Я.М. Котляр, Р.Я. Глаголева, Е.В. Иванова и др. Методические указания к практическим занятиям по ММФ (1014095), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Выделим в трубке участок ~ х, лс + ) м'~ (рис. 1.1) и составим для него уравнение теплово-' го баланса. По закону Фурье количество тепла, протекшего за единицу времени через площадку Мà — у~-- А,4, пропорционально темпера- х Х+аХ турному градиенту и зависит от Рис. 1.1 расположения площадки в точке ~И, т.е. Ь4 кентов и или плотности и его веществе). Выведем уравнение диффузии вещества в неподвикной среде, занимающей ограниченную область .Р с границей У , при наличии поглощения (например, в результате химических процессов происходит зьпадение осадка). рассмотрим следующие варианты краевых условий: 1. Граница „~ непроницаема. 2.
Граница ,з полупроницаема, причем количестто прадиффундирзвавщего вещества пропорционально разности концентраций вещества внутри области .Р и вне ее, Пусть и ~ ъ, у, х., ~ ) — концентрация вещества в тачке ( ъ,у,~) з момент ." . Йщелим в области З элемент объема д 1, ограниченный поверхностью 6 . Па закону Нэрнста количества вещества, продиффундирававшего через элемент поверхности за в,' мя д~ , равно -~(,у, ~ '- '~'..: (1.1б) ( ' .""~ где А . 6 - коэффициент теплопроводности. Поэтому количества тепла, поступившего внутрь выделенного объема через сечение дЯ в точке .т, где ю = Г, за время 1г, равна а, = -~(р- «~1,. к)~3.( --~'<~„'=,-"~~-', а через сечение ~я в точке ж+ ~х', где а = — ф( а"~~ц4 и ~ г' 1.~ Уд ь Фя ( х'ФЛх,~~ УУл~ Количество тепла, поступившего внутрь выделенного участка трубки за время З1 через сечение Л3 в точке с в результате конвекции вещества в объеме д 5 Ю ~ г, равно 0 сую(~,~~.
6дЯ~Р, где с - союз~ ~ о - удельная теплаемкость вещества и ~Р - плотность вещества, а через сечение лЯ в тачке л-+.~я' соответственно равно 4~ - — ср~ ( ~+дх, 1,) 6з~дЕ . Все количество тепла 4", + ~~ + О, +О... поступившего внутрь выделенного объема за время .~1, пропорционально массе зтага объема и величине изменения температуры, так что с~, О, +Ц+ 7,, = сулУлх'~и(х,,~ лР3 — и(х,131 . Подставляя вместо 4',, ~7~, ~~э, Ю„их выракения, деля на произведе- ние ~1 д.ш д~ и переходя и пределу при,1~ — Ю и 31 Р, получим и = — и .т.~ ц.ы> У.
3 ача о зии с погло ением п опо ональным кон1 1 где Й - внешняя нормаль к элементу гЫ, Й вЂ” коэффадент диффузии. Тогда через всю поверхность ~у внутрь ее продиффундирует коли- чество вещества г,у, ( ) ~ ж ~"„у у ) л у . й Применяя к поверхностному интегралу формулу Острогредокого-Гаусса и к полученному тройному интегралу теорему о среднем, будем иметь: ~д~ -~Ьж (Й~'~"~уа'м) ~ ~ „, д )у ~~ В результате поглощения количество вещества в обвеме Л )У умень- шилось на величину й~ Л М ( Ж, К Хл Ф,) А ) д Йу где Я > Π— коэффициент поглощения. С другой стороны, количество вещества Ы4' - Ж) -~й пропорционально изменению за время Л~ конпентюации вещества в элементе обьема л )у', так что ~Я- у(~,у,х) ~ м(~,у, х,~ +Л~) — а(х, Кх,~)1 ~ К~~ где ~(я', у, ж) - коэффициент пористости.
