1 (1014108), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Зная, что квадрат критической скорости может быть выражен через энтальпию торможения: ь — !. а. =2 — 1, ° а ! ! а Таким образом, квадраты безразмерной скорости Х, а также 1 пропорциональны отношению кинетической энергии потока к его полной энергии 1,, 11ри течениях газа без энергетического обмена с окружающей средой полная энергия потока (, является в каждой точке величиной постоянной. Соответственно постоянными являются и скорости а„, а, и с„,„,, зависящие только от 1, (при й=сопз!). В этом случае А и 1 дают нам скорость течения, отнесенную к различным, но постоянным для всего потока масштабам.
В энергетически. неизолированном течении, когда имеет место теплообмен с окружающей средой фЯфО) или обмен механической работой (а(Г.г~О), полная энергия меняется от точки к точке. В соответствии с изменениями 1, меняются скорости а„ а, и с„„,. Следует подчеркнуть, что формулы (2-23),(2-24) и др., связывающие параметры торможения с параметрами потока (табл. 2-1), справедливы и для течений с энергетическим обменом, но, однако, в этом случае связь между параметрами торможения, статическими параметрами и безразмерными скоростями является локальной, т. е. относится только к данной точке или данному сечению трубки тока, причем под р, и р, понимаются параметры изоэнтропического торможения в данной точке.
Эти уравнения не могут быть применены к двум различным сечениям трубки, так как на участке между сечениями меняется полива энергия потока. Следовательно, формулы для статических параметров, указанные в табл. 2-1, и формулы (2-25) и (2-26) для таких течений неприменимы. Отметим, что безразмерная скорость М является одним из основных критериев в теории подобия при рассмотрении процессов движения с большими скоростями', так как коэффициент сопротивления в основном зависит от относ шения а ' 'См гл. 5 спс — ~!в ( — „+ ') =О; отсюда (с — а ) — =п —. , а!с а Р с р (2-27) (2-29) б! а) Л=О; б) Л=)/,'+',=Л,„ а!Р в) — = О. а!х (2-ЗО) 54 2-4.
ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ ВДОЛЬ ТРУБКИ ТОКА. ПРИВЕДЕННЫЙ РАСХОД ГАЗА Подвергнем более подробному исследованию характер изменения скорости вдоль трубки тока. Для этой цели воспользуемся уравнениями одномерного течения: сс(с+ — = 0; ср Р Простые преобразования позволяют получить: Разделив обе части уравнения на аЧх и выразив логарифмическую производную скорости, получим: ауР ! ~с Р ох (2-28) с ох М' — ! Выразив с помощью (2-21) М' через Л', получим: й — ! ! оЛ и-(-! 1 с~Р Л «Рх Ла — ! Р ГСх. Уравнения (2-28) и (2-29) являются дифференциальными уравнениями распределения скоростей вдоль оси трубки тока. Они могут быть проинтегрированы, если известен вяд функции г" (х). Вместе с тем эти уравнения весьма удобны для качественного анализа изменения скорости потока в трубках тока различной формы.
Из уравнения (2-29) следует, что — =0 при аух Случай,а" отвечает неподвижному газу и поэтому интереса не представляет. Случай „б соответствует максимальной скорости течения и вполне очевиден: при Л= дальнейшее возрастание скорости невозможно. макс ауЛ Наконец, случай „в" приводит к — =0 только при 2+1. Легко видеть, что при этом в рассматриваемой точке х=х, функция Р(х) имеет максимум, минимум или точку перегиба. Следовательно, в таких сечениях трубки тока скорости также имеют экстремальные значения. По уравнению (2-29) можно заключить, что производ- ИЛ сЮ ная скорости — =со при 2=1 и — „-60.
Однако такое с!х ох решение, означающее наличие разрыва скорости, физически невозможно (мы рассматриваем непрерывно изменяющееся движение газа). Рассмотрим качественную картину течения газа в трубке тока, имеющей в х=х, максимум или минимум сечения (Рис.
