Главная » Просмотр файлов » Методы дифференциальной геометрии в задачах механики

Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092), страница 5

Файл №1014092 Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (Методы дифференциальной геометрии в задачах механики) 5 страницаМетоды дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092) страница 52017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

т 1.5, Плоская к ивая ее ивизна и валюта Пусть на плоскости имеется некоторая гладкая кривая / и скалярный параметр ~ определяет положение текугцей точки Р на этой кривой. Опишем кривую радиусом-вектором г ('г,) из некоторой постоянной точки О в переменную точку кривой (рис. 1Я). Производные вектор-функции г-(Е) лежат в плоскости кривой. Действительно, г)1" г(1 гг|)-Гф , значит, ~+ лежит в этой плоскости, l «.,Я' отсюда и у -ггггг — лежит в этой плоскости. Рассуждая зналг-о лг логично, докажем, что и )" находится в той же плоскости л т.д. уравнение касательной к кривой в точке Г 9 ) звпиюем в виде «-хо у уо или - — г х'й,) 1г'йо) сггг го сов,гго Отсюда »' г г У «у'-х"у' о хуа-хау' (1.1) у = '~Х» координаты центра кривизны опрелеляют фор- Дя кривой мула»ги г" ф')~, МУ'/ У' Р У+ У" (1.2) л4 где ха «Йа)» Уа У(га) соь»со -,, » соо.да = Х Йа) У Йа) х(,)*-уф) ' х ((,)"Ууг,) В плоском случае мокно еще определить понятое нормали в точке Р кривой, т.е.

прямой, принздлежацей данной плоскости и проходящей через точку Ро перпендикулярно касательной. Пусть оЮ - угол смеиности, |уЛ ( - длина дуги Р,Р кривой. Обозначим через (а и ц углы, образованные полокительньми нзправ- лениями касательных в точках Р, ф~о+лц и Р соответственно с осью()х . Тогда при любом рзсполокении тор чек Р, н Р для у сме ности 49 г)о справедливо соотноаение ЖИ Р (С) л8 - ),<-х,) ° иля г)0- (о,( ! (рис. 1.8). По определению кривизна с в точке Ро кривой рав- О 4, на .ределу отноюения 4а- !о1 ~ Рис.

1.8 (если он существует), когда Р-Р . Предел отноиения — - ~ — ( при о) О для глщккой кривой существует, и ,,, '~о ~ '. Пусть кривизна в ~ О. Тогда вектор т касательной аг-о ~аг ) и вектор главной нормали р лекат в плоскости кривой, поэтому эта плоскость является соприкасзкщейся плоскостью для кривой и Ю = О. Значит, т =л»г , 7 =-$ т' . Из общих формул для вычисления кривизны в случае .~Я-(х(г.),у(()) получим )х)"-х"у' ( о » »г »г)г»» Обозначая через в ,Р координаты центра кривизны кривой, записываем %=«»»' х, о у+(»у, где г у"- (ау' (гу' ' ~ )г)' мли х- йзт.'та а6 г ~+ Рсоз ас . (1,З> Равенства (1.1) задают царзметрические уравнения зволюты кривой х х(г), у' = у(г), Если рассматривать х как параметр, то параметрические уравнения эволюты кривой у ,~(х) записываются в виде (1.21.

гинею б. Докэжем, что эволютой циклоиды х-а(г-ыиг), у-а~Г-соэг) является смещенная циклощла. Вычислив производные л'Й), у'Я, х"9), у"Я и подставив их в параметрические уравнения эволюты (1. 1), получим ф - й ( 6 зюгг г ), р-а (~"оу ~- и) . Положим в этих соотношениях Е-г -~с , тогда Р-й(?-ать)-Ха,д-а)эглг/Лг, откуда видно, что эволютой цикле(пв является также циклоида, смещенная относительно данной.

