Жидкостные ракетные двигатели Добровольский М.В. (1014159), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Турбулентная часть слоя. При рассмотрении этой части слоя можно пренебречь первыми слагаемыми в выражениях (4. 16) н (4.26), Тогда нз этих уравнений, вводя длину пути перемешивания ( по уравнениям (4. 23) и (4. 24) и учитывая выражения (4. 28) и (4. 29), получим: ттурб Ы ( ) (4. 59) д„дт, „дг ух=Ух,т О=С,фри' — =С,ГАВР— — ~, (4. 60) "УР Р' ду Фу Р"Р ду ду ' где (4. 6)) ~00 ~ эф00 ~ т.ст Для получения профилей скоростей и температур нам необходимо так задаться распределением 6 т и д, поперек пограничного слоя, чтобы можно было проинтегрировать уравнения (4. 59) и (4. 60).
Расчеты показывают, что, хотя в зависимости от заданного распределения т получаются соответственно различные зависимости ((у) и в(у) по сечению пограничного слоя, численная разница конечных результатов прн различных профилях т невелика, так как изменение ( как бы компенсирует изменение т. Кроме того, профили т и дх в турбулентной части слоя должны быть заданы так, чтобы на границе с ламинарным подслоем они приняли соответствующие значения т,„и дх лв .
(Отметим, что в ламинар- НОМ ПОДСЛОЕ МОЖНО ПРИНЯТЬ тхэ (У) =СОПЗ(=т Ч . ВВЭ(У) СОПЗ(=гттвт) ° Закон изменения длины пути перемешивания определим функцией Кармана. ди/ду в =х дгв,дуг (4. 62) ач1 = — — а'у. г Хлвээ (4. 63) Тогда величина пути перемешивания из равенства (4. 62) выразится как дв !дч (= — ха Е дг гтв Ол.х дчг (4. 64) где (4. 65) дтр(дп д г а ) 1+ дгм дт\ ( лтэ Олвм й ал,.
дтг Подставляя выражения (4.63) и (4. 64) в формулу (4. 59), получим т =йа222 Ч) (дю/дп)4 (4. 66) (дгю(дпг) 2 135 где к — эмпирическая константа (я=0,38 —:-0,4), Видоизменяя подстановку Дородницына, введем новую переменную Учитывая приведенные выше соображения о выборе профиля т и исходя из условий удобства интегрирования уравнений (4. 66), профиль т зададим так, чтобы удовлетворялось равенство — = сопз1 =- В'„. Елалафлам Тогда уравнение (4. 66) можно привести к виду (4. 67) (дю/дп)2 )1" =- — м дам (дЧ2 (4. 68) (Знак минус ставим из соображений физического смысла), Интегрирование уравнения (4.
68) дает дар Ила дЧ м(я+д) ' где Ь вЂ” постоянная интегрирования. Интегрируя выражение (4. 69) и определяя постоянную интегриро- вания из условия, что при на=В; 21=б„, получаем уравнение профиля скоростей в турбулентной части слоя: == 1+ — 1и, в 1 и+с О +О' (4. 69) (4. 70) где (4. 7!) б — толщина пограничного слоя в плоскости х — т1. Используя выражения (4. 63), (4.
64), (4. 68) и (4. 69), из уравнения (4. 60) получим = «1м', (Ч + Ь) (4. 72) Срафефа нп Зададим теперь профиль с1„таким образом, чтобы удовлетворялось ра- венство а срэфячф ар аф.ла Кала Флам где ср,ф, — значение ср,ф на границе ламинарного подслоя. Интегрируя уравнение (4. 72), получим уравнение профиля температур в турбулентной части пограничного слоя. — = 1 -~- — 1п О +Ь' (4. 73) ГДЕ С2 — тОлщина пОгРаничного слоя в координатах х — 21; 2 СР аф.лааАаОЕЕламмрлам"' * «т= (4. 74) Ча.лам хлама флам =а, Рлаал (4.
75) где а„ = р'т(е..., а=11,5. (4. 76) Перейдем к рассмотрению движения во второй (ламинарной) части пограничного слоя. Л а м и нар ны й п одсл ой. Определим толщину ламинарного подслоя б„а„. Для случая несжимаемой жидкости она определяется условием Кармана: Подставляя вместо т величину рламш«а /6«а из условий (4. 75) и (4. 75), получим а2 лама««асалам 1( (4.
77) илам где Ке«ам — число Рейнольдса ламинарного подслоя; о«ам — коэффициент вязкости на границе ламинарного подслоя. Для случая течения несжимаемой жидкости массовый расход 191 можно выразить через единицу ширины ламинарного подслоя в виде Рлл«1 Оламм'««мотам 2 (4. 78) Из сопоставления выражений (4. 77) и (4. 78) Ке„„=- 2% илам (4. 79) Распространив равенство (4. 79), полученное для несжимаемой жидкости, на случай течения газа, получим (4.