2-2). Пусть функция Р(х) имеет в этой точке ма- Рис. 2-2. Иамеиекие скорости вдаль трубки тока, а а) (2-35) 59 Полученные выше основные закономерности, определяющие изменения параметров течения в трубке тока, физически могут быть понятны из рассмотрения уравнения постоянства расхода в трубке тока [формула (2-7)].
С помощью уравнения ! (табл. 2-1) определим удельный расход газа: т= — =рс=р,а Х ~1 — — Х') . (2-34) Секундный массовый расход т для каждого сечения трубки тока будет одним и тем же. Интенсивность изменения плотности р и скорости с будет различной в дозвуковой и сверхзвуковой областях. В дозвуковой области с ростом с плотность р падает медленее, чем растет скорость, поэтому трубка тока должна суживаться, сечение Р— уменьшаться. При сверхзвуковых скоростях, наоборот, падение плотности будет более интенсивным, чем возрастание скорости, и трубка тока будет расширяться.
Как видно из формулы (2-34), функция тЯ)=О при Х=О на= агу — и, следовательно, при некотором Х ч /к'-)-! имеет экстремальное значение. Для определения этого знаиеиия 2 продифференцируем (2-34): г а-! пт Й(рс) (1 и 1 аак) (1 аа) — ". — — "' — ° ~-+ Отсюда следует, что максимальное значение удельного расхода соответствует 2=1, т. е. критическому значению и'т скорости, так как — обращается в нуль при а=1. Следовательно, г 2 т„„,=р,а„~ + ) =р„а„. Приведенным расходом назовем отношение 1 1 т Рс (а+1) ч ~1 и — ! аа) (2 3б) макс На рис. 2-3 представлены зависимости параметров течения —; —; — и приведенного расхода с7 от безраз- Р Р, Т Ра Ра мерной скорости (для различных Й).
Здесь приведена соответствующая схема изменений сечений трубки тона, вдоль оси которой скорость непрерывно возрастает. Нетрудно видеть, что при максимальной СКОРОСТИ Х =Х„,т = 1, †, ПРИВЕДЕННЫЙ РаСХОД с7 = . /'а+ ! Р, = †„* = О, т. е. Р = со. Физически это понятно, так как при 2= Х„,т р= 0 (истечение в абсолютную пустоту) и р=О.
Рнс 2-3 Гааодинамические функции одномерного и оантропического потока 4, р)ра, Т!Та, р,'р, 1 (к = 1,1,' 1,3. 1,4). Таким образом, мы установили, что в трубке тока, имеющей минимальное сечение, может происходить переход через критическую скорость. Необходимыми и достаточными условиями для такого перехода являются условия 1=1 и Ю,!р(х ~ О в минимальном сечении. Приведенный расход газа прн этом приобретает максимальное значение. Если скорость в минимальном сечении достигает кри! р!х тического значения, а второе условие ( — ~О) не выпол(,ррх няется, то перехода через, критическую скорость не произойдет. Этот случай соответствует появлению критических скоростей в трубке тока и является важным как в теории сопла Лаваля, так и в задачах внешнего обтекания тел.
2-З. НЕКОТОРЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОМрЕРНОГО АДИАБАТИЧЕСКОГО ПОТОКА Выше Я 2-3 и 2-4) мы познакомились с некоторыми важными безразмерными характеристиками одномерного потока газа, которые выражаются в виде простых функций безразмерных скоростей М, 1 илн Е Эти газодинамические функции играют важную роль при выполнении различных газодинамических расчетов, а также при обработке результатов эксперимента. Кроме уже известных, нетрудно получить и другие газодинамические функции, встречающиеся в преобразованиях уравнений сохранения расхода, количества движения и энергии.