Рассмотрим два свойства эволюты. Свойство 1. Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте. Для доказательства предположим, что/(х) имеет на рассматриваемом отрезке изменения Х непрерывную третью производную. Дифференцируя равенства(1 5), получаем мр-пл'-Ажвс~Ы- -ып*йй, 3у-3~-лвиймои4гЪевет «и, что КСО5а~с~ос —.~~4 Кт ЙБ~ВАА* —.АА Й~ х )' м / ° с У поэтому йф — 51пыдл' пр гпз м17 — — Бфсс — (~й 0), 1р Ф~ ~ Фф ' ~Кф ф~ ~б' Свойство 2.

Длина луги ь",Сл эволюты равна модулю разности радиусов кривизны кривой в точках 6; и бл . Действительно, на основании первого свойства запишем квздуат дифференциала,клины дуги ~й эволюты в виде сй Ыр +ф г~Р, откуда ( — )-~ и Пусть с возрастанием й длина луги также возрастает, тогда Й вЂ” н ЫЮ -А Р )+б' У Р где ь" — произвольная постоянная. Значит, прирзщение радиуса криеизны И равно приршлению длины дуги зволюты (как по величине, тзк и по знаку).

Если длина дуги эволюгы как фонаря радиуса кривизны Я есть убывающая функция, то гЯ и д1 имеют противоположные знаки. Если Х изменяется монотонно, то абсолютные величины приращений разиуса кривизны и длины дуги равны. Эти свойства эволюты имеют следумкие истолкования: 1. Данная эволюта имеет бесчисленное мнокество эвольвент, причем любме звольвенты имеют общие нормали и расстояния мекду ними по нормали равны.

2. Если на эволюту натянута нить, то эвольвента получается квк траектория конца нити при ее сматывании (или наматывании) при условии, что нить находится в натянутом состоянии. Эзолюта- кривая, иоторая развертывается. ЭвольУ зенте — кривая, которая является разверткой другой кривой и получается в результате сматыввния натянутой нити с контура, имеющего форму эволюты. Особо званое значение имеет звольх вента (развертка) окрукности, так как профили подавляюиего больюинства зубьев у зубчатых колес очерчены с бояов дугаРис.

1.9 ми этой эвольвенты. (меэй7. Получим уравнение эволюты кривой х-а(сонг .(з)п~), у-а(ап(-(соб(). Нвй(яем цроизводные л'-а1ыз~,х' и(со~-~лу В,у'-а~лу у л'г т Кь- ~; М. ~! х'к -л" у' Пзриметрические уравнения эволюты (1.1) ззпииутся в видай-асл~', г-ал'п1 . Исключая параметр ~,получаем уравнение Р~ Рл-а' окрукности с центром в начале координат и радиусом й . Исходная кривая является разверткой окрукности (рис. 1.9).

Г л а в а 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЭЕРХНОСТЕЙ т 2.1. Касат ьная плоскость и но аль к позе хности Пусть задана поверхность 8 своим векторно-парамзтрмческим уравнением у' Г~и,~г), (я,ь)з ~ сЯ (2.1) где вектор-функция Г(и, и ) двакды дифференцируема по и, ь", т.е. координаты вектора Г - скалярные функции л(а, и), у(и,г), 2(и, ь ) двух вещественных переменных - двачды дифференцируемы на О . Назовем такую поверхность Я регулярной.

Заметим, что представление поверхности 3 в векторно-параметрическом виде (2,1) не является единственньив. Точнее, в окрестности яюбой точки Р7„ с координатами л,, у , др (которой соответст- вувт значения параметров и,, и'; пищут Мо - ( иэ,и' )) регу- лярной поверхности л существует бесчисленное мноаество ее пара- метрических представлений. В самом деле, пусть задана поверхность (2.1) и две регулярные й()нкции )г (м, Р ), р'(й, й), удовлетворя- ющие условиям ~л Р~ыо %) ~ )лп Фу ~ ~ап (2.2) гВ -~Г(ид,р,.) ~ (д„' Фг 1й.ы, ~.Ь Тогда, очевидно, уравнение у ут ()~(й, й), ~г (й, 7)) р ( м, т ) (2.3) задает в окрестности точки Мл параметрическое представлений той ке поверхности.