80) Введем новое независимое переменное «721 = — "— '"'" с(у. и (4. 81) СчитаЯ, что в ламинаРном подслое тла =тот=сонэ( и а)м.лам=а)ст сонэ( аа основании равенства (4. 15) и (4. 18) можем записать: дср дат т =р. — =р, ст д «ам ч (4. 82) длоо дтоо т)ст Ср эфвэл ср эфКР«ам ду дт1 (4. 83) Интегрируя уравнения (4. 82) и (4. 83), получим: тисам О лам Слт Нтам рлам (4.
84) ср эфА1«лэм ср эфКР«ам где о „„— толщина ламинарного подслоя в координатах х — Ч; тф,„„ и г „„ — значения тот и г на границе ламинарного подслоя. Пользуясь выражениями (4. 81) и (4. 84) и учитывая исходные уравнения (4. 34) и (4. 35), определим: (4. 85) аслам м — тф — ФЧ = 0«эм платэ " эф.лам 7эф 137 с лам =сэлам о а 2) очагу = — а. 2 илам платэ ослам о ) алэ. (4. 86) Подставляя полученное выражение в равенство (4. 80) и учитывая условие (4. 67), получим вилам (4. 88) элам!1Рэмлам В плоскости х — у толщина ламинарного подслоя (4. 89) Преобразуем входящую в равенство (4. 89) величину Тэф7Тэф „, . В соответствии с выражениями (4.
29) и (4. 61) м2 Тг.ст + т00 — А т 2аср эф.ср Тэф.лам галам Тг.ст + ~00лам А л Дср эф.с,г (4. 90) где срэф ср среднее значение ср ф в интервале температур Т,ф — Т,о. Разделив числитель и знаменатель правой части уравнения (4. 90) на Тэфоо и введя обозначение Мамах (4. 91) / 2р— / Ср аф срТэфОО / А где ср ф значение ср ф в диапазонеатемператур Т, — Т,, и считая ср,ф,р/ср,ф,р 1, (4. 92) после преобразований получим (4.
93) г ст ' т г.ст) 00 Определим теперь входящие в уравнение (4. 93) величины пг, /и; эооламlТОО,' 100(соо. Из выражения (4. 84), заменив т„по уравнению (4. 67) и используя равенства (4. 71) и (4. 88), получим (4. 94) ю Аналогично из равенства (4. 85), заменив г7„по формуле (4. 74) и бч „, по формуле (4. 88), получим (4. 95) ГОО Г Из уравнений (4.
74) и (4. 85) получим Охала 0ламтээ Э гь 700 От!элам (4. 96) 138 При п=0,7 считаем (Тэф(Т ф,„а„)'-лсм! и тогда из уравнения (4. 86) получаем (4. 87) 2рлам где в„([т„„+ (~ — т, „) "',""~ — т„" „'~ (4. 98) 21л а„м (м + П (1 — т„, ) ~т„„+(1 — т„„) — ( ) ~ ~г Зная теперь б„„м, можем определить постоянную интегрирования Ь в уравнениях (4.
70) и (4. 73). Длина пути смешения на границе ламинар- ного подслоя (4. 99) С другой стороны, найдем 1 „, из выражений (4. 64), (4. 68), (4. 69) прн я=ба лам; 1=(лаээ, 'м=йлам Н Считан ГээЬээ=1: (4. 100) Решая уравнения (4. 99) и (4. 100) совместно относительно Ь, получим с учетом равенства (4. 97) Ь=в„,„( — ' — 1) (4. 101) али В, „,«+Ь= В„.,„ (4. 102) Эллам Величина Ь<э „, следовательно Ь«Ь и Л. Поэтому в суммах (Ь+Ь) и (Л+Ь), входящих в выражение (4. 70) и (4. 73), величиной Ь можно пренебречь. Тогда, учитывая равенства (4.!02) и (4. 88), по- лучим "+ Ь Валам ээаамзвэама' э Подставив значение йта из выражения (4. 71) и учитывая, что согласно равенству (4.
35) илам= раева (л' эе.лам) м получим элам + ° эе лам) (4. 104) + «эллам Наа (4. 103) где В~елэм Кеь= Рэфвв Аналогичными преобразованиями получим (4. 105) также ааэь (тэЕ „м)" В«лэээ+ Ь ~эламф эваналаээ 2 В+ Ь дэала» лала«а«лами э (4. 106) 2 «ээламмаа где дмалэм Кеа= эээфав Сопоставляя формулы (4. 105) и (4. 107) с уравнениями (4.43), определяющими Кев и Кев, получим в Кев=Кеь —; в в Кев Кеа —. д (4. 107) (4. 53) и (4.