С помощью приведенного расхода р7 легко определяется полный весовой расход газа через заданное сечение." 6 = КРрс = йРр7а,р„, (2-37) или после подстановки ! ! и преобразований находим: а=КР (2-38) ут, где Расход можно выразить и через статическое давление потока в данном сечении. С этой целью разделим и умножим правую часть формулы (2-38) на Тл (2-39) где ! — ! а= Р'" =( ~+ Х (1 — — ХР) (2-4О) — новая функция безразмерной скорости Х, зависящая также только от й и Х. Уравнения расхода в форме (2-38) и (2-39) могут быть использованы для расчета адиабатического потока в изолированной системе (без энергетического обмена с внешней средой) при наличии трения. Действительно, условие постоянства расхода (2-38) для двух произвольно выбранных сечений канала можно записать в такой форме: Рр ряд Т Рррчр рТг р у Так как для изолированной системы Т„= Т„= Т„то (2-41) Рер Рр Чр для каналов постоянного сечения Ррр Рр1 Чр (2-41а) откуда Р, Р, р, Р! РрР (2-42) или для цилиндрического канала Формулы (2-41) и (2-41а) позволяют найти изменение давления торможения, обусловленное необратимыми изменениями состояния движущегося газа и, в частности, потерями, вызванными внутренними силами трения, Аналогично с помощью (2-39) можно получить (Т„= =Т„=Т,); Р,Р,а! = РрР,Р„ Рр Р, р! (2-42 а) б! (2-43) Учитывая, что 'Р= —, 0 Крс перепишем (2-43а) в виде; '= — ',(+ ) (2-43а) Из (2-17) и (2-22) имеем: / й — ~ а~ й+~ зу й — 1 — =Ят=Я7 ~1 — — -2~~= —.,(1 — =2) а~ й(1 ) — 2й,~ й4 1 ) и с=Хан; тогда уравнение (2-43) можно записать в виде: з = — с+ рР = — „— авф, (2-44) Л 2й я а где ф=й+ — „ (2-45) — некоторая новая функция безразмерной скорости 2.
Уравнение для импульса газового потока (2-44) было впервые получено Б. М. Киселевым. Оно широко используется в различных задачах и, в частности, для расчета энергетически неизолированных потоков (расчет течений с подводом или отводом тепла при наличии сил трения, расчет внезапного расширения канала, процесса смешения и др.). Исходное уравнение импульса (2-43а) у= и а.(2-~ — ") нетрудно преобразовать к другому виду„используя новую важную функцию безразмерного статического давления р р р 1 (2-4б) ров рс' роз А 62 Соотношения (2-42) можно использовать для определения статического давления в одном из сечений потока, если известны скорости в двух сечениях (Я, и 2,) и статическое давление в одном из них.
Введем еще одну функцию, которая характеризует импульс потока, равный у= — с+рР. я Заменив здесь р =АКТ и а'. по формуле (2-17) полу- Р чим'. й+1 1 /1 й ~ йа) (2-4ба) 2й Л ~ й+1 Следовательно, импульс потока выражается через функцию и по формуле У= П а (2+и), (2-47) Я а связь между ф и и устанавливается соотношением 2.
(2-48) Воспользуемся теперь формулами (2-38) и (2-39) и заменим величину расхода ьг в уравнениях (2-44) и (2-47). После несложных преобразований находим: (2-49) У=йаУРагУР+п)=Р РР,гуф и л = йе,гро (л+ и) = р аграф. (2-50) 2 ьа-1 Здесь а,=( — ~ — критическое отношение давле* (а+ 1~ ний; — —,критическое отношение плот° 'ьй+ 1/ ностей.
С помощью формул (2-40) и (2-50) легко устанавливается связь между газодинамическими функциями д, о, ф и м. В некоторых расчетах удобно ввести также функции 1 т=р дф=й.д(2-)-.)=(2'-(-1)'1 — „'— ,'2)" ' (2-51) г Функция я впервые была предложена А Ф Гандельсманом н использована в работах А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
