Я.М. Котляр, Р.Я. Глаголева, Е.В. Иванова и др. Методические указания к практическим занятиям по ММФ (1014095), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рещение. Требуется найти решение л(х, ~ ) задачи 3 И~ * Л Ю~ (4.19) Представим ю(~с, 1 ) в виде И(~,~) -Х(ж) T(Й, подставки в уравнение и краевые условия, деля на Х~~~ ~ТВЙ и разделяя переменные, придем и систем8 т" + лзЛ~- (), (4.2О) Х"- ЯХ-Ю, уу~р) () Хд) ~ задача Штурма-Лиувилля (4.21) ю исследуя решения уравнения Х +АХ = П, голу аем, что при Л ~ О не существует нетривиального решения, удовлетворяющего нулевым краевым условиям Х(())= О и Х~1)= О.
При Л р О имеем Х(я) = Е;, сюЯ ~Хм' + С~ Ып )'Л. "о и из краевых условий получаем Х(О) =~7=С Х~ Я) - й - С см )~У 1 + ~~,~.~'и ) Х 1, Отсюда следует, что нетривиальное решение Х(ф суцвствует при С ~( О и ~Т1 - пТ . Таким образом, ,Я вЂ” ~ ~~~ 1 и Х (~) ~йр~ — т" ~ - й' ~ (4 22) рр ~,~ l рр являются собственными"' значениями и собственными функциями задачи )Лтурма-Лиувилля ~4.21). решая при Я = А уравнение (4.2О), получаем 7„"(~~=4' сы ~'1 +3 я~Ъ вЂ” 1 Согласно 14.16), (4.17), (4.18) решение задачи ~4.19) имеет вид хил .
ы.иХ, Я ~х я(~~)- Х (~ ыл — ~ +В ь'~ — ~)зю — ' ь-г где 1 , 3 находятся из начально условий юХх ,~ 2 ,мюЯ . Я'~к П=Х вЂ” в ы— м«~ Отсюда имеем — ) — ";с ( 1-х,) Ми — а'-к - — ~ (- (-(.) ~, 3 = д г" 46 т~Хк (Ж4 ~ ~ъ е ~2 м,~Х~ е о и окончательно получаем ~БФ~ . ~- (- ~)~ ии-Х . ть7; ~~( х Ь ~ йРя — 1 5~ж— Ю 4 Изменим краевые условия в предыдущей задаче следующим образом: пусть правый конец струны закреплен, а левый свободен. В соответ- ствии с зтим получим задачу: 8 Я. Я И-, (4.23) а~ - ~" «~1-«~ «~ -О. ФА ~«а 2 т ~ « Соответствующая ей задача Штурма-Лиувилля, примет вид Е Х" тЯХ Р, ~4.24) Х'(Д -О, Х~~) = О.
При Я ~ О не существует решения задачи Штурма-Лиувилля. При Я 2 О имеем'. Х(~) Г ~у КХ х + сл ьъи ) Я х'йу~ = ~ = ~г ~~ Х(0,) = 0=С,слО '~ и нетривиальное решение Л7х) существует при ~, ~ О и « — ~,и и жуак «ля ипру ° к~ аевьо ° сл вий псу~'зем от„., яч- Е 7 Ф Я ные от ~4.22) собственные значения и собственньв функции задачи штурма-Лиувилля: Согласно (4.16), (4.17), (4.18) решение задачи (4.23) имеет вид Нв~' 2е где У,„, 8„ находятся из начальных условий; ~А ( .~бд н-д )Я -и(.Х,Д = —,-- ~( 1-,) = Ф Мб = — „-- — '.Х а~'-'~+.')Х, Й"и+~) Х Уд б Окончательно получим. у~ ( ' ° ~) бб,б Д д +~) Я „9~ +Л Я (н~фН +ф~ и~ х',",~) = — .~~ ' сод "б5 ' л'.
(~н-~ ~)з я~ Пбв вд 2. Нойон свободны водабвннв оо( в, Н, б ) ванов адноб одной прямоугольной мембраны со сторонами с и 6 с закрепленным к)баем, если в начальный момент она имела фоому 1Х~ Хх~ и нулевой начальный импульс. .дешение. искомая Функция ~ ( х, ~/,б. ) является решением задачи а. =ив('р + ы„,,); Ы=.7(0,с ), Л ы (' ( з, д) ~ 0 = л; = с, б' ~ )! " Ь ~ (4.26) я! -",!, = я! = и~, =0 -' '~д."б н б ~ТУ' ,л Пнедставляя а( и', у, + ) в виде T~';) Г( .~, ) ), получ и соответствующух задачу )))ту~ма-Лиувилля: 1'хк 6у 1'~~нп =- ~'!;.=с = '.~уо~ в 'увы — ~.
