1 (1014108), страница 9
Текст из файла (страница 9)
А. Гухмана "н А. Ф. Гандельсмана по нссладованню сопротналеннв труб прн аднабатнчвском течении газа 63 ! и А — *='( 1) (2-54) (2-55) г, 64 бб !Л = р оф =,Ь,о(Л+ к) = + . (2-52) Л'-(- 1 ! — + л А+1 Тогда У=ТРР, = йРР. (2-53) Функция безразмерного статического давления и встречается также при использовании уравнения энергии. Выразим из (2-14) скорость звука: ь+! з е — ! а'= —,а, — — с*. 2 ' 2 Разделив это уравнение на а, получим: ( и !З 1+1~ А — 1„а) Если воспользоваться уравнением энергии в форме (2-11), рс' то нетрудно найти отношение скоростного напора 2 к статическому давлению р: Рв и )=!'*= ь / — — 1~.
2Р л' — 1!ЛР рр После подстановки значений Р' и — получим: Р Ра Скоростной напор, отнесенный к давлению торможения, можно найти по формуле ! уа — '* — '* ' —,' Р = ' ( — "=' " '.(2-55) 2р 2р ра 2" ро и+! ! Л+! ) Таким образом, ряд характеристик одномерного газового потока выражается в виде функций безразмерной скорости 4 и показателя изоэнтропического процесса й. Наиболее важные из функций сведены в таблицы гааодинамических функций, построенные для различных постоянных значений й (приложение 1).
Пользование такими таблицами существенно упрощает газодииамические расчеты, что и определило широкое распространение таблиц. Вместе с тем анализ изменения некоторых газодинамических функций позволяет сделать важные выводы о свойствах газового потока, Так, например, на рис.
2-4, дополняющим рис. 2-3, приведены функции к, о, а, Т и 1(й= =1,4). Функция /а показана на рис. 2-4. Функция к монотонно убывает с ростом скорости Л и при Л = 1 принимает критическое значение, равное (формула (2-4ба)]: Вспоминая, выражение для критического отношения дав лений, легко находим: Обращаясь к рис, 2-4, можно отметить, что функция Т слабо меняется в широком диапазоне скоростей О < Л-'1,5. Имея в виду смысл этой функции(форззула(2-51)1, нетрудно прийти к выводу, что при постоянном давлении торможе ния импульс потока слабо зависит от безразмерной скорости при Л ~ 1 5 При постоянном статическом давлении д и пг о4 пп пп бп бг Л4 !а лп гп' гг г4 Рис.
2.4. Газодинамияеские функции к, к, а, Ь, й т одномерного по- тока газа для и = 1,4. 1,67 1.6 16 14 135 13 1,2 1,1 1,25 0,7268 0,7164 0,7011 0,6486 9.6285 0,676 0.667 0,658 2 )~ — 1 0,8128 !0,7947 0,6895 0,6432 0,725 ~0.7095 0,6938 0.гбао 0,7393 иг)м сел босо ииал/ггг д пп абоо зппп с=йод л (1, — 1), г' 2и 67 66 импульс в данном сечении интенсивно возрастает с ростом 2, так как функция А резко увеличивается от единицы при Х = 0 до бесконечности при Х -+ Х„,„,.
Расход газа через заданное сечение Р меняется весьма интенсивно при изменении 2, если статическое давление го зппп гоо Зпп бпо боа Опа Гао~~ б) Рнс. 2-6 Изоэнтропнбескнй процесс расшнреннв в тепловой днзграмме (а) н определение нрнтнче- сннх параметров длн реального газа (б). сохраняется постоянным, что характеризуется поведением функции о (рис. 2-4). В выведенные выше формулы входят постоянные, зависящие только от й. Значения некоторых постоянных приведены в табл, 2-3. Таблица 2-З 2-6. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ОДНОМЕРНОГО ПОТОКА РЕАЛЬНОГО ГАЗА Уравнение энергии (2=10) позволяет широко использовать диаграммы состояния для расчета газовых течений, что особенно важно при исследовании потоков реальных газов, изменение состояния которых не подчиняется уравнению (1-1), а теплоемкость является функцией давления и температуры.
В практике расчетов тепловых двигателей (паровых и газовых турбин, компрессоров и др.) наибольшее распространение находят тепловые диаграммы, в которых по осям координат отложены либо температура н энтропия, либо энтальпия и энтропия (диаграммы Тз и 13). Такие диаграммы строятся по экспериментальным данным и позволяют с достаточной точностью рассчитывать различные процессы изменения состояния газов, в том числе в области влажного пара и вблизи линии насыщения. Диаграммы состояния Тз и гз могут быть широко использованы н пои исследовании газовых течений. Действительно, выразим.
из уравнения энергии (2-10) скорость течения: С =2(1, — 1). После подстановки 1 (ниал,77гг) получим:, дм д: ду дг дв дм д дх (3-1) дв ди дх ду дф и= дх дф и=— ду (3-2) дф Ж= — . Ф дг Действительно, к тождествам. Подставляя значения постоянных д и А, находим: с = 91,53 у/(ю — 1). (2-1 06) Формула (2-10б) показывает, что для определения скорости течения необходимо знать разность энтальпий 1, — 1, которая легко определяется по диаграмме Ы, если известны параметры полного торможения газа (р„ Т,) и статические параметры течения (р, Т). На рис, 2-5,а представлена часть диаграммы и для водяного пара. Если нам известны два любых параметра полного торможения (р, и Т,), то на диаграмме (з легко находится точка О, определяющая состояние заторможенного патока.
Эта точка может быть'найдена и по другим параметрам состояния (например, 1, и зз). Проведя вертикальную линию до точки пересечения с изобарой статического давления р, изотермой Т или изохорой и, определим состояние движущегося газа (точка 1) и прежде всего его энтальпию ~'; тогда скорость течения легко может быть определена по уравнению (2-10б). Входящую в это уравнение разность эитальпий Н, = =(з — 1 называют изоэнтропическим перепадом энтальпий. Тепловые диаграммы могут быть использованы и для расчетов необратимых течений (см, ниже).
В этом случае, однако, для определения скорости течения трех параметров состояния недостаточно. Рассматривая изоэнтропическое движение вдоль трубки тока переменного сечения в диаграмме ( — з, нетрудно найти удельный расход газа в различных сечениях — и по- строить эту величину, а также и другие параметры в зависимости от скорости с (рис. 2-5,б). Максимум удельного расхода соответствует критическому сечению трубки, определяемому по уравнению расхода; Параметры в критическом сечении находятся из условия г =а,.
С этой целью можно построить кривые изме- пений скорости звука а(1) и скорости потока с(1) в зависимости от энтальпии; точка пересечения указанных кривых дает значения а и 1 в критическомсечении. Перенеся эту точку в диаграмму 1 — з, можно найти и другие параметры в этом сечении (рис. 2-5,6). ГЛАВА ТРЕТЬЯ ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПРИ ПОСТОЯННОЙ ЭНТРОПИИ 3-Ь ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ Условие безвихревого движения можно получить из уравнении (1-6). Для пространственного безвихревого потока (м = а =е =О) из (1-6) следует: Имея в виду механический смысл частных производных в уравнениях (1-6), можем заключить, что формулы (3-1) действительно выражают условие отсутствия вращательного движения жидкой частицы.
С другой стороны, равенства (3-1) математически выражают тот факт, что существует некоторая функция координат Ф (х, у, г), частные производные от которой по координатам равны проекциям скорости на соответствующие оси координат, т. е. подстановка (3-2) в (3-1) приводит ди ! ди ! ду и — +и — = — —— дх ' ду р дх да да ! ду и — +о — = — —— да + ду р ду (3-3) Градиенты давления — и — можно выразить следа ар ау дующим образом: (3-4) — =( — ) — =а — . ду гар др, ар ду ( др ду ду ' Из третьего уравнения (3-3) после дифференцирования получаем: р+, + ( + )=о, д др /ди да~ дх ду (,дх ду ) Функция Ф(х, у, з) называется потенциалом скорости.
Понятие потенциала скорости в аэрогидромеханике тождественно понятию потенциала сил в механике твердого тела. Из механики известно, что производная потенциала снл по какому-либо направлению дает проекцию потенциальной силы, действующей в этом направлении. По аналогии интенсивность изменения потенциала скорости в направлении координатных осей определяет проекции скорости на соответствующие 'оси (формулы (3-2)). Изложенное выше показывает, что потенциальное движение газа в изолированной системе является изоэнтропическим, т. е. если поток безвихревой и адиабатический, то изменение энтропии по любому направлению в потоке равно нулю и течение газа описывается некоторой функцией координат Ф (х, у, з).
Ограничиваясь в этой главе рассмотрением только плоских потенциальных течений газа, мы можем получить уравнение потенциала скоростей с помощью уравнений Эйлера. Для плоского установившегося потока в предголожении Х = У =О уравнения (1-12) и (1-16) дают: После подстановки (3-4) в (3-3) будем иметы др р 7 да да ~ ду а'~ дх+ ду)' Подставляя производные плотности в (3-5), получаем: Имея в виду (3-2), перепишем (3-6) в виде: ( а',~ дх' ( а' ) ду- 'и' дхду и' д'ф I а' х д'ф 2ии д'ф Уравнение (3-7) является нелинейным д и ф ф е р е нциальным уравнением потенциала скоростей в частных производных второго порядка. Введение потенциала скорости позволило систему трех уравнений (3-3) свести к одному (3-7), уменьшить число неизвестных с шести до пяти и оставить в уравнении только кинематические параметры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
