Я.М. Котляр, Р.Я. Глаголева, Е.В. Иванова и др. Методические указания к практическим занятиям по ММФ (1014095), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если положить р~ = сР(я", )у'), ~ = 9~(х,У), то в переменных ~, ~~р уравнение (2.1) будет иметь вид й~~ + Г(~,р, а,Ы~„Й )= И (2.7) Уравнение (2.1) при л ~ О относят к гиперболическому типу. Уравнение (2.7) есть каноническая форма уравнения (2.1) гиперболического типа. 2. Лискриминант й В этом случае уравнение (2.1) имеет одно семейство характеристик ~Р( х, У ) = с, и называется уравнением параболического типа. Полагая ~ = рр ( рж, у ) и беря в качестве р = и ( м, ~ ) произвольную дэбы непрерывно дифференцируемую функцию, удовлетворнпвую условию лс-юди-Вр нв р, приведен урввненве сд.д) и виду в,уу.) + ~е~'~ Уравнение (2.8) есть каноническая форма уравнения (2.1) параболического типа. г 3.
Лискриминант л = Ь вЂ” ас «б, Уравнение (2.1) в этом случае характеристик не имеет (так как в уравнениях (2.6) — комплексно-значные сопряженные функции) и его относят к эллиптическому типу. Если 9р( ж,У ) = С, — общий комплексно-значный интеграл уравнения (2.6), то в переменных ф = Ре сР( х; у) и у =Уф р ~~х ф уравнение (2.1) будет иметь вид я(.~ + м + Г(~, у, й,м~,ю,„) "д. (2.9) Уравнение (2.9) есть каноническая форма уравнения эллиптического типа. Пдинеп р. Опредеиисе сип уравнении Х'Я ..
— 4.Я.,ду (2 161 и привести его к каноническому Биду в каждой из областей в Где сохраняется тип уравнения. решение. Имеем Л вЂ” Б - лс - 4 х .з 1. При ~ . О, т.е. в правой полуплоскости, дискриминант Л;.. О и уравнение (2.10) - гиперболического типа. Лля приведения ег> к каноническому виду составим уравнение характеристик (2.3) и проинтегрируем его: х~у') ~ — 4 - д (2. П) ИЛИ ° н т откуда у — 4)~х = С,, У+ ФЫ - с Полагая ~Р у' — 4 Б~, ~) = д+ ~ Б' и производя в уравнении (2.10) замену переменных, получаем Учитывая, что ~'~ ~ " , получаем окончательно Я вЂ” ('~7 -ы) ~~Р0 Х 2. При х ; О, т.е. в левой полуплоскости, величина Л < (р' и уравнение (2.10) — зллиптического типа.
Фтегрируя уравнение характеристик (2.11), получаем у — Фр')~-~с =~;, у+йГх -Е', Полагая ~ р2е(у+4~ ~р-~ ) ~/, ~ =Ли(У+4~ ~-~) 4 )р-~ и осушествляя в уравнении (2.10) замену переменных, будем иметь -~~,(;Ж'- ~~-.~.—.)1- -,ги так как )'-х = —.и, то ~~~ + ~„~ = — И~ . 3. При л' = О, т,е. на оси д~~, дискриминант д) = 0 и уравнение (2. 10) — параболического типа. Заметим, что введенная классификация линейных уравнений 2-го порядка распространяется и на квазилинейные уравнения. щи е д, Определить тнп ооновнооо ррввнении оиеоеои динеииии для плоского установившегося газового потока ('~'- ы')~~ .
- У~~«,~;, +~й™у) ~),~— Гдтв И. — ПОтЕНциаЛ СКОрОСтЕй К; я, ~у — СостаВЛяющИЕ БЕКтОра скорости 1' и Я вЂ” скорость звука. Гашение. е'искриминант Л - 6 -а~ = и". я — ~ р' — ~~~,'~р — М,,р= „ХЛ( ив + ьр -," — аБ1 = ЮБ ~ КЗ- д З~ . Следовательно, в области дозвуковых скоросте', ( )д - р.д. ) уравнение газовой динзмики эллиптического типа, Б области све. хзБукзвых ск',остей ( )Р .и ~2 ) — гипеРбслического типа, на повн хности л-аз..
