1 (1014108), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Эти понятия близко совпадают с приведенными выше понятиями линии тока, трубки тока и элементарной струйки. Рис. 1-6. Вихревая трубка и вихревая нить. Вихревой линией называют такую. линию в потоке, в каждой точке которой направление вектора угловой скорости совпадает с направлением касательной к этой линии. Напомним, что вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращения. Следовательно, вихревая линия представляет собой мгновенную ось вращения частиц жидкости, которые располагаются на этой линии, В и х р е в о й т р у б к о й называют замкнутую поверхность, состоящую из вихревых линий, построенную на элементарном контуре (рис. 1-б,а).
Жидкость, заполняющая вихревую трубку, образует в и х р е в у ю н и т ь. Если вихревая трубка имеет сечение конечных размеров, то частицы, заполняющие ее и находящиеся во вращательном движении, образуют в и х р е в о й ш н у р. Рассмотрим вихревую нить (рис. 1-б,б). Проведем сечение, нормальное к оси нити. Интенсивность или напряжение вихревой нити характеризуется удвоенным произведе- ьУ= 2ю„с~Е, ю„= — ю сон р.
Рнс. 1-7. К определению пнркулнднн скорости по замкну. тону контуру, охватываюпсепу профиль. сЛ'= ьУ=-= 2а с1г". л Г =-2$е>„с7Р. Г = 2юЕ = сопз1. юге и макс 1ге — радиус вихря). 21 20 нием вектора угловой скорости вращения ю на площадь сечения нити Н'; сУ = 2вс7Р. В общей случае рассматриваемое сечение нити может быть проведено произвольно под некоторым углом к ее оси 1рис. 1-6,б); тогда интенсивность сУ определяется по фор- муле где юн — проекция вектора угловой скорости на направление оси вихревой нити: Таким образом, напряжение вихревой нити определяется как удвоенное произведение площади произвольного сечения нити на проекцию вектора ю на направление нормали к выбранному сечению. В теории вихревого движения доказывается, что циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему вихревую нить, равна интенсивности вихревой нити, т.
е. Для контура, охватывающего вихревой шнур конечного сечения, состоящий из бесчисленного множества вихревых нитей, циркуляция скорости определяется криволинейным интегралом Это выражение, полученное Стоксом, позволяет сформулировать одну из основных теорем вихревого движения: циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в жидкости, равна сумме интенсивностей вихрей, охватываемых контуром, если этот контур путем непрерывной деформации можно стянуть в точку, не выходя за пределы жидкости. Вели контур охватывает твердое тело (например, профиль лопатки), то непосредственно применить рассматриваемую теорему в этом случае нельзя, так как контур невозможно стянуть в точку, не выходя за пределы жидкости. Однако если замкнутый контур провести так, как это показано на рнс.
1-7 1контур ЛВСОА), то согласно уравнению Стокса получим: так как Г„= — Г и Г„~=.2фе1 НЕ+Г,.р. ! Формула Стокса приводит к заключени1о, что ядро прямолинейного вихря постоянного сечения вращается, как твердое тело, с постоянной угловой скоростью. Деиствительно, на основании указанной теоремы для прямолинейного бесконечно длинного вихря можно записать, что циркуляция по контуру, охватывающему вихрь, При Р=сопз1 в произвольной точке ядра вихря ю=сопз1.
Линейная скорость в ядре будет: с„= пт, где г — радиус рассматриваемой точки. Следовательно, распределение скоростей в поле вихря будет линейным. На внешней поверхности ядра скорость имеет максимальное значение: В гидромеханике доказывается также теорема о неизменности циркуляции во времени в идеальной невязкой жидкости (теорема Томсона). Согласно теореме Томсона для идеальной жидкости вне вихря цирк)тляция сохраняет постоянное значение по любому контуру, охватывающему вихрь.
Циркуляционное течение около бесконечно длинного прямолинейного вихря (вне его) имеет гиперболическое поле скоростей (рис. 1»8), так как Г = 2яшг' = 2кс я ние такой кромки идеальной жидкостью должно привести к тангенциальному разрыву скоростей за профилем (рис. 1-9). В реальной вязкой жидкости наличие такого разрыва приводит к тому, что при сходе с задней кромки поток завихривается (рис. 1-9, б). Таким образом, возникновение вихрей, а следовательно, и циркуляции вокруг профиля объясняется влиянием вязко- л »ткс а 1' с г я г 2иг Легко видеть, что в соответствии с теоремой Томсона в идеальной жидкости вращательное вихревое движение частиц возникнуть или исчезнуть не может.
Это и физи- Рис. 1-З Поле скоростей в ятре вихря и во внешнем потоке чески понятно, так как в такой жидкости отсутствует механизм передачи вращательного движения и торможения. Наблюдая течения реальной вязкой жидкости, можно указать большое число примеров возникновения и затухания вихрей.
При этом условие постоянства циркуляции, которое является важнейшим свойством движения идеальной жидкости, не сохраняется. Различия в свойствах идеальной и реальной жидкостей можно проследить при рассмотрении спектра несимметричного обтекания тела. Если задняя кромка тела выполнена острой (тело крылового профиля), то безотрывное обтека- 22 Рис. 1-9 Обрааовавие вихрей прв сходе потока с крыловотп профиля. в сти. В начальный момент времени поток у крыла бесциркуляционный. В точке схода в силу свойства вязкости зарождается начальный вихрь (рис.
1-9, б), который создает циркуляцию. Опыт показывает, что при не очень большой несимметрии этот вихрь возникает у задней кромки. Соответствующее условие в потоке идеальной жидкости, согласно которому точка схода должна находиться на задней кромке, носит название постулата Жуковского — Чаплыгина: при безотрывном несимметричном обтекании идеальной жидкостью профиля вокруг него образуется такая циркуляция Г, которая обеспечивает сход потока с задней кромки. Это условие, сформулированное Н.
Е. Жуковским и С, А. Чаплыгиным, позволяет вычислять циркуляцию Г и вместе с тем подъемную силу крыла. 1-3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ Выделим в движущемся газе элементарный объем в форме параллелепипеда (рис. 1-10) и запишем условие неизменяемости массы во времени для этого элемента. Это условие будет выражать закон сохранения массы; оно может быть представлено в таком виде: (1-10) — 0 Л где Ак' — объем элемента; р — средняя плотность элемента.
Лифференцируем, имея в виду, что р и Ьу' — переменные величины: Раздели1м это уравнение на рЬ1а. Получим уравнени е неразрывности в виде: (1-10а) дк) дуда ваяй. ик дг Рве. 1-1О. К выводу урзввевий Эйлера. Здесь производная — выражает скорость дйц ИЗЛ1ЕНЕНИЯ да объема или, следовательно, скорость объемной деформ~ ! Ий1а ции жидкой частицы. Член — — представляет собой И' <И скорость относительной объемной деформации.
В частном случае несжимаемой жидкости, когда р= =сопз1, последнее уравнение принимает весьма простую форму: жидкости деформируется в процессе движения так, что объем ее сохраняется неизменным. Определим величину скорости относительной объемной деформации частицы, выразив ее через соответствующие проекции скорости и, о и ца. Подсчитаем линейную деформацию частицы в направлении оси х (рис, 1-10). Эта деформация будет происходить в связи с тем, что скорости граней АВС0 и А'В'С'0' неодинаковы. Если скорость левой грани равна и, то скоди рость правой будет и + †„а(х.
Предположим, что в пределах каждой из рассматриваемых граней параллелепипеда скорости постоянны. За элемент времени о(1 левая грань АВС0 переместится на расстояние цЖ вправо. За тот же отрезок времени грань А'В'С'0' переместится в том же направлении на расстояние (и+ + — 1(х) в(1. Следовательно, объем элемента изменится, ди дк так как скорости этих двух граней различны. Подсчитав абсолютное изменение объема частицы по направлению оси х, получим: ( Й и+',— '.(л) (у ( ~1 — и(у (г (1=~ (л (у (г~(. Рассуждая аналогично, для других двух пар граней можно получить приращения объема частицы по осям у и г в следующем виде: — ваха(урги(; ду д — а(хг(уаа ге(1. Полное изменение объема частицы определяется как сумма этих приращений, Следовательно, скорость относительной объемной деформации определяется весьма просто".
(1-11) 24 25 выражающую условие постоянства объема элемента: скорость объемной деФормации элемента равна нулю. Отсюда следует, что частица несжимаемой 1 дЫ ди дв даа —: — = — + — +— йп ду дк ду дг ' так как объем элемента й1а= а(хутуа(г. др др др др др — =и — +о — +ту — + — . й дх ду дг дт ' Подстави⠄— в уравнение (1-106) и преобразовав, будем ир иметь: — + — + — + — =О. др д(ри) д(ро) д(рм) д( дх ду дг (1-12) Если движение является установившимся, то — =О. др д( Для несжимаемой жидкости (р= сопя!) легко получить из уравнения (1-12): (1-1З) 26 Подставив (1-1!) в уравнение неразрывности (1-10а), получим: Заметим здесь, что входящие в уравнение (1-11) пряди до дм мые частные производные †, †, — имеют конкретный дх ' ду' дг механический смысл. Из предыдущих рассуждений очевидно, что зти производные определяют величины скоростей относительных линейных деформаций граней параллелепипеда.
Рассмотрим, например, линейную деформацию грани 0СС'тУ в направлении оси х. Так как скорость ребра С0 равна и, а ребра С 0' и + — с(х, то удлинение ди грани по х будет: ( ди 1 ди и+ — т(х) й — ий= — т(хй. дх ) дх ди Относительное удлинение составляет — й, а скорость дх ди относительного удлинения — . дх' Преобразуем теперь уравнение (1-10б). Так как р = = р(х,у,г,(), то полная производная плотности равна: др др дх др ду др дг др — = — — + — — + — — + —. Й дхй дуй дгй д(' Имея в виду, что — =и; — =о; — =.и, получим: с(х ду дг й'й'й Уравнение (1-12) является уравнением неразрывности газового потока в дифференциальной форме. Это уравнение было впервые получено Эйлером в 1б59 г.
Мы видим, что оно связывает изменения плотности с изменениями составляющих скорости и, в и тв. Имея в виду ди до дм механический смысл частных производных —, — и дх ' ду дг' выражаюп(их скорости относительной линейной деформации жидкой частицы в направ- Я ленин осей х, у и г, можно,' у"т г на основании уравнения неразрывности заключить, что деформация такой частицы подчиняется определенной законо- у мерности и не может быть произвольной. Для несжимаемой жидкости уравнение (1-13) показывает, что частица не- 4 сжимаемой жидкости в про- Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