По теореме о неявных Функциях условие невырокден- ности (2.2) означает, что соотношения и ~д ((л,Р ), и = (г (а,й) устанавливают взаимно-одноэначное соответствие изиду окрестностя- ми точек ( ы~, ~~ ) и ( й,,гЯ ) в плоскостях а, ь' и тл,й' . Все параметрические представления, удовлетворявшие условиям невырок- денности (2.2), называются допустиьпни. Будем для простотм считать мнокество 1, в (2.1) выпуклой областьв, т.е, пересечение кмтдой прямой и =и или и = Ф» с ззмкнутой областьв 1, состоит иэ одного отрезка (в частном случае из точки) или пусто. Тогда образы этих отрезков у Г ~ио,~г ) и т' -г' (м,и ) при отображении (2.1) называются координатными и- яиниями н К - линиями соответственно, а сами уравнения задаст параметрические представления этих кривых на поверхности.

Говорят, ,бр у ~...р, Я о,,~ лап линатемн поверхности. Эта териинология оправдывается теми обстоя- тельствами, что никакие две ы -линии ( ь - линия) не имеют общих точек, а задание значений и и Р однозначно определяет точку М- (и,о') на поверхности о . Если в плоскости координат и, г задана некоторая кривая и-ий),~"-ю Й), Е ~ср1, то образом этой кривой при отобра- аении (2.1) такие будет кривая, лекащая на поверхности .Я и име- ющая параметрическое представление Г -Г(и(~),к~В) -Г Й), ~ и (и, Н) . Векторы ,р~ Йи ~~и.ти) ~и ф~г Йр ~ уи ~ лгг,). являются касательными векто ами к координатным линиям на поверхности 3 в точке М-(и,и ). Анзлогищсял образом определяется касательный вектор и любой кривой на новсрхности. вм~н~ът ~~ О5 ~ - ~ ~<щ,') веется обыкновенной (неособой) точкой поверхности б, если каса- тельные векторы в втой точке существуют и линейно неэависимм (не- коллинеа)ны), Остальные точки поверхности называются особьыи точ- ками.

р г-[Р,Р], ю м~ ~л~ щ)м поверхности в данной точке при денной ее парвметризации. Ясно, что точка М- (и,~ ) будет особой точкой регулярной поверхности з тогда и только тогда, когда ЛГ О. )впыи словами, точка М- (и ,и' ) поверхности Х обыкновенная (неособая) тогда и только тогда, когда ь ув и~ 6„. К ~л„у, лг Подчеркнем, что располокение квкдого из касательных векторов в точке М зависит от конкретной парвмэтриэации поверхности б . Поэтому понятия особой и обыкновенной точек поверхности,казалось бы,зависят от ее конкретной парвметриэации. Докэием, что зто не так.

В самом деле, пусть в окрестности точки Ирл8 введена другая царвметризация о =Ос (~с,0 ), (й,ь')вас~?, удоэлетворяюцвя в точке М„условиям (2,2) (доквзательстэо суцествоввния таких функ- ций (0(Й,0') и ФГ (й,К) здесь проводить не будем; см., например, работу [7, с. 177~). Продифференцируем (2.3) по й и о7 . Получим р- -(л0г„~„.-Р,,о -~-г„щг (2.4) Следовательно, «~'~~(ЪЮм ~" ~ 1Ж" ~н Используя условия невырокденности (2.2) в точке Иэ, приходим к ванному выводу: при переходе к любой другой допустимой парэметри- звции поверхности в любой ее точке меняется ликь длина нормаэьно- го вектора, но не его нвправление.

Отсюда, в частности, следует, что если точка Фэ была особой (обыкновенной) точкой поверхности о' при какой-либо ее парвметризации, то при любой другой допусти- мой ее парвметризацин точна Мр останется особой (обыкновенной). Поимею 1. Рассмотрим поверхность л- а~ 0 - и ~, х=-ю',(и,ю)эЯ, Для вектсроэ ~;,,г, и Х - (г„,)„ ! получаем .„ -(2м,уи, О) Т' - (00,~ ), Л7 - (Уил, -Еи, 0 ) . Следовательно, вся ось вппликат .г =л О состоит из особых точек этой поверхности. Ппимер 2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,45 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее