные уравнения могут быть разрешены, причем искомые функции т)„(/) и и(й !) представляются в виде суьщ следующих функций: где и! — число корней определителя Л; Слп Са, — постоянные коэффициенты; г! — корни определителя Ь; р — показатель, учитывающий кратность корней ви Из соотношений (9.81) видно, что для того чтобы система была устойчива, т.

е. чтобы колебания давления в камере т)„(!) со временем убывали, необходимо, чтобы действительная часть всех корней была меньше нуля. В противном случае, даже если только один корень х! будет иметь действительную часть больше нуля, амплитуда колебаний т)„ (и соответственно колебаний ш) со временем будет возрастать и система будет неустойчивой. Таким образом, условия устойчивости рабочего процесса в камере ЖРД определяют корни уравнения: Ь = [ гт„ + (1 — и) + ие "[/!ф ~! + †"' ![1(ат,)1 + е " = О. Ьф«а (9.82) Очевидно, если все корни (9.82) имеют чисто мнимое значение, то система будет находиться в положении «безразличного» равновесия, т. е, на границе устойчивости.

Следовательно, для определения условий на границе устойчивости необходимо в (9.82) положить г = = !а, а область устойчивости, очевидно, определяется условием [г[ < О. Итак, полагая г = !а, используем известные соотношения ![! (гт,)1=,' — !' !я (!зт,); е='а = соз х — ! сйп х; (9.83) из уравнения (9.82), проведя последовательные преобразования и приравнивая действительную и мнимую части нулю, получаем следующие два уравнения: /!ф ~ата + (1 — и) — ' !я ат,~ = (з! п ат„) (и/!ф + 1)— Ьфта — соз(ат,) и —" !яат,; а йф~(1 — и) — ат„— ' !Дат,1 = (созат )(ийф+ 1)— /!ф«а Этн уравнения определякл соотношения между параметрами йф, т„, т„и, т, и т, на границе устойчивости, Если обозначить 6 = ат„то, разделив уравнения одно на другое, можно получить следующее соотношение: ( -" ' — ""."И' — -"' — "" ")= (!86 — и — ' """ )//~1+!86(и —" "" )1.

(9.88> Тогда равенство (9.86) можно записать в виде (1яа+ !я!р)/(1 — !я«!8!р) = — (!д6 — !я6)/(1+ !я6 !я 6) (9.88) или !я(а-[- !р) = — !н(6 — 6) =!я(Ь вЂ” 6). Отсюда где и = О, 1, 2, Таким образом, учитывая, что 6 = ат„можно получить ние для т на границе устойчивости в следующем виде: т = [и!а — (а + «р) + 6[/а. Если теперь (9.84) и (9.85) возвести в квадрат и сложить, тывая, что з!п»ат, + соз»ат, = 1, получим соотношение » 1Г '! )2 Л, 1~-.+(1 — ) !8-.1 + 1(1 — ) — -. х Лфаа х " !дат,11=(ийф-[-1)'+ [и —" (дат,), (9.92) Ьфта аа которое можно решить относительно величины /«ф =- и/[(ат„)'+ (1 — 2и)[ + +,~ (-")+()- ) 1,.... (9.93) «»! 1( аа) + (! 2и)!» са Перед корнем берем знак плюс, так как зто выражение должно быть положительным и в случае и = О.

Характеристики

Список файлов книги