Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Найдем ф, при котором Ах принимает экстремальное значение. Физически это означает, что ищется определенное соотношение между р, и О, в сечении, где расположена плоскость теплоподвода Х. Реализация этого соотношения возможна лишь при возбуждении соответствующей гармоники; таким образом, по сути ищется та гармоника, возбуждение которой даст максимум потоку энергии Ах. Здесь следует заметить, что задание ф (т. е. задание р, и О,) определяет номера гармоник лишь в том случае, если одновременно задано краевое условие на левом конце трубы. Но не следует забывать, что надо, кроме того, удовлетворить еще краевому условию на правом конце. При заданных свойствах поверхности теплоподвода Х и при ограниченном числе гармоник, которые фактически могут быть реализованы, среди найденных гармоник может не оказаться такой, которая одновременно точно удовлетворяла бы н краевому услови1о на правом конце.
Поэтому все последующие рассуждения справедливы для реальных систем лишь в первом приближении. Онп дают тенденцию поведения колебательной системы, а не точное решение краевой задачи. Это замечание следует постоянно иметь в виду при чтенш1 настоящей главы. Если подставить значения У„, и УРО (45.5) в выражение (45.4), то сразу находится следующая формула для Ах. 2 2 Ах = С,р, -)- Сзо„ где с, и с — некоторые вещественные коэффициенты. С учетом выражений (45.7) последнее равенство 1южно записать так: Ах = с' (с, соз' ф + сз Бгп ф).
(45.8) ВИБРАЦИОННОЕ ГОРЕНИЕ [зь 1Х аАЕ Взяв производную — и приравняв ее нулю, найдем лф значения ф, которые соответствуют экстремумам Ах. Легко я Зя видеть, что есл с1 Ф с», это будут р = О, 2 ч, 2 ' Поскольку по условию О1 и р, не могут быть отрицательными величинами, угол ф должен удовлетворять соотношению О < ф < —, откуда следует, что поток энергии Ав достигает экстремальных значений только при ф = О и ф=— 2 Численныи анализ, произведенный для типических значений коэффициентов преобразований (45.2), показал, что максимуму Ав соответствует ф = О. Таким образом, если колебательная система имеет возможность свободного выбора как величины и фазы Т, так и номера возбуждаемой гармоники, она будет стремич'ься реализовать такой процесс, при котором фазы У и р, будут совпадать ').
Этот результат в какой-то мере напоминает гипотезу Рэлея, хотя, по-существу, имеет совершенно иное содержание. Надо сказать, что возможность свободного выбора величины и фазы х, а также номера возбуждаемой гармоники свойственна далеко не всем реальным процессам горения. Скорее зто надо рассматривать как исключительный, предельный случай. В реальных процессах амплитуда У может быть ограничена физическими свойствами явления, которые не позволят достигнуть теоретически «оптимального» значения ~ Г), а фаза Г может оказаться связанной, например, с колебанием скорости. Наиболее четко это прослеживается для трубы Рийке, в которой теплоотдача от нагретой сетки к воздуху однозначно определяется частотой и амплитудой колебания скорости воздуха, обтекающего элементы сетки, 1) Последнее следует, например, вз равенств (45.5).
Прв ф=0 «1=0 и, следовательно, У„«=0, т. е. ваправлевие вектора К совладает с ваправлевнем р,. 4»! ГипотезА О ыАкс»!муме Акустическои энеггии 389 и не может быть «выбрана» системой каким-либо иным образом. Процессы сгорания имеют, конечно, значительно больше «степеней свободы», чем теплоотдача от сетки, оскольк го ение зависит от п у р скорости течения, от различных периодов индукции, процесса вихреобразованпя и многих других взаимно независимых параметров. Однако и здесь может УО не наблюдаться полной независимости 1' от процесса коле- баинй. г7 .Г Чтобы показать, как в та- Рис. ЗЗ Век«ОРиап лиаком случае будет вести себя грамма для расчетного приколебательная система, рас- мера.
смотрим следующий пример. Пусть возбуждение происходит вследствие подвижности фронта пламени, которая предполагается зависящей от колебания скорости потока. Допустим, для простоты, что зта зависимость моя<ет быть выражена линейным соотношением ) Х ~ = 6 ) О (!. Чтобы учесть возможное запаздывание, введем сдвиг по фазе между У и п», равный углу р (рис. 88). Тогда очевидно У„=6я(про!; У„=6соя(3о„ (45.9) Ае= а р, '—,'-а о»+ а»р»У„+ а«о»У, +а» (У',.+ У»), (4510) где коэффициенты а„а„..., а» находятся из сравнения написанного равенства с равенством (45.4).
Использовав формулы (45.7) и (45.9), придадим соотношению (45.10) форму Ая —, = а, соя' 4р + а,6 я)и (3 я! и 4р соя ф + +(а, + а,6 совр+а»6») яш'ф. (45.11) Если допустить, что зависимость У от процесса акустических колебаний задана, т. е. заданы 6 н р, то колебательная система сохранит возможность выбора номеров гармоник, которые в рассматриваемом случае 390 [гл. гх ВИБРАЦИОННОЕ ГОРЕНИЕ определяются углом гр. Найдем значения у, удовлетворяющие условию Ах = А „, для различных фиксированных значений 6 и р. Поскольку масштабная постоянная с не мохгет повлиять на искомый результат, положим ее ИАз равной единице.