ла зтих областей ( К=л ) — параболического гипа. Приме ы "ля самостоятельного единия Определить тип уравнений и привести их к каноническому виду в каждой из областей, где сохраняется их тип: ~х 'х УУ ~ .) у ~.,~' ~. ь т 4.у.. /7 '~х "''х'у УУ ~ ' У 3, фу ~ф~ +Яу,-1и 0 4. щ + ф Я. + ХОу,у ~ д. хх ~у 5. ~Я +-56Я у О. б. ка -'д ~~у М + ~.Ц + у.Я„- О. Ответик 1.
Гиперболический, ~~, - д, 7-®-3/, Р -~х+ У 2. Гиперболический ~у~+ д ~ ~ ° Г У ~~ У У л 3. Параболический, Я „— уЮ~ =д~ ~ =у' — Л вЂ” ~г ~= ~ х 4. Эллиптический, ы~~+ м~„= д, о. Гиперболический в области 3 - ~(х,у) ~ ~у~0), эллиптический в области Юз = ~( ж,у)! лу.
О), параболический на осях аж и оу; ,/ в 3 ' ы)у М + ~~ Я~ мр = д где ~-.с ~У, у=-у~(-у при х ~ 0 и -у;а, и ~~~--.с)~-~', и- у)~~ при и:~Р и ь. б, + — 'и +' ' 4' Г+ ~~ 5~ 1 +".)у Р ~'=х Кх > ~-~~ф при я)д, ~/~д -..о1~-х, у=-у~Су при мс б, уср, 6. Параболический на всей плоскости, а = — (и~+а '), ~ Ь + )~Ф у= ~х 3, МЕТОЛЫ РЕШЕНИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (ЗАЛАЧИ КОШИ, ГУРЕА, СМ""ШАН)Ы( ЗАДАЧ ЛЛЯ ЛИМЬЫХ И КВАЗИЛН.РЖЙХ УРАИПНИЙ И СВ'ТЕМ) Запись функции ~(х) е Е (Ю) означает, что ~Ы) в оолас* ти 3 непрерывна вместе с производными до Ж-го порядка вктючительно.
Ниже рассматривается область .у: ~ ~ е Ю, ~ ~ С ~ Ж и Х:1хеаю Фзб1 при ч= 1, 2, 3. Постановка з ечи Коши. Найти функцию и(я;~) ~ С (3)() С (3), удовлетворяющую в области Ю каноническому волновому уравнению .и - азль +~ (3.1) и при 1 = О начальным условиям ~ф~~~ д = Ч'~Ф . 13,2) При и = 1 реп1ение можно представить по формуле даламбера ч: еаР~-Р) УП-буМ .Ь $М„„„И, ) ~д 13.
3) д при бее 1У~, ~ а. При .и= 2, 3 имеют место интеграле,ные представления решения соответственно по формулам Пуассона и мрхгофа. Задача Коши для общего линейного уравнения гиперболического типа относительно функции двух переменных в ряде случаев может быть сведена к задаче Р.1), ~3.2) путем приведения уравнения к каноническому виду и затем, если в преобразованном уравнении относительно ЙЦ; р) = рб~ ~,у) остались члены младшего порядке, путем замены й = ъ г~~ ~~.
