Я.М. Котляр, Р.Я. Глаголева, Е.В. Иванова и др. Методические указания к практическим занятиям по ММФ (1014095), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Задача Лирихле раз.,ешима при любой )(~ С(Г) из условия (5.1) и любой кусочно-гладкой границе Г. Задача Неймана разрешима при любой функции / е б( ") из условия (5.З), удовлетворяющей необходимому условию ) ~д5=б/ и прн дважды кусочно-гладкой границе Г. Относительно границы / существуют другие бОЛЕЕ тоииие доотаточиые усЛовИя Разрешимости задачи Кеймана. Редукция неоднородной краевой задачи для уравнения Пуассона: решение краевой задачи для уравнения Пуассона с ненулевым краевьм условием представляют в виде суммы и = тл+ ъ/ решений двух задач: ?. ъ" — решение исходной краевой задачи для уравнения Лапласа л ъ" = //, П. а' - решение краевой задачи для данного уравнения Пуассона с ненулевым краевым условием: /)т//' =Г т//1/,=б.
Первая задача в случае простых областей (круг, кольцо, прямоугольник или пзреллелепипед, щар, цилиндр и др.) может быль решена методом 4урье, вторая задача - методом представления решения в виде ряда по собственным функциям соответствующей зедачи ШтурмаЛиувилля при данном краевом условии. Рассмотрим ряд типовых задач Решение к веной з ачи 1-го типа ля к а и коль Зя~аЧВ 1. Я/./ =0 В 3; ~'+ У'~1ж /- ., г+„~г г Эта задача в полярных координатах примет вид ю + ~/,/ + — м =О в Л:/"<а, 1 )-г Р9' (5.4 ) представляя решение и(/, 1/1 ) в виде произведения ///(/) = Ф(у~ и разделяя переменные, получаем; /О" +Я% -О, (5.5) /""0" + /" Ю/ + ЯГ = б (5.
6) ТЗК Кан Я(Ф; Ч 4. ЯХ) и(/; /~')Ь'1// 6. ~ О, ЯХ1 и 1'/" Я, то </"(/р) должна удовлетВОрять условию периодичности: %(/(+ЯХ3 = 1О( 1//) ~'1/". Этому условию могут у, овлетворять лишь ,,зенения (5.5) прн Л:= й.: Ч;, (//) = Я Со~Ю 1.В,, ~//г /////'' пни /~ . 1, 2~ °, Я ', Щ~: — //,, при /~ = О. у1)авнен!м (5.
5) ;.С. Ь У. ЗННЕ1111о 'ЙЛ' „3 ° ЬРО ЛКН:"РНО НЕЗЯВИСИМЫМИ РЕШЕНИЯМИ ПР11 // /- с 11Ь/1'~''ГСЧ /' и /' 3 П1 Н,~~ =- '/1 = //: /// У' т,,Я/ р КОТО. 1О". '."1'Я'1 1ЧОК!1Ы11 Д, И /' -. / Я11ЛЯЕТСЯ,~ ( /'1 /', //- — // / // ;, Я, ~*.Л,'1 .! З' ' ' ' '„С .'Е В/1М',' 1' 1'~"'.*: ' О1ДЗ а(~",Ч) = Ф + Х ~" ('Ф ехю~ + В, ~ и~ 4), (5.7) ы козффициенты которого найдутся из краевого условия (5.4 ) ~- Х и'(Ф мхи~+8 ы~жж~) для внешней задачи Аирихле М + — ~ + — ~, =С ар,:+)д, ! ~г ) ~ ~ а ~Я~ из решений уравнения Эйлера (Ь.б) ограниченным при остается Я (~) - т ( -ю= О, 1,...), рещение и(~", Ч) имеет П ~Я. -Ф вид (5.7), где вместо т ~ следует писать Лля задачи Аирихле в кольце + ~ + а~щ ./ ~г рр д.
~ —,=ь. ° ~., -ь остаются ограниченными все линейно независимые решения ~ ~, ~ ~, С ~п Ф" + сз . Решение тогда мошно представить в виде ряда юЭ ~Уф ~) Ф я(»- ~3) = ~ ~фу,.т' ) Е + Я ( ф т' + — )соуп(~+~В ~" + — )У~Ф~МФ~, козффициенты,которого находятся из условия (Ь.8). рещение аевой з ачи П-го типа ля а кольце, зм1чв 2. и~,„~- — и,„+ — ~и,~р = ~г(Ф",~) Б 3: Ф" <и =а =~ (или в Я,: ~" ж). рещение м ( ~, ~Р ) ищут в виде тригонометрического ряда с козффи- циентами, зависящими от М" а( ~ ~р) = ~ (~') + Х Ф (+") сох и ~ + 8 (~) М~ ~ у ~=с Ю Правую часть Г( ~", Ч ) разлагают в тригонометрический ряд Фурье по ф с Т = ~й , считая ~ параметром: ~~~; у) = с„('~ ) + Я с,„~-~.)ам и~Р +3 (~") Мю а.(Ч) .
Подстав.;яя ряды для и ( ~', Ч) и Г( ~, М) в уравнение Пуассона и в соответствующие нулевые краевые условия, приходим к системе 1 Р" ~~) ~ -(д'~, — -' — ''4,~~.) = ~,~~") ("~ - ~,~, "), Р" ~,,; + .' Р, ' ~г) — ." ' Р, ~~") ==- 3 ~~~ ~ и = ~ Р, Уу и в случае внутренней (внешней) задачи Лирихле - к условиям: з( =у ) в(.)) ) О(»')) при 2 Р (у,) =О ) у') ~О)! «! г (~")~ «при В»,(а) =О ! В (О)) < ) В (») ~ «при а в случае кольца - к условиям: ~~(~;) = ~)~ (».) = О у В„(»,*~ = В... (»' ) - О, Аналогично решается задача Неймана.
Следует лишь помнить, что необходимым условием существования решения задачи Неймана, наклал»вао»оио иа оа»иова 2 М2 в ноавво» условии (Н.Э2 У»~ -Д»2, является равенство ~ ~(у) ФЮ - О . о В случае части круга или кольца, заключенной между радиусами ~Р = Я и Ч= Ц~ 1рис. 5.1), условия периодичности йр(92) с периодом Ю не выполняются . Тогда при нулевых краевых условиях на М/К и РЦ в за- М даче для уравнения Лапласа находят ненулевые М решения Я» (~р~ уравнения (б.б), удовлетворяющие соответствующим нулевым краевым условиям при 2) = ~~, и ~Р = ~, , и далее посту- О . Я Р пают так же, как в задаче 1.
Если краевые Рис. 5.1 условия на МА( и Ру( ненулевые, то предварительно осуществляют редукцию краевой задачи к задаче с нулевыми краевыми условиями на этих частях границы, но уже, вообще говоря, для уравнения Пуассона. Тогда далее решение следует искать в виде сумки решений задач Х-го и П-го типа.
Решение аевых з ач ля авнения Лапласа или П ассона Пусть 3 ~(х,у)! О« "с«и, О ' 4/ '12~ — прямоугольник в плоскости ОХ~ . Рассмотрим задачу Лирихле для уравнения Лапласа. змаов 3. найти»~»,22ал <у2лл~у2, уловлвтворовауо в 3 уравнению т'~~ + ~ту = О и на границе Я вЂ” краевому условию; ° (~И, 1 =,=Р,М, О ~. 6 и1„„~ = )), (х), м,) „~.
~,), (~), О «ж < у Решение ы ищем в виде суммы ъ'+ и" решений задач: п~„о Ту~ . =О„О- )/«(у, т'~ = ), ~:), т~ =-1„(.), О<~.а, + 'й7 = В в )), ~„, =р,М, ъ'/, =)к„(у,), В..,Г. Ь, (5.12) т""~у=о = ~у (, =- б „В - -.с: а, каждую из которых решаем методом 4урье. А именно представим решение задачи (5.11) в виде т (х, у) = Х(;с) К(у) .
Подставляя в уравнение нулевое краевое условие и разделяя в уравнении переменные, получим Х" — — = В Х)'б~ -Х(а) = б . У ХФ Полагая — = — Я , приходим к системе Х и У вЂ” ЛУ =О, (5.11а) Х" +ля = б, (5.11б) ХГО) =ХДНФ) - Ю. (5.11в) Ненулевое решение ХГм) уравнения (5.11б), удовлетворяющее нулевым краевым условиям (5.11в), сушествует лишь при Я = Л - ™, и имеет вид Х (д:) - У~п — .
Ху 7й д,2 й Я решая уравнение (5.11а) при,Х =Я,, получим У' ( )Г) = ~ г "' + В„Е '" Представляя решение задачи (5.11) в виде ряда Х~ю Я ау 'ФГк', д) = ~~, '~ ~) 8 + Вр„8 ) 1иг —, подбираем коэффициенты Ф„, В так, чтобы удовлетворялись краевые условия при ~ = О и у = 6: Х <)()„,е + В„е,)М ~,' -~„)'4. ~ Отсюда следует, что Ь~ = 1, 2,... ~'„и В, определяются из системы Хи~ Х.в4 ю 4 Г + В б = — ~ )) (я-) в'и — Ых. Г .
Хпд' М ь ~ ~ Я Аналогично, решая задачу (5.12), получим ряд й 3юх Хат 4,, а ) „. ')пу ')ъР з у) — ' (~ Е ~ /l в ) 5зм l~ Приложение Щ'-~7~Ц~~ БЯСС~~ДЯ Я ~Щ~Д',"Д~~~Я !ф СБОЯС~БА Лифференциальное уравнение я~у" + му' + ( хв — ~в) )~ = б называется уоавнРнивм БРаРеаФ у~~~ п~~~зт~~юг~ т ( з ) функциями Бесселя порядка ~ или цилиндрическими функциями. Представление У, (с) в виде ряда: ~ к1М+1 ~,р У"'Я Н) (' ( ~+1 +~) где П ь) - гамма-функция. Асимптотическое представление У (х) при:с У ~~т~-~- штах- — 1 — «~+д(, ) Х Я' ГРафики У (-'О), У (Ф) показаны на рис.
