Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092), страница 5
Текст из файла (страница 5)
т 1.5, Плоская к ивая ее ивизна и валюта Пусть на плоскости имеется некоторая гладкая кривая / и скалярный параметр ~ определяет положение текугцей точки Р на этой кривой. Опишем кривую радиусом-вектором г ('г,) из некоторой постоянной точки О в переменную точку кривой (рис. 1Я). Производные вектор-функции г-(Е) лежат в плоскости кривой. Действительно, г)1" г(1 гг|)-Гф , значит, ~+ лежит в этой плоскости, l «.,Я' отсюда и у -ггггг — лежит в этой плоскости. Рассуждая зналг-о лг логично, докажем, что и )" находится в той же плоскости л т.д. уравнение касательной к кривой в точке Г 9 ) звпиюем в виде «-хо у уо или - — г х'й,) 1г'йо) сггг го сов,гго Отсюда »' г г У «у'-х"у' о хуа-хау' (1.1) у = '~Х» координаты центра кривизны опрелеляют фор- Дя кривой мула»ги г" ф')~, МУ'/ У' Р У+ У" (1.2) л4 где ха «Йа)» Уа У(га) соь»со -,, » соо.да = Х Йа) У Йа) х(,)*-уф) ' х ((,)"Ууг,) В плоском случае мокно еще определить понятое нормали в точке Р кривой, т.е.
прямой, принздлежацей данной плоскости и проходящей через точку Ро перпендикулярно касательной. Пусть оЮ - угол смеиности, |уЛ ( - длина дуги Р,Р кривой. Обозначим через (а и ц углы, образованные полокительньми нзправ- лениями касательных в точках Р, ф~о+лц и Р соответственно с осью()х . Тогда при любом рзсполокении тор чек Р, н Р для у сме ности 49 г)о справедливо соотноаение ЖИ Р (С) л8 - ),<-х,) ° иля г)0- (о,( ! (рис. 1.8). По определению кривизна с в точке Ро кривой рав- О 4, на .ределу отноюения 4а- !о1 ~ Рис.
1.8 (если он существует), когда Р-Р . Предел отноиения — - ~ — ( при о) О для глщккой кривой существует, и ,,, '~о ~ '. Пусть кривизна в ~ О. Тогда вектор т касательной аг-о ~аг ) и вектор главной нормали р лекат в плоскости кривой, поэтому эта плоскость является соприкасзкщейся плоскостью для кривой и Ю = О. Значит, т =л»г , 7 =-$ т' . Из общих формул для вычисления кривизны в случае .~Я-(х(г.),у(()) получим )х)"-х"у' ( о » »г »г)г»» Обозначая через в ,Р координаты центра кривизны кривой, записываем %=«»»' х, о у+(»у, где г у"- (ау' (гу' ' ~ )г)' мли х- йзт.'та а6 г ~+ Рсоз ас . (1,З> Равенства (1.1) задают царзметрические уравнения зволюты кривой х х(г), у' = у(г), Если рассматривать х как параметр, то параметрические уравнения эволюты кривой у ,~(х) записываются в виде (1.21.
гинею б. Докэжем, что эволютой циклоиды х-а(г-ыиг), у-а~Г-соэг) является смещенная циклощла. Вычислив производные л'Й), у'Я, х"9), у"Я и подставив их в параметрические уравнения эволюты (1. 1), получим ф - й ( 6 зюгг г ), р-а (~"оу ~- и) . Положим в этих соотношениях Е-г -~с , тогда Р-й(?-ать)-Ха,д-а)эглг/Лг, откуда видно, что эволютой цикле(пв является также циклоида, смещенная относительно данной.
Рассмотрим два свойства эволюты. Свойство 1. Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте. Для доказательства предположим, что/(х) имеет на рассматриваемом отрезке изменения Х непрерывную третью производную. Дифференцируя равенства(1 5), получаем мр-пл'-Ажвс~Ы- -ып*йй, 3у-3~-лвиймои4гЪевет «и, что КСО5а~с~ос —.~~4 Кт ЙБ~ВАА* —.АА Й~ х )' м / ° с У поэтому йф — 51пыдл' пр гпз м17 — — Бфсс — (~й 0), 1р Ф~ ~ Фф ' ~Кф ф~ ~б' Свойство 2.