нежно показать, что собств .нными Функ;иями и собственными значениями этой задачи будут: у = я ж —.— .«'Нб удT~ иЛу ° ~' . н ) 'бба 1 "- ,7ур, -О пе Г';,з:-ппеЗ .Рода сон давно ( д 16~ ( 16) о В = 0 (см. приложение). Окончательно имеем ~,~~- т "," -."~"~;~ — '„"" ) ~'„~3~ (/~м.,) ~Ь Таким обрезом, на примере 1 мы увидели зависимость собствен- ных функций задачи Штурма-Лиувилля для одного и того же оператора от вида краевого условия, а на примерах 2 и 3 - зависимость их от вида области.
3. Решение задачи для неоднородного уравнения с нулевыми граничными и начальными условиями, Будем рассматривать задачу (4.8) для волнового уравнения: ъ) = а вЛ Ъ7 + ~ ( в области Р ) щ~ - д ( или — ~ -О нлн ~ каем~- — )~ ды ди ~з дн ~Г~ =(), ъг ~ = б. Решение этой задачи имеет следуюшее интегральное представление: ч, (д 1) = ~ г('М ~-т,О„~(М,т)) Ит (4.30) где подьытегральная функция есть решение ч~ (М, т, ~,~) задачи (4.7) с (~= 0 и 1~ = ~(М,т), и котором заменено ( на 1-т, Таким образом, решение задачи (4.8) сводится к нахождению решения задачи (4.7) при ~ = 0 и 1К = ~ ( М,, т ) и к последующему интегрированию по формуле (4.30).
Другой способ решения задачи (4.8) основан на представлении решения в виде ряда по собственным функциям соответствующей зада- чи Штурма-Лиувилля. Пусть )' (М ) — собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (4.12), (4.13). Представим решение ъ (М, 1 ) в виде ряда па собственным функциям )~(М) с коэффициентами, зависяшими от 1 : =-(м ~) = Х Ф„(Оъ„(м), правую часть ~ (М, ~ ) разложим по собственно функциям К (М).
считая 1 параметром: С? ~~, Г„,3 ~~'Ф /) =- '~„' Г; ~) ) (М~, где У.ь: 7 и подставим Бы~лыксн ия для ж' и ~ в уравнение (4. О) . Согласна (4.30) имеем Я ~ е~;С) = ) ~, 5~Ж л'Х~Т ( Т -Т) У4~'~ ХИХ ~ ЕЙ ~)Ф~+1 - Х:" ( Пю ~ + и и г вв- ~ ~ и и ев. -и.-~ ф~) 4 .~.~~ рассмотрим второй способ решения этой задачи (методом представления решения в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля (4.3б)). Как отмечалось выше, ее собственными функциями являются Х,„(;е„) - М~(Я~ф), я собственными значениями— Л,„- у -®". Представим я ( с, Й ) в виде ряда и('х,Ю) = 2.,' ~7 (И) Ыи 7ь .с (4,37) Ф ~' и разлоким ~ ( Ю,х ) в ряд по Х (х) Яж Ую~: ~( ( ~;с) = ~.~ = Х В (я ~~'и ямх, И где ~-в.)"' Ж~ У У Подставляя ряды (4.37) и (4.3о) в уравнение и начальные условия задачи (4.34),.
получаем И.еУ л,,"я+~я" 'а„т = ) ~, г„(я=в„'(о~ =о, Откуда И+~ Ф (Й = ~ Шг ЛХю~ + яя'ж~~ 4~Ф мт )е~ С ~~~ Х'л~» = Х 4 ~ ~ ~ ~~~~ ~ЯЮ~ + 2ХИ.~ ~ ~ФИ 3 И.Х .н.г Фх и (ть" ке, что и в (4.36)). ~'ассмотрим теперь применение метода фурье к решению нячяльнок; аеяой задачи для уравнения теплопроводности. Пие вс 5, Свелиень ллинн В с вене~невель~влив е с~в в в ПОЯОРХНОСТЬЮ И ТЕПЛО ИЗОЛИРОВЯННЫМ ЛЕВЫМ КОНЦОМ Х =0 В НЯЧЯЛЬНЫв .гомент имеет распределение темпоратуо и ( с, ~' ) == У,, ь по:.: грев ВЯЕМОМ ПНЯВОМ КОНЦЕ Ч.