Прмеар Д. Реииге задачу Кони: а . — и„~ + Гя~„+ 3~, - д, (3.4) я~у., -, ~у)~., - а, (ЗЛ) Ранение. полоиим ел-ул" уу н оодбереи л, б гал, чгобн Лолууенноа ур*енение огноомгелено а" ие оодариаао члеиое млелмего порядка. еббн' б. ДУ Подставляя в уравнение (3.4) М. - «I Ю и сокращая д~М б- ФУ на Ю " , подучаем вр + Гт~~ ~ ъ",~ - ~'~,-Яту -щ~~+2у+2м+2чд -2ир-0. Подберем ~, Ю, так, чтобы обратились в нуль козффициенты при Г. +~ "Р, ~ -Г,В +2 =д. Тогда,С= -1, 6= 1 и уравнение примет вид уу" — тр" ХХ УУ ' -,д"дП - ЯУ .Р,=у Из начальных условий (З.Ы для функции ту'= ы8 получаем тУ =- и г П"-~У П'-~ ~ ~ П: т~~ -(м г -яг ~~ = — жг Тогда по формуле даламбера (3.3) имеем ~~а,у~ - ~ /~~-у~е ~-~к~у~8 1~.у ~ ~-~е,', 2~в :ь"-~/ ~'+у) ~ ~~ ~с+у — '~-4Л Р .1 ~ "..зг1Р ! — — ! ~ н.~ Я/.
41 Ф -' ~ >р .I) р ! -Ж +)' Переходя от 7; к Ы М 8, получаем гЛ .у Г гу и~' ~ у) — ~ я.-у + ~ ~+у)8 — — ~я'+у-~)8 — ~х-у-/)~= ~У 3 Я = х-~/ — — + — 8 Начальные условия задачи Коши можно задавать на любой дуге кривой, ни в одной точке не касающейся характеристики. Область судество- ванкя ~кли область зависимости от начальных данных) решения будет в этом случае ограничена данной дугой и характеристиками, прохо- дящими через концы дуги. )Ьогда после приведения уравнения к каноническому виду удает- ся проинтегрировать преобразованное уравнение.
Тогда решение зада- чи Коши можно выделить из общего решении, удовлетворяя начальным условиям. Пеиче~2. Ревить вяз~у Коаи: х я ю + у м д а~,;; =;с, яу~ „- д, ( 'С~д3 и указать область зависимости решения от начальных данных. Решение. Находим характеристики: (") ' '® г 3/ + Я~~ ' сцть51 ° Приводим уравнение к каноническому виду, взяв за новые переменные ~~~=ГИ +~, р = ~Ж-~ Г7 Положим Ю~~,)/) = й~'~ ~) Тогда Й = О, откуда я~ = ~~' ') + ~~' р), где ~, ~ — произвольные дважды дифМ- ренцруемые ф,нкцик. БОзврзщаясь к переменным ж,,/ , получим а ~:с, у) = ~ ~ 2 )/~ + ) ) + ~~( Я й — у), ~Ь начальных условий имеем: и~ „ = х' = ~' ( г )~~') + ~ ~ г У7') , <Э.б) 1~(у-ОПЯ)'~с)~~(Г)с) Р.
~) ,~иффсронци уя пе,:вое уравненке па:С, получаем г'~ .~).~ ) + — '-д'~~~l~ ) . д.в) границы которой задаются начальные условия только значения искомого решения. Приме~ б. Ыеаить амеавнную зеАвчу Аля и = а, в области 0~7ЯЕМ (рис. ы! .. -П. ~ 3 о 0-ж41 У ~~~~ т д ц4 ~ й Я на И заданы начальные условия Коши; з - / а з" < и з ж=л,Р 1~8 -4~+у~ на ОЯ и на (3 заданы значения решения. Решение. 1. Характеристики уравнения: 1-л -сии~ и й+;с = сапз~. Решим сначала задачу Коши в треугольнике ОМАМ, прилегающем к стороне ПЗ, на которой заданы начальные условия Коши, и ограниченном характеристиками ПМ и МЛ (рис. З.З, область 1).
По формуле Даламбера получим: и(.т,~) = „~ ~ ~" Ф~ = — ~(:с 1)"- ( ~-~)'1, х-1 2. Теперь в ) Л1СР (рис. З.З, область П) мокно решить задачу Гуров по значениям решения на характеристике МЗ и на стороне ь:.7 . Общее рещение данного волнового уравнения имеет вид О(.т:,~) = ( (' ~'+~) + ~'; ~:-~) . На МЗ: ~т~=2, 1а м ~2 имеем ~(~) + ~ (Г-1~) - — ' ~ 8- ~~ у~)~1 инаСЗ: ~=Л, П~~ ='~ , получим Д2+ ) +д(-"-~3 = 4~ + — ';.~. Из второго равенства при ~~+~ - ~~, 4 „~. д)+ ~(4 ~)з Тогда ~~ ( ~ + у = ',' ( ~+ 1 - Л ) + ~; ~ ~ + ( — ~ ) + у ( ' †.'~ - ~ ) — —.( х-~) = —.' ~ л ~~, ° з ~, )з „.
