Я.М. Котляр, Р.Я. Глаголева, Е.В. Иванова и др. Методические указания к практическим занятиям по ММФ (1014095), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(3,13) Из системы уравнений (3.17), (3.13) находим ~~1м у', ~'1~=У Во втором случае для любой М (~,у ) 4 /~ .. л. = О (рис. З.б), Ф(б,у), 3(' б,у — у ..с), «~ - ~') ~ = ~/ — у з ( д+~-) ~ „= ( ц+г.«~ = ()/ — —:с~ +)/, откуда / '7 д~~,,«=), — -д. — — -~у+ = о". у~.(х.)/«= р- — ~ — =:~,~~ + ~ ~ Ь случае задачи Коши для одного кваэилинейного уравнения 1-го порядка относительно:, .с, ~ ): Е ы('х,у, м)ю + 6(х, ~~', и.)и, - с('х, )~, а), г рассмотренный метод характеристик приводит к следующему уравнению характеристик: 1 -яа =а (3.20) и к дифференциальному соотношению, внполняющемуся на характеристиках / или ~У© (3.ж) 1ьимв~~ 7.
Зевнуть вааацу кови: я, -За и„, (3.22) ы~),„о = Гх . Рещение. Согласно (3.20) и (3.21) имеем — ~ — 5аЛ-Ю, откуда Ыу Лм (3.23) Я~И .~ = О или — = О откуда ~ = спи~~ на характеристике. Проинтегрируем уравнение характеристики, проходящей через произвольную точку Д ( х', Ю ) оси ~7х (рис. 3.6). Из начального условия (3.22) на / : ~.= 0 имеем яр. 1 Вф т~( ~„О) = 8м~ . Подставляя зто значение в уравнение (3.23) и интег- ~ИМ 4(х 'Й рируя его1 получим д 4~х,.~у /: ф = — — - я.' +- с Рис.
3.6 а так как э точке (,) у П , то С = — , и Ы ~~ И ~ ц = 2 х (Заметим, что любая характеристика 7" В проходит через точку Р ~ О, ~ ),) Теперь для произвольной точки М(:с, у )4 ~ составим уравнение проходящей через нее характеристики РЙ и найдем координаты точки Ф ( х;,, О) пересечения РМ с /", Из уравнения характеристики ~М: у = — — получаем Х = †„ . Тогда х Ю Юх„ Я ~-~у Г~ и =и =Г~„- 4. МЕТОМ ФУРЬЕ (МЕТОМ РАЯЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ) РЕШЕНИЯ НА(АЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗА)(АЧ АЛЯ ЕОЛНОЕОГО УРАВНЕНИИ И УРАИВНИЯ ТЕПЛОПРОВОЛНОСТИ 1.
Редукция (сведение) полностью неоднородной начально- краевой задачи к более простые. Грусть .П с ~ — ограниченная область с границей /", Р З.ж»б,с ), 3 /"к~Ос ) .Р=ЯОЛ Полностью неоднородная начально-краевая задаче — задача для неоднородного уравнения с ненулевыми (или неоднородными) краевы- ми условиями для волнового уравнения ставится так: найти функцию и ~ С-'» Р) ») С ' (Я ) , удовлетворяющую: э области Я уравнению: ~~„= и л и ~-~, (4.1) Решить задачу Коми: 1. Я -5~ ~ и! = Фж~ ~ ~/=Д 2..й + ы~ -0 и~ -х,, 3. » х-1) и„+» А/-4,) м„, = О, и~„~ ) ~~~, ~-Х 4. ю я„~ - ~~~44у,)р — 2ум =(7 ~), =~ М„~„~ =ж.