Подставим вместо Й~, ~Й»',, Ж~л ик вырашения, разделим на произведение Л р д~, затем перейдем к предеду при ~Р д и стянем 6 в точку Я . В результате получим уравнение п.а = ЫЫ ( 1 ~у~.аН а ) -Ля, а в случае Й =спия~ - уравнение И~ ~ с) Р, + л'..лл:, (1.17) где ди =я. ~ Ф .ч'я ~Ж Я~/ Хй й= С= г Т' Краевое условие в случае непроницаемой границы У, когда вещество не диффундирует через э, согласно (Х.И), примет вид Ы случае полупроницаемой границы,~, когда количество ве- щества, продиффундировавшего через единицу площади,М, пропор- ционально разности концентраций вещества внутри ~ и вне ф, считая концентрацию вещества вне ь известной функцией и„ ('х; у', Х, ~), получим — й й- ~ = ~ ( ~ — оо )( или, попилим ~Ъ ~ - К, бил, =р, (у~ ч- о'ол)~, —,и учитывая, что Г = -р"а1 ч и )~(М) С кение Пуассона вне )', получаем урав- д ф = — ля'а, (1.
18) УП. ача о и о ольных колебаниях сте жня. Рассмотрим задачу о распространении продольных волн Б стермне длины ~ постоянного прямоугольного поперечного сечения единичной площади. Предположим, что поперечными движениями точек осевой ф б>'+аВ=6+ Жд(д линии (упругой оси) можно пре- ф небречь по сравнению с продоль- Фх Р фХ ными (осевшими) перемещениями м = м (м,1 ) в каждый момент Рис. 1.2 времени Й . Рассмотрим элемент стержня длины Ых (рис. 1.2), на левой и правой гранях которого действуют силы д и 6+ И6, где б - нормальное усилие на единицу площади (напряжение). Изменением плотности материала при деформации будем пренебрегать поэтому -р — + — = д (равнодействузщая всех сил равна - д~м Рб $ К ~ч',ь нулю).
Если стержень упругий, то напряжение б по закону Гужа линейно зависит от относительной деформации ~ =~-, т.е. 6"-Ее, ди где Е - продольный модуль упругости (модуль Хйга). Тогда уравнение продояьных упругих колебаний стержня запишется в виде ~и л ~а Р з Фм где Р = У В случае нелинейной зависимости б- 6"(Е) имеем ~~6 дб' д~и ; ве.:а а2 ' Л являе„я фу, ей ~7е от б — ф . Лля нахождения функции продольного упругопластического йеремещения ы = м( ~, Г ) получаем квазилинейное уравне- д~ы г ~ ~~6 ние 2-го порядка -- „-' =д. — , где Лополнив уравнения уйругих и упругопластических кблебайий начальными и краевыми условиями, придем к начально-краевой задаче математической физики. Предположим, что в начальный момент времени 1 = 0 известно продольное смещение ~( ~, б ) = ~Р~л:) и скорость ю„('х;Я = (Ф(м) каждого поперечного сечения.
Что касается граничных условий, то их вид существенно связан с типом заделки концов 'с = О и ~ = 1 стержня. В частности, при любом ~ имеем: 1, для жестко зак епленного конца смещение и =- 0; 2) для свободного конца ~ = Е = = Я = 0 , позтОму ,'l 3) для упруго закрепленного конца, когда он испытывает со стороны заделки продольную силу У = — Ф,, л~, Ф)~), пропорциональную величине смещения и напраВЛЕННую противояоложно ОМЕщЕНИю, будем иметь У - + б , где знак "+"соответствует правому кон)у, Отсюда и+Ей = д или и ~-Фы =/7, П.
3 ача о попе ечных колебаниях тонкой гой балки. оц сс ! ния и (1.19) Задачи о колебаниях упругих балок представляют практический интерес в связи с проблемами колебаний мостов, плотин, турбинных Валов, крыльев самолетов, качаний маяков, водопроводных башен, высотных з„аний и т.д.