Приравняв нулю производную — ~ л~(р найдем соотношения, определяющие гр, соответствующие экстремуму Ав: 1 2, = —,6зше . (45.12) К Ч'= а — а,+аль соа б+а,Ь' Е'Ах Условие максимума, < 0 даст неравенство а7ч' (а, — а, + а 6 соа р+ а,6а) соз 2~р — а,6 з)п () з)п 2~р < О, (45.13) позволяющее отделить ~р, соответствующие максизгуму Ах, от ~р, соответствующих минимуму этой величины. Воспользуемся полученными формулами для численного расчета типического случая, характеризуемого М,=0,1; М =0,25. Пусть возбуждение колебательной системы происходит за счет подвижности фронта пламени, которую будем выражать через бгагар.
Тогда зависимость гр от р, при разных 6, удовлетворяющая условию Ах=А может быть представлена семейством кривых, изображенных на рис. 89. Указанное семейство построено для всех практически интересных значений р, изменяющихся от 0 до я. Пределы изменения величины 6 взяты от 0,1 до 10. Чтобы оценить вероятные численные значения коэффициента 6, проведем такое рассуждение. В рассматриваемом примере К= сгагар, следовательно ~Талгар~=ЬОГ Прн установившемся режиме горения П,„,р —— О„т. е. эффективная стационарная скорость распространения пламени численно равна установившемуся значению скорости течения. Если допустить, что и.
вариации этих величин имеют один порядок, то вероятное значение коэффициента 6 должно быть близким к единице. Диапазон изменения 6 от 0,1 до 10 перекрывает, по-виднмому, с запасом, вероятные значения этого коэффициента. а аа> гипотнза о мяксимумк акистичвскои энввгии 391 На рис. 89 приведены не только упомянутые выше кривые ~р=~р(р; Ь), но и ограничивающие нх линии Ах=О. Действительно, наличие максимума Ав еще вовсе не означает, что сама величина Ах при этом положительна, в то же время ясно, что возбуждение колебательной системы возможно только при Ах > О. Поэтому линии Ах=О, отделяющие областн значений (р, ~р, Ь), соответствующие Ах > О, г" г Рис.
89. Диаграмма вероятных режимов самовозбуждения, получен- ных из условия А=Амат. от областей, для которых Ах ( О, представляют несомненный интерес. На рис. 89 нанесены лишь те участки кривых ~р = ~р(р, Ь), соответствующих Ах=А~ах, для которых Ав > О. Рассмотрение кривых, приведенных на рис. 89, позволяет сделать следующие выводы. Прежде всего видно, что, если не считать небольшого участка, соответствующего мальва Ь, при р, несколько превышающем я, то диаграмма охватывает всю область, отвечающую условию самовозбуждения системы Ах>0. При этом легко сообразить, что полученные кривые полностью соответствуют диаграммам границ устойчивости, примеры которых приводились в гл.
1Ч (см., например, рис. 27). Изменение р от 0 до и означает, что вектор л" находится 392 ВивРАционнок Гогеннк ~гл. ~х в первой и четвертой четвертях, т. е. именно в тех, в которых лежат основные области неустойчивости. Главной особенностью кривых, соответствующих режимам Аз=А~,„н приведенных на рис. 89, является следующее.
Если*исключить сравнительно узкие области, близкие к р=О и р=я (они представляют ограниченный интерес хотя бы потому, что соответствуют малым Аю поскольку прилегают к линиям Ах — — 0), то для всех и 6 наблюдается стремление кривых приблизиться к прял мои ~р = †. Таким образом, в первом приближении можно 4 ' говорить, что вне зависимости от величины запаздывания в зоне горения (р) и количественной зависимости возмущений скорости распространения пламени от возмущения скорости течения (6), колебательная система будет стремиться возбудить такую гармонику, которой соответстя вует ~р= —. и Значению ~р = — соответствуют амплитуды колебаний 4 р„и и„удовлетворяющие, как это видно из (45.7), условию р,=юг Это означает, что сечение Х должно лежать приблизительно по середине между узлами давления и скорости.
Физический смысл полученного результата достаточно ясен. Выше уже было показано, что при полной независимости К от амплитуд и фаз колебаний газа в сечении перед Х, оптимальное значение у, которое «выберет» колебательная система, будет ~р=О. Этому соответствует узел скорости в1=0, или, что то же самое, пучность давления. Если предположить,что отличие У от нуля связано с существованием неравного нулю возмущения скорости и,Ф 0 ((У~=бв1), то сразу становится ясным, что прежний результат в рассматриваемом случае становится неприменимым.
Здесь будет происходить борьба двух тенденций. С одной стороны, будет действовать только что упомннавпзаяся тенденция приблизить плоскость теплоподвода Х к пучности давления, а с другой стороны, появится новая тенденция сместить Х к пучностп скорости, чтобы увели- 1 44! ГипОтезА О мАксимУме АЕУстической энеРгии 398 чить (при заданном 6) амплитуду Х. Нак показывает расчет, это приводит плоскость Х приблизительно на середину между указанными пучностями (или, что то же самое, узлами).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
