1 (1014108), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(1-26) Интеграл (1-26) яв.пяется уравнением энерг дг струйки, т. е. выражает баланс энергии жидля с гни к о й ч а с т и ц ы: сумма кинетической и потенциальной энергии, т. е. полная энергия частицы является величиной постоянной. Следует вспомнить, что функция (7 выражает потенциальную энергию массовых сил, а Р— потенциальную энергию сил давления. Первый член (1-26) дает велч ину кинетической энергии жидкой частицы. Все указанные составляющие полной энергии отнесены к секундной массе протекающей жидкости. Н есмотря на то, что интеграл (1-26) имеет одинаковую форму для всех рассмотренных случаев, смысл его и область применения различны в зависимости от условий, для которых интеграл был получен. Для безвихревого установившегося движения жидкости (случай „а") интеграл (1-26) справедлив для всех точек потока.
При выполнении условий „б или „в" полная энергия частицы сохраняется постоянной только вдоль линии тока зб или соответственно вдоль вихревой линии. Г1ри переходе от одной линии тока к другой или от одной вихревой линии к соседней величина постоянной в правой части (1-26) может меняться. Условие „г" пропорциональности линейных и угловых скоростей (1-25) приводит к интегралу (1-26), т.
е. к постоянству полной энергии жидкой частицы, справедливому для всех точек потока. Следовательно, в рассматриваемом частном случае вихревого движения полная энергия сохраняется неизменной для всех вихревых линий. Особенность этого вида движения состоит в том, что каждая частица вращается вокруг оси, вдоль которой она движется. Действительно, условие (1-25) означает, что направления векторов линейной и угловой скоростей совпадают, так как пропорциональность этих векторов указывает на то, что эти векторы ориентированы под одинаковыми углами к осям координат. В рассматриваемом движении линии тока и вихревые линии совпадают. Заметим, что во всех изучаемых случаях при адиабатическом течении в точках, связанных между собой интегралом (1-26), энтропия остается постоянной. Интеграл (1-26) можно преобразовать для практически важного случая, когда из массовых сил действует только сила тяжести; при этом х=у=б; (ось г направлена вертикально вверх).
Следовательно, аи Ыг — = д и (/= иг. После подстановки [этих величин уравнение (1-26) приобретает вид: —;+а~+" Р=с и 1. (1-27) .,"Р Для несжимаемой жидкости (Р=сопз1) находим: — + г + — = сопз1. с', р 2я (1-28) Последнее уравнение получено Д. Бернулли. Величина г я этом уравнении характеризует потенциальнук1 энвргию положения, обусловленную движением в однородном поле земного тяготения жидкой частицы, и называется нивелирной высотой. Величина — представляет собой потенциаль- Р т с' ную энергию давления (пьезометрическая высота), а —— 2д кинетическую энергию; все члены уравнения (1-26) отнесены к секундному весу протекающей жидкости.
ГЛАВА ВТОРАЯ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА Значительное число технических задач газовой динамики можно решать, предполагая движение одномерным, т. е. таким, в котором все параметры течения меняются только в одном направлении. Этим условиям отвечает течение газа вдоль слабо искривленных линий тока или в трубках тока. Одномерным можно считать течение газа в трубе с мало изменяющимся поперечным сечением и малой кривизной оси. В ряде случаев результаты исследования одномерного течения могут быть применены и к потокам с неравномерным распределением параметров по сечению.
2-!. ОСНОВНЪ|Е УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ. СКОРОСТЬ ЗВУКА Для получения основных уравнений одномерного движения рассмотрим течение газа в трубке тока. Направление оси выберем так, чтобы оно совпадало с осью трубки (рис. 2-1). Воспользуемся первым уравнением системы (1-16). Пренебрегая для газа влиянием массовых сил, полагаем Х = У = Х = О. Имея в виду, что для рассматриваемого одномерного течения и =с, и= !э=О и перейдя в уравнении (1-16) к полным производным, получим: оно преобразуется к виду: с+ с =сонэ|. 2 (2-4) Здесь энтальпия газа с и тсплоемкость газа при постоянном давл авлеиии с отнесены к единице массы и измеряются в механических единицах'. Уравнение изменения количества движения (уравнение импульсов) (2-1) справедливо только для таких' течений, в которых отсутствуют силы трения, т.
е. для обратимых течений. Легко показать, что в этом случае если скоте* ма адиабатична, изменение параметров состояния совершенного газа подчиняется изоэнтропическому закону: р =сонэ!. (2-2) а Следует заметить, что формулируя обста|човку процесса течения, считая, что поток непрерывен, энергетически изоован и т ение отсутствует, мы тем самым определили его изоэнтропичиость, так как в таком потоке о у у тс тств ют необратимые преобразования механической энергии в тепло н, следовательно, энтропия потока не меняется.