'= 1 ТОМПЕРЯТУРЯ РЯСТЕТ П' ЛИНОйБс ЧУ ОЯ- кону и. ( ~, ~ ) = ~~ . Определить распределение температур в момент Решение. Задача сводится к решению уравнения свободного тепло- обмена в стержне ,~г ~ (), ° ~ ~ () при краевых условиях и., ~, д- б, а) ~ = Ф1 у о Применим редукции. В качестве функции, удовлетворяюшей краевым условиям, можно взять К (я , ~ ) = РЙ . Полагая а, - м- К- и,-И, получаем г Й-~Й~„— р, а )„,=(), а~,-о, а~ =и , где т~, тс7 - решения начально-краевых Пусть Й - т" + Ы' задач: (4.39) Разделяя переменные в задаче (4.39) для ъ, будем иметь 7'+яавТ "б, Х" ~ЯХ-О, Х'Г О) = С, Х(1~ = О. задача Штурма-Лиувилля Собственными функциями и собственными значениями задачи Штурма- Лиувил я будут Х ~и~ = сог ~~ '~~ ~ ~ и Я ~-~~ — ~~ ) Обшим решением перзого уравнения при Я =Я„будет Я~ ~яЯ ~*~ С(К~=с е РФ ~х (2 1) "'К'из ~г~ (йп+~) Х ~~г СОК ~Рю'~М )Ъ начального условия: д = ~, С со †' ' — — х ПОЛУЧаЕМ (ори, ) г Я т(х,Ь) = Х ' 8 ОРИ бс (4,41) бб- бб ГЮ+ 1 н Решение задачи (4.40) имеет интегральное представление тб" = ~ ъ" (' я', 1 -т, б, ~(я, ц ) Й т, о где ъ" - решение задачи: 2 ~ ~бб % -=' ~ю-ю = Сравнивая зту задачу с задачей (4.39), видим, что "("-- —.гр' Мо и, следовательно, для получения ъ- достаточно в (4.41) заменить мо на -Я .
Таким образом, находимд — бв~ — "~ — -ьь'рб-к~ при,б~ (К б сж И) И м' Р +~)~~ бб-бб РЮ Н о 2 (Рж ~) жг Жид (-д~ ~ Ф~' 1 (а ° +~) х Окончательно имеем (Гж+г)'х' В приведенных выше примерах методом Фд~ье решались начально- краевые задачи для линейных уравнений 2-го порядка. Рассмотрим теперь начально-краевую задачу для уравнения 4-го порядка. бовиег б.
Реииеь векову о оеобовнио попере иьи коиебвннек однородной консольной балки (см. задачу УШ в равд. 1): Ъ)' б.а"а" = О, Р<Х: У ~б "Р (4.42) ъ ~~., = д>(;с), м,~, = у(х), (4.44) Решение. Запишем решение в виде ъ =Х(ж) ~"(Ц и подставим в уравнение Х7™ + Гх "х' " T - б) . и Разделяя переменные ~ — — = — =Д) приходим к системе двух аг,р' Х обыкновенных дифференциальных у..внений:: Т" игяб" = О, (4.45) Х'-'-ЛХ - б, (Ц. 4о) рЬ краевых условий (4.4З) получим Х)() — Х'Я) = (), ХиИ' = Х' (1~ Р (4.47) так как они обладают круговым свойством относительно операции дифф ренц ро ния: 5 М~ = 5',~ »,' 5"~ '» =Лг~М,4йФ=Язж), Я,'~'м» =Я ~-о», Я,~Р»=, ~ ~р» =,5* ~й = 5 ~И = б.
Представив решение ~4.49) в виде Х~~» = с,З,~ Й.с» ~г 8,~М»+с3,~Я~»+г,В,~~.с» д.6О) и подставив его в краевые условия 14.47), получим: ~, = г„= о, с,,~,~М» + с„3 ~Ы» - О, (4. 51) ~, Р,, ~ М» + с„К, ~ Ы Ц = 0 . Эта система относительно С~, С , с~, С, имеет нетривиальное решение, лишь когда определитель системы двух последних уравне- ний равен нулю, т.е. когда ~И)-3,~Ы»~ ~АЮ= о сА ~ФА» сл ~ Н» + / - О . Таким образом, решение Х~~~ уравнения 14.46) с Я = Ж , удовлет- ' ф воряющее нулевым краевым условиям И.47), будет о~лично о. тождест- венного нуля лишь при значениях Ж =- Ха, где х'„ - корни траверз цендентного уравнения гА'с ом;с+1 = б (4.52) Это уравнение имеет бесконечное множество отличных от нуля действи- тельных корней ~~,, м = +1, +2,...