П.1. Рис, П.1 При целом 1 = и У ( х) = (- /) У (х)„ Формулы п,иэ-:дения и йх следствия: Ж ( х'"! — — Следствие У (-.с) = -У, (~3. х Ф (ж "У (~)) - ~ "У„~ (;с), Следствие хУ(х~ =~ ~'У (~)~~. Ы~' Х (.ц+У (о) = У (х). Следствие У(х) - — У (х) -У (х) о Ф~~ И х г х Ортогональность системы функций Бесселя с весом б(ж) = ~ м'У ~ — х~У ~ ~ — х;)~М =б, где (,8 — различные положительны; нули У,, (х) или различные корни уравнения Лини хУ (ж') + дУ„(;с) б, Ы б, ~ хУ„~ ф~~йж = = „— ~ У (~) - ~ ~ + — „) 1' ( () ~ .
Если .~ — нуль ~„~~~ 1! ~ ~у.С)~ = у Х~ ~'Х3. ~2 уЛ Если ~ - нуль У~~лс) 6~ У ~ — ~)~1 = ~ ('1- —,)У М. Если 6- корень уравнения Дини, то )~~2 ~~~ У -~ ~ л Тес ема авложимости. Бсякая двакды диф$еренЦируемая ф)~нкЦия /~ж), ограниченная в окрестности Х = 0 и обращающаяся в нуль при ж = 1, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье-Бесселя (или Дини-Бесселя): ~~ж) = .Я у х ~Р+х~, Р см'<'~, )) > — ~, ,в — положительные нуль У„ ~;с) ~или, соответственно, корень уравнения Дини). ния Н-~~ -'" '~хх)" ~ "~"" ~ ~~Ю-"4-Р-' хх Н Х х ~ ~=а " ~ Ф-й 1О .~ ~~~ +щ -Ух ~ му~ ~ х т ~/ ~/~-ьа=// ' у~у-~ =о 13„м +Я~/~Ас) Я „~ 4~ И+.х) м +Ри =й, ~х-о "-/ ° ~х!х.ю ~ У ~ ~ л2 г. 14.
~й' х~хх + ~/~д+'ьхх+ ™Ух~ ~~~-р=-ш ~У 2х; ~~~~~~- / 'Г, $/, ф е 4'~ 15.х~4Ф -4/ ю 3~/Яу =П; и~ . ~/р Я ~ =~/ ~/(р, Решить задачу Гурса: 16. хвя - у'~ы. "И ю! ./ ю! "с 'с х'~С Кф ' 1М / ' /~/*Х > 17. Я„~+ ~Я„,,„+ ~-м Р, ©~ //; ж/ лз ~ я, у/ е .// ~ х' ~ ~/ — — с у с Ю ~ . ~ ~,я е З - ~~л, у/ ~ Х.»д, у~Ех.
г~ . 19..х: ю — у 4Ф т д' а — ~/ ш ~? гс~ ~у ~+ /~~, 5' х Решить задачу Коши для параболического уравнения: 20. я Г( и. + и ~+Йсрдх, ы~~, й7г~/; (х;у/ бЮз, 21. м~--'и +е-'мя с; а~ -аю~х, х~Ю'. 22. м~ - 1 й~„„+ и,,) ~1, м~~., -.йн Гх, ~ л, у~ е Рл 2б. м -8и + '~ ж„м! = ь'хж"~+1, хек~. хх л ~ ~фр 3. йЬтодом Фурье или представлением решения в виде ряда шить линейную начально-краевую задачу для уравнения гиперболи- кого или параболического типов или краевую задачу для уравнеЛапласа или Пуассона. Решить начально-краевую задачу для гиперболического уравнения: 1.
и -я -//м~Е ~х~~еЗ-~~х13~0 ~~ /, ~ б~; Ю~~.о - х~-;с, П, ~~„р -/~. 2. я ~ Р/х + я +Яд, + Ьс ~/-4~~ + а~я5~ . (х ~~ ~ Я = ~ / ~. /)! //~ х ~ ~ ~.~// ~; .Я, ~; Я~ 7 г ! ~/ и ! х '!~=~ ' /1~=0 й: = —.' ~'ги/ + ~"-/ е З ~ ~/",®1~~„~/, дмК ' ~Х, /; д~ Ы -ы„„+и„+яжм~ 8 3-~(х;у,1)~Х~+у~<а~, 1, д~ я =д.вЯ в я 1~4" ~ (:)~ д( 'Р"<Я д» (~~< —. ~~д ( + и «-~~у 8 3 ~(~ у,~)~ д(Х<У~ д< у~Х~ ~ )д ~ 7, ~ ~,~, в (( ..у~)(д.;с~и д~~(3, ~.-д) м~ -~(5+;с); Я~„.,-1~; я~ - 1(4+у); - ~ь~ь„в -д. 8, М +Д~(~ = щ - И в ((,х',~)~ д~'с~ю, 1»0); И ~ д=д,' а~.., -Х(~-~')' ~(,-,"д, ~~~Ю.д.~ 9 ь~ З~ да я +Я~ Я~,Я 3 Ю~ ((х Я)~ д~Х~Яу Ф~д 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