Поэтому мы можем непосредственно проинтегрировать уравнение (2-1), предполагая очевидной связь (2-2). Действительно, проинтегрировав уравнение (2-1) и имея в виду (2-2), получим: ~дс+ +сонь|к ~ р !1р ,) р — + ~- = сопз|. (2-3) 2 й — 1 р Это уравнение, известное под названием у р а в н е н и я Б ля сжимаемой жидкости, выражает Бернулли для закон сохранен пения энергии для аднабатического течения. После простой подстановки — — = — йьТ=с Т=1 й — 1 р й †! с — + — — =О, ис 1 ир с)х р и'х или сс(с+ — = О. с)р (2-1) 39 ' В ческой термодинамике внутреннюю э ! р |е гию, энгальпию техни н~ ах.
Н н этом и теплоемкосги п ння и принято выражать в тепловых един ! . р 1(ккал(кГ) = — с (к*,сек ) и г. д., = — ' ( а1 ') г. д., где А в тепловой эквивалент и механической работы. (2-5) или (2-5а) и = рс г' == сопз(, Рис 20 Трубка тока (2-7) =. О. пх 40 Уравнению энергии (2-4) можно дать простое газокинс- 2 тическое толкование. Член — — в этом уравнении выражает 2 энергию направленного движения частиц, а энтальпия «, пропорциональная температуре, определяет энергию движения молекул.
Следовательно, уравнение (2-4) выражает факт взаимного превращения энергии направленного движения частиц и тепловой энергии. Таким с.бразом, мы установили, что при изоэнтропическом течении газа интеграл уравнения изменения количества движения совпадает с уравнением энергии'. Следует отметить, что уравнения (2-3) и (2-4) можно непосредственно получить и из интеграла (1-2б), записанного для сжимаемой жидкости (газа), Пренебрегая влиянием массовых сил, т.
е. полагая (1=0, из (1-2б) легко получаем уравнение (2-3), принимая связь между р и р по формуле (2-2)', Уравнение неразрывности для одномерного установившегося потока можно получить, рассматривая движение газа в трубке тока переменного сечения (рис. 2-1). Предполагая, что по сечению струйки параметры течения не меняются,' рассмотрим часть потока, заключенную между сечениями 1-1 и 2-2.
По определению трубка тока представляет собой замкнутую поверхность, образованную ли- ' Уравнение энергии легко может быть получено нз первого начзла термодинамики, заппсанного для потова жидкости. ° с', «(«2 =- «(«+ с« — + Н., 2и1 г' где «(«З — удельное нолнчество тепла, сообщаемое газу (илн отводимое от гааз] в элементарном процессе; с««'.т — удельная работа, совершаемая газом. для вне ргетичесни изолированного течения («(«4 =- «(1.
= О) после шжегрирования получаем (2-4). * Уравнение (2-4) справедливо и для адиабатических течений (прн наличии трения), сопровождающихся возрастанием энтропии. В этом случае баланс энергии частицы должен быть дополнен двумя членами: одним, учитывающим работу сил сопротивления, и другим, выражаю щнм приращение теплоты в газовом потоке Эти два члена одинановы по величине, но име«от различные знаки и поэтому взаимно уничто- жшотся Это означает, что в такой изолированной системе работа сил трения не меняет полной энергии часгицы; меняется только соотно- шение между энергией направленного движения и тепловой энергией.
Течение газа является необрат««мь«2« часть механической энергия необратичо преврзщаетсн в тепло. пнями тока. Через се боковую поверхность частицы газа не проникают, так как векторы скорости касательны к этой поверхности, За 1 сея через сечение 1-1 внутрь рассматри. ваемой части трубки втекает масса газа, равная р,с,г'2; вытекающая через сечение 2-2 масса газа равна р,с,)г,, По условию неразрывности течения эти количества должны быть одинаковыми, т.
е. Р«с«Г« == Рзсзг"„ где и — секундная масса газа. Уравнение неразрывности можно получить в дифференциальной форме. После логарифмирования и дифференциро. ванна под знаком логарифма формула (2-5а) принимает внд. — -~ — — 0 (2-б) с Р' Заметим, что для струйки постоянного сечения уравнение неразрывности (2-5) дает; т рс = — =сонь!. Р Произведение рс = — определяет у д ел ь н ы й р а сход массы с ы г а з а в д а н н о м сечении (расход массы через единицу площади сечения). Выражение (2-7) для удельного расхода можно было также получить непосредственно из дифференциального уравнения неразрывности (1-12) для пространственного потока, полагая и =-с и и =- и« = О.
Тогда, полагая движение установившимся и перейдя к полным производным, получим; Отсюда, интегрируя, получаем (2-7). Очевидно, что по смыслу вывода уравнение неразрывности (1-12) ) при перее к одномерному потоку может дать только условие рс = сопзт. Для одномерного течения несжимаемой жидкости (р= вид: =сопз1) уравнение неразрывности (2-5) принимает та й кой (2-8) или с1' = сопз1. Формула (2-8) выражает условие постоянства секундного объемного расхода жидкости, протекающей через сечения тру ки , и г",.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