(рис. 4.1). Беря при 4 = 4„ м= +1, +2,... нетривиальное решение системы (4.51) к; = с =о, ~ф ~» ~ .= ~ ~ф, 1», найдем Х„~ ) =,,', ~ж„6 ~,~Ж ) —,М„й ~ ~й» ~4 6З) - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля 14.46), (4.47) с собственными значениями Л , = ж, . Непосредственным вычислением ,~ Ф н можно установить, что ) Х,У Им. -: б при ~г- ~ ж~, т.е. соб- огненные функции Х ~ ~ на отрезке ~ О, ~ ~ образуют ортогональ- нух' систему.
~'ешея теперь при А .— А~, = к уравнение .4.).~), получим 7;, ~/' = ~~„м;~~ 4,; / ~ Р',„:;"~п й ':,,'~, Тогда в силу линейности уравнения ~4А2) и однородности краевых условий (4.43) решение тг( ~, Р ) задачи (4.42) — ~4.44) можно представить в виде ,~.( .~) у ~ у д~~а ~~~~ +8 ы'ия Й ~)Х ~х) . Коз~фициенты Ю и З„определяются из началъньи условий: Ч~ж,) = Х Ф„Х ~я), 9~0.с,) = Х и~йд Х ~х,~. Имеем ') ~~ .) Х ~ яМ Я„ У ~ х„'~;~ Ы, ) Х ~;г)Ых о 3 ачи ля самостоятельного ' ешения 1.
Решить начально-краевого задачу: У 2 =о, ю~ =~-, ~~~-о 2. Решить начально-краевую задачу; и =а~и~~, б~ я~1; 1..Р, .и) о=~, и~- ~ М~ ~ —— 6ж — ' Х;. :.б 3. Начальное распределение т.мп-.Рзтур и~к,б,) = ~~, = сопхЕ ~~дно.о:иный „»1е„-фень дядцы ~ ~" т~=~.~~ о~о::,и ..еянчо",; яснов%~" оо~е~.— н' *Ртье) В начальный момент имеет т'.".моВРвтуру ~~ ~ я ) = ~~р !Г у2ГУ. На конце х =~ поддерживается нулевая температуре, на конце ~ = О происходит теплообмен с окружающей средой нулевой температуры.
Найти распределение температур в момент ~~~9. 4 Решить задачч о малых почереч ьо ол 'а'*" и — "-""" стержня, шарнирно (свободно) спертого на обоих концах. В..Найти распределение температуры в бесконечном круглом цилиндре радиуса т), с начальным распределением температур ю( Ф', Ч', ~ ) = ~~'~ в случаях: а) боковая поверхность цилиндра теплоизолирована; б) на боковой поверхности поддерживается постоянная температура в) на боковой поверхности известен тепловой поток О = емзИ, 5..РЕШЕНИЕ НРАЕВЫХ ЗАЛАЧ ЛЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА атОЛОН ЮЫИ И ПРЕЛСтАВЛЕНИЕИ РЕШЕНИЯ В ВКД РЯЛА Пусть 3 С Ю - ограниченная область с границей /, З =ЗИ; .О с Ю " — область, содержащая внешность некоторого шара, / - ее граница, .Я - Х? УГ, ю-Р,.5. Внутренняя задача Лирихле: найти Функцию м ш ~ ~(.2)) () С (З3, удовлетворяющую в З уравнению Лапласа 1Пуассона) и краевому условию г 1 .
(5.1) Внешняя задача Лирихле: найти функцию и е Е~( Я) Л С (Л) удовлетворяющую в,Р уравнению Лапласа (Пуассона), краевому условию (5.1) и условию на бесконечности: н случае и = 2 ~4 (4О ограничена при т =~бМ ~— в случае и = 3 м(М.) б при Пусть l - дважды кусочно-гладкая поверхность. Внутренняя и внешняя задача Неймана состоит в нахождении функции яе С~(3) () С'(3), соответственно а ебз(Р)() С'(Я), удовлетворяющей в области 3, соответственно Я, уравнению Лапласа (Пуассона) и краевому условию (~Я ~ И.З) ~п ~; а для внешней задачи, кроме того, условию (5.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