У к а э а н и е . Сделать двумя способами: а) свести к системе двух уравнений относительно ф = ю и ~ Ы б) привести к каноническому виду уравнение 2-го порядка. Решить смешанную задачу: Ь. Найти решение волнового уравнения И~,, = Я„„в области .7 ограниченной прямой 1'- я. - 1 и осями координат, если а~ д-~~, М), ц-Х, а ~~ „-1. Ответы: м»х,~) = ~й»'~1~-~с)+ЮР . 2. и»ъ,~.) - х-1 ° з. и»~,'~) ~ Х-~~', на ~ краевому условию: Ь6 /Я и~, -,» (»»» — „- »»»»» ~'6и+ — ')~ -,») ~1.а~ и при 1 = О начальным условиям: Я~~ „= (У .
и~~~ „' Ц/" 14.З) Лля уравнения теплопроводности она ставится так: найти функцию я е С ~ Щ Й С ~ Р») удовлетворяюшук): в области Я уравнению 'ие и~4ю +~ 14.4) на з краевому условию (4.2) и при 1 = О начальному условию ы~ -у ~4.б) Редукция этих задач к более простым состоит в следуицем. Подбирается произвольная функция Ь"~иэ того же класса, что и реше- ние исходной задачи ),удовлетворяющая лишь краевым условиям ~4.2). Затем ее вычитают из решения и для разности и = ~~ - 1 получают начально-краевую задачу с нулевыми адили однородными) краевыми условиями. Яля волнового уравнения будем иметь а, -а*зй»~» Х»», »»( и ~»»» у-~ -О, »»» ~бя» у-)~ б, ~ !4.6) 5 '~~~~.п= 9 ьЬ=~ " ~ где ~ -)~+а~л К- ~~~, ~ "Ц~+ Ь",' Д ~~+ У~. Лалее, в силу линейности дифференциальных операторов в рассматриваемых задачах, справедливо утверждение: если ъ" и ъ решения соответственно начально-краевой задачи для однородного уравнения с однороднмии краевыми условиями и ненулевыми начальны- ми условиями (тип 1) и начально-краевой задачи для неоднородного уравнения с однородными краевыми и начальными условиями ~тип П), то их сумма Й = ъ + ът .
будет решением полученной эыше начально- краевой задачи с однородными краевыми условиячи. Лля задачи (4.6) получим й = ~" + ъ~ , где ъ" — решение задачи, 7у' =и як Н Ъ:„= О или — ~ -д, ~Ь' ~ с~я ~~ и Ю - решение задачи: ~Г~~ = й- Л ЪУ + ~ ъ" ~ = 0 (или -) — ~ =П б Ьх )~ ъ~! =~), ъ ~ =ц ~~~-и или ( дФ + ~ )~ -Я ~~~4 7) Р 3 или ~ бЪ~ + -";„' ) =-ф ~(-„8) »,9 й,алогично получаются задачи для уравнения теплопроводности.
2, Метод Фурье решения задачи 1-го типа. Задача ШтурмаЛиувилля, свойства ее собственных функций и собственных значений. Сущность метода Фурье (или метода разделения переменных) 1ещения задач т го типа состоит в следующем Сначала спут нетривиальные (отличные от тождественного нуля) решения уравнения, удовлетворяющие только однородным краевым условиям, не заботясь при этом об удовлетворении начальным условиям. Решение представляют в виде произведения функции, зависящей только от координат точки 4/, на функцию, зависящую только от времени: . ~ /,'~) - ) ( /) т(И .