д1 ь ' Т~ 3. Наконец, в параллелограмме О~В~ (рис. 3.3, область Ж'., ограниченном характеристиками, решаем задачу Гуров по значениям решения на сторонах Р1 и БГ~' . Снова берем общее рещение и(.х,й =~~' --1)+у.(.~-,'.) . Кв РС: = ж, 0 < я: ~ Г„ будем иметь Я,' ~~'~х,) +у,'П) = ~ 8;~, и на 0Я: ~ = — л'., — ~ = ж = ~?. получим ~Я ~- (у~ ".д) =- — х 3 а иэ условия согласования в точке О(О, О): 1М ° К~~)-~,, * Иэ первого равенства имеем ~(л) - — х — Д~ Л, иэ второго ~рж) — — х: -~ ('б?. Тогда с учетом условия согласования получчм в я(х,1) = ~~ ~ (.с~~)~ — ('л-6~~ ~ Ответ: И~ Х ~3 = — ~ ~М~~1 — ~х-И) ~ во всей области А~ВП? .
Заметим, что при несогласованных данных на Бу „Пу и Ю решение, вообще говоря, будет иметь разрывы на "стыках" областей 1, П и Ш как слабые (когда разрывны производные решения), так и сильные (когда раэрывно само решение). (Проверьте, что если задать на Ы значение решения так: ю ~х, 4~ = М, то в области П получится решение и, ('м,й) - — — 4(' с+1,) +1('х'+~3~- — ('я'+1)' — ~ (' -Й,), значения которого и его нормальная производная 1-го порядка на МЮ совпадают со значениями и нормальной производной 1-го порядка решения в области 1, но их нормальные производные 2-го порядка не совпадают.
Таким образом, при "склеивании" на А)3 решений в областях 1 и П получим решение с разрывной второй производной на МЗ.) Рассмотрим метод характеристик решения гиперболических систем двух кваэилинейных уравнений относительно а ( х, У) и з ~~,)?). Пусть в области 3 определена система ~„©~ + А,л ~х + ~„'~у + 4~~ '5 = ~~ (3.9) ~и ~х + ~влв'~';е + ~э~ ~у + ~юг ~Ъ козфрициенты которой а,", 6,, ~'. являются непрерывными функ- циями м, )?,и, ъ". Пусть в области ее определения расположена гладкая дуга ?:~? = кг Постановка з ачи Коши. Известны значения решений системы (3.9) на l 4г='~-) '1, = У(') (З.1О) Иайти а ( ~, ~? ) и т( ~,)? ) в окрестности ? ~,~ 8,~ - б ~Ю,)) .
Предполагаем, что решение априори сушествует. ЫЯ с2'Р' откуда;4 + 3 = Р или, + г, интегрируя зто уравнение, получаем, что на Д : У = ~ ~ и +'х~' " ст (3. 1Ь) 3. Из (3.14) в первом случае для любой М(.х,'у«ф /, У= х находим уравнения проходяпях через нее характеристик МЯ и МВ соответственно 1-го и П-го семейства: м/: у -~7, И 3: ~ — Ф' = =' ~' 'с — ~ « и точки пересечения их с / (рис. 3.4); //(-У, У/, В~Ух — — '- ~, — у '+ — /~ . Г;ф -'ис. 3.5 С огласно условию (3.15) нз /д/ и начальным условиям (3.14) на /, имеем: ( и-'~"«~ = ( "-='«~ = 'и — у = — )/ - у = — 3У (3 17) М Аналогично, согласно условии (3.16) на ,.7' и начальным условиям (3.14) на /, имеем." ~+~"«~ = ( 'и+т'«~в ."-,~+ )/в д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