108) (4. 109) ~З9 Подставив теперь выражения (4. 94), (4. 95), (4. 96) в равенство (4. 93), а полученное выражение для Тае7Тэела — в формулу (4. 89), используя выражение (4. 88), после преобразований получим окончательную формулу для блам (величиной рз(пэ(ю)а пренебрегаем): ~лам 1 ~«элам (4. 97 ) Имея профили скоростей и температур в турбулентной части слоя и ламинарном подслое, произведем сопряжение соответствующих профилей путем подстановки ш„ /Р из уравнения (4.94) и (бо е, +(э)/(б+Ь) из уравнения (4. 104) в уравнение (4. 70). После преобразований оФ(7 эф.лам) ее Кеа = ха Е""алам лам (4. 110) Аналогично [см. уравнения (4.
95), (4. 106), (4. 73)). аф (Т,ф,„„)л'ае п ет Кел= хао Е*"'лам лаал (4. 111) Входящие в уравнения (4. 110) и (4. 111) значения Т ь,.„и а„ам можно определить следующим образом. Согласно равенствам (4.29), (4.61), (4. 91), используя уравнения (4. 92), (4. 94) и (4. 95), выражение для Т.ф, можно привести к следующему виду: Тэф „м=Т„„+(1 — Т„„) '*м — ( '""'" ) . (4.
112 т а т Выражение для а„,„можно получить из уравнения (4. 65). Опуская преобразования, окончательную зависимость получим в видс Тэф. лам а лам 1 — Тэ оехаа Тэф.лам+, ' — 2 зт Р (4. 113) При известных или заданных величинах Т„, и р, й и вт, решая совместно уравнения (4. 112) и (4. 113), можно найти Т фма„и ахала; зная их можно определить также Кеа и Кеэ. Используя все полученные выше зависимости, мы можем перейти теперь к определению интересующих нас величин Ат, А„; Кеэ; Кео и с через известные нам величины и через ~ и вт.
Согласно уравнению состояния (4. 34) Р Рлам Ялам эф лам Ялам Т (4. 114) эф,лэм Роо Рео Яоо Тэфсо Яоо Преобразовывая теперь уравнение (4. 47) с учетом выражений (4.! 14), (4. 74) и (4. 71), получим (4. 115) хфлам Аналогично из уравнения (4. 54) с учетом выражений (4. 114), (4. 71) и (4. 67) получим а )' Тэф.лам холам Для определения Ке э и Кео найдем предварительно выражения для определения толщин потери энергии 0 и импульса О.
Заменив в уравнении (4. 42) переменную по выражению (4. 63), получим (4. 116) Ь, л„ ~ 'е' (1 лоо),(, ~ ~ (1 еоо) ~э1 (4. 117) 140 где Ь вЂ” толщина теплового пограничного слоя в координатах х — т1. Рассмотрев выражения (4. 115) и (4. 122), определяющие Ке и Ат, отметим, что входящие в эти формулы величины Т,ф „, а„„и Ф яв- ляются функциями Т,,„, р, ~ и $т.
Следовательно, учитывая зависимость (4. 124), связывающую й и йт, мы можем сказать, что Кев и Ат являют- ся функциями только трех величин; Т„„, р и $т, т. ед Кев=ув(Т„,„, й,."т); Ар=72(т„,„, (б, 1т), Совместное решение уравнений (4. 115) и (4. 122) прн заданных различ- ных значениях 7'„„позволяет исключить эт и найти связь между Кев н Ат при различных значениях р. Выразив эту зависимость графически можно подобрать приближенную формулу связи между Кев и Ат.
В диапазоне изменения Т,„=Π—:1; (1=0 —:0,8 и 1дКев =2,5 —:б 4,14 йев 1 Ат=(1+ 1 5 Тв,ввб) !и (4. 126) (-;„-)~ 52 ф 4 х в,б!б 1+ . „, ) ' (т„,„. + о,о1) ' 1+1,5Т,"'„ Введем обозначения: Ь =1+1,5Т„",,' (4. 127) Ат 4,14Г1еб (4. 128) 1+ — 2,122) (Тг.с~ ' ) ' ( 1+1,5Т„„ (4. 129) Введем в равенство (4. 13!) вместо А и 1722 величины 7772=В и ср,фТ фбв(1 Те. )=треф(Тэфбв Тг.«,) =~ бе ~ =122, (4. 132) где ср,ф — эффективная теплоемкость в интервале температур (Т„„— Т,фб,).
Считаем ее постоянной по длине камеры, т. е. не зависящей от х. Подставив равенство (4.!32) в уравнение (4. 13!), произведя дифференцирование и поделив все на ат, получим -'твг7е~т — ' Яе~тй1п '[атО(! — Те „)' = — ",,"б Р ах. (4.133) ртвт Р Для удобства решения уравнения (4. 133) обозначим зт=Ьт — 2)т+2) ефв' (4. 134) Нетрудно убедиться, что б(т =)22(евт, т — т (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