Подставляют зто произведение в уравнение и краевое условие и, деля уравнение на У(л() Т(1~, разделяют переменные. Это позволяет решение исходного уравнения свести к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений: уравнения относительно '/'/Л/ и уравнения относительно У (М). Причем в соответствии с краевыми условиями: для К (А(, 1 ) на ~ получают, что К(~И,) должна удовлетворять нуле-; вым краевым условиям на / . Полученные таким образом решения позволяют найти решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
. Решение задачи (4.7) методом Фурье будет выглядеть так: подставляя ъ" - К(М ) ~"(Й) в уравнение, получаем 1 ) "К=ялТ) ), 1 откуда '7 з7 (4.9) 3 д2 /' Из краевого условия задачи (4.7) будем иметь У~М~Г~В( -О ( или ГЙ~-0 или ~6 Щ~)+ . ~Ч~~ П)(~10~1 И К~м) 76)/. Р~ 19 ~ Ь~, Заключая, что равенство (4.9) возможно, лишь когда каждое из отношений в (4.9) есть тождественная константа (обозначим ое :..„ ез (-Л )), а равенство (4.10) возможно пои любых Р ~: 0 и '.) 1) ~ д , лишь когда тождественно на / обращаются в нуль множители, зависящие от координат точки /)(, приходят к системе пзух уоавнений и краевому условию относительно )'/л/): г" +, ~ ' '~,л - //, (,.1:)~; ;)~ + '/Г =.'/, Г' -О ~ ..„з ~Г~ =О ..„:.~~Г,-" ); О).
~;;З)1 ~Г ~ ~/и ';Г ° е ° -. ) "адача (4 12) (4 13) имс*,.т ~е~~ гл н~ г~р р~ ~~ ч ч« ""« ~ / 1 30 $ Нахождение значений „/, при которых задача (4.12), (4.13) имеет нетривиальное рещение, а также нахождение этих решений называется задачей Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа ) при соответствующем краевом условии. Значения ( и соответствующие им ращения называются собственными значениями и собственными »ункциям..
задачи Штурма-Лиувилля. Напомним свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (4.12) — (4.13); 1. Существует счетное множество собственных значений (,л, ~, Все .( вещественны, неотрицательны, монотонно возрастают и (ии „(, - с.з 2. Линейная комбинация собственных функций, соответствующих одному и тому же собственному значению, есть собственная функция с тем же собственным значением. Линейно независимых собственных функций с одним и тем же собственным значением лишь конечное число, их можно ортогонализовать и нормировать. 3. Собственные функции, соответству»хцие различным собственным значениям, ортогональны. 4.
Ортогональная система собственных функций ( )» ) польа. 5. Всякая достаточно гладкая функция ~ , удовлетворимая одному из краевых условий (4.13), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по ортогональной системе с бственных функций задачи Штурма-Лиувилля с соответствуии~им краевым условием (теорема Стеклова): ("Р,К„) (4.14) 0К 0" ( ~» 7~) ) ~7 ( М) ~(М.) Гу (М~ Ад, ЫЙ~ — элемент обьема области 3, (! У (! ( )»»»,Г ) ) У(М) К (М)~й~ У(М) - неотрицательная непрерывная весовая функция. Построив ортогональную систему собственных функций »»» задачи Штурма-Лиувилля с собственными значениями Л„, для каждого Я находят общее решение уравнения (4.11) с Л = Л„ Т' (~) =Я„~пзаО„~ + В„~жа Й 1, (4.1о' составл»вот ~»' (М, М ) = )~~ (М) Т, (») и строят решение задачи (4.7) 1-го типа в виде ряда — ~д Д ~ + ~ "~»»~уй ~) ~~ (д()( ' ..",) 2 ~ »Т Г ).1Я коэффици"нты Ф», Ву выбираются так, чтобы функция :"(,Ю, 1 ) из (4.1б) удовлетворяла начальным условиям за~ачи ( .7', чтпбы пг1 Р = О было ж(л~,) = Х я к„(м,), У()() - К а)~~В У,',('.4(), реей (' ч, у' ) ( Р.
7' ) ай ~1)'~~' Заметим, что собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля для одного и того ше оператора зависят от области и от вида краевого условия. Проиллвстрируем ато на примерах свободных колебаний струны и мембраны. йрнмей й. Немом омеменмн м( м,й ~ танек ойноройной атреем, закрепленной в концах ~С О и с ( , если в начальный момент струна имела форму параболы ы('х, д) = — (1-ж) 'с и стала Ф4 колебаться без начальной скорости. Внешнйе силы отсутствуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