Рассмот .им движение упругой балки длины / под действием динамической поперечной нагрузки "~ = ~ ( , ~ ), Отнесенной к еди- нице длины (рис. 1.3). Д аХ Внешняя сила р порождает В балке поперечную силу ,У и изгибающий момент М в каждый момент времени ~ . В балках сплошного Поперечного прямоугольного сечения Отклонение (прогиб) Ъ = Ж"('~ Г/ точек ее осевой линии (упругой оси) Вызывается я основном изгибающим моментом .й . ))Е- Емещеиия тОЧОК упругай оСИ балки считаем малыми, так что попеоечные сечения балки остаются плоскими В пр е е деформации. Поэтому можно пренебречь Влиянием инерции Враще поперечных деформаций сдвига.
Нагрузка Р , поперечная сила и момент М связаны уравнениями; ~4М " й-~ Π— - —,б т ~" Рп ':, Уь"М'~ ь|ОМЕНТ Я ПРОПОРЦИОНВЛЕН КРИВИЗНЕ Ф = — х .' ( ' ',- / ~~.Е ' ' )'7ъ' и если балка находится В пределах упругости и )"аl",) « / имеет место соотношение (1.2() ) где Е.7 — жесткость балки на изгиб; à — модуль .";Ига материала; 7 — момент инерции поперечного сечения балки Около Оси, перпен.;:;— 1УлЯРной ПЛОСКОСТИ, В КОТОРОЙ ДЕйСТВуЕТ ИОМЕНТ .). (ИВПримог, *~ЛЯ круга,/ ~ ~ ), ~дч 5Л (2 Подставляя (1,20) в (1.19), после дифференцирования по х получаем (1.21) Уравнение Ц.21) принципиально можно решить для любых законов изменения по длине балки упругих и инерционньо: свойств и любью практически встречающихся граничных условий.
Однако замкнутые решения на практике получают с большим трудом. Рассмотрим свободные колебания тонкой балки, имеющей постоянное поперечное сечение и выполненной из однородного материала, В этом случае жесткость на изгиб Е7 будет постоянной величиной; р=-уп †",, где ~ъ - масса, приходящаяся на единицу длины, и уравнение (1.21) можно записать в виде е Ф ~Уа~ „л д ~~. ( т ~~ л Ас' л Е~ где Ы Задача о свободньк поперечных колебаниях упругой балки сводится к интегрированию уравнения (1.22) при начальных условиях т),'л:,Б) - ~! х), ~~(~ .) = р~(~) (1.2З) Д и граничных условиях, относящихся к концам балки -'с - э:, х = э и выражающихся различным образом. Наиболее часто на практике встречаются следующие случаи граничных условий на концах балки: 1.
Конец жестко заделан, тогда в заделке прогиб и угол наклона касательной к изогнутой оси балки равны нулю, т.е. тК = у и — -П. ~й. ~)Х 2. Конец свободно оперт (случай шарнирного опирания), тогда на этом конце пр гиб и изгибающий момент равны нулю, т.е. т" = 0 д ~тд' и -~ — =б, 3. Конец свободен, тогда на свободном конце изгибающий момент и перерезывающая сила равны нулю, т.е. — = 0 и — =Б'.
д~й~ д~ й/' д~~ ~,хе Ясно, что возможны шесть комбинаций этих граничных условий. Рассмотрим наиболее распространенный в авиации случай консольной балки (один конец свободен, другой — жестко заделан). Задача о свободных колебаниях консоли математически формулируется следующим образом. Требуется найти такую функцию тсУ=йУ~ж,4„ которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.22), начальным условиям (1.2З) и граничным условиям Верно и обратное.
Этот факт позволяет свести нахождение функций ~(х, ~), ф(х,~ ) к отысканию интегралов уравнения (2.5). Уравнение (2.5) называют характеристическим, а его интегралы — характеристиками уравнения (2,1). Возможны следующие случаи. 1. Аискриминант ) = 1э — ас ~ д, Квадратное уравнение (2.5) имеет два действительных различных корня: у'- ~;(:, у), у'- ~'„(~,у), (2. 6) Общие интегралы уравнений (2.6) определяют два семейства характеристик уравнения (2.1) т'(.Т, у) = С, и Ф(х', у) = с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