Длина луги ь",Сл эволюты равна модулю разности радиусов кривизны кривой в точках 6; и бл . Действительно, на основании первого свойства запишем квздуат дифференциала,клины дуги ~й эволюты в виде сй Ыр +ф г~Р, откуда ( — )-~ и Пусть с возрастанием й длина луги также возрастает, тогда Й вЂ” н ЫЮ -А Р )+б' У Р где ь" — произвольная постоянная. Значит, прирзщение радиуса криеизны И равно приршлению длины дуги зволюты (как по величине, тзк и по знаку).
Если длина дуги эволюгы как фонаря радиуса кривизны Я есть убывающая функция, то гЯ и д1 имеют противоположные знаки. Если Х изменяется монотонно, то абсолютные величины приращений разиуса кривизны и длины дуги равны. Эти свойства эволюты имеют следумкие истолкования: 1. Данная эволюта имеет бесчисленное мнокество эвольвент, причем любме звольвенты имеют общие нормали и расстояния мекду ними по нормали равны.
2. Если на эволюту натянута нить, то эвольвента получается квк траектория конца нити при ее сматывании (или наматывании) при условии, что нить находится в натянутом состоянии. Эзолюта- кривая, иоторая развертывается. ЭвольУ зенте — кривая, которая является разверткой другой кривой и получается в результате сматыввния натянутой нити с контура, имеющего форму эволюты. Особо званое значение имеет звольх вента (развертка) окрукности, так как профили подавляюиего больюинства зубьев у зубчатых колес очерчены с бояов дугаРис.
1.9 ми этой эвольвенты. (меэй7. Получим уравнение эволюты кривой х-а(сонг .(з)п~), у-а(ап(-(соб(). Нвй(яем цроизводные л'-а1ыз~,х' и(со~-~лу В,у'-а~лу у л'г т Кь- ~; М. ~! х'к -л" у' Пзриметрические уравнения эволюты (1.1) ззпииутся в видай-асл~', г-ал'п1 . Исключая параметр ~,получаем уравнение Р~ Рл-а' окрукности с центром в начале координат и радиусом й . Исходная кривая является разверткой окрукности (рис. 1.9).
Г л а в а 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЭЕРХНОСТЕЙ т 2.1. Касат ьная плоскость и но аль к позе хности Пусть задана поверхность 8 своим векторно-парамзтрмческим уравнением у' Г~и,~г), (я,ь)з ~ сЯ (2.1) где вектор-функция Г(и, и ) двакды дифференцируема по и, ь", т.е. координаты вектора Г - скалярные функции л(а, и), у(и,г), 2(и, ь ) двух вещественных переменных - двачды дифференцируемы на О . Назовем такую поверхность Я регулярной.
Заметим, что представление поверхности 3 в векторно-параметрическом виде (2,1) не является единственньив. Точнее, в окрестности яюбой точки Р7„ с координатами л,, у , др (которой соответст- вувт значения параметров и,, и'; пищут Мо - ( иэ,и' )) регу- лярной поверхности л существует бесчисленное мноаество ее пара- метрических представлений. В самом деле, пусть задана поверхность (2.1) и две регулярные й()нкции )г (м, Р ), р'(й, й), удовлетворя- ющие условиям ~л Р~ыо %) ~ )лп Фу ~ ~ап (2.2) гВ -~Г(ид,р,.) ~ (д„' Фг 1й.ы, ~.Ь Тогда, очевидно, уравнение у ут ()~(й, й), ~г (й, 7)) р ( м, т ) (2.3) задает в окрестности точки Мл параметрическое представлений той ке поверхности.
По теореме о неявных Функциях условие невырокден- ности (2.2) означает, что соотношения и ~д ((л,Р ), и = (г (а,й) устанавливают взаимно-одноэначное соответствие изиду окрестностя- ми точек ( ы~, ~~ ) и ( й,,гЯ ) в плоскостях а, ь' и тл,й' . Все параметрические представления, удовлетворявшие условиям невырок- денности (2.2), называются допустиьпни. Будем для простотм считать мнокество 1, в (2.1) выпуклой областьв, т.е, пересечение кмтдой прямой и =и или и = Ф» с ззмкнутой областьв 1, состоит иэ одного отрезка (в частном случае из точки) или пусто. Тогда образы этих отрезков у Г ~ио,~г ) и т' -г' (м,и ) при отображении (2.1) называются координатными и- яиниями н К - линиями соответственно, а сами уравнения задаст параметрические представления этих кривых на поверхности.
Говорят, ,бр у ~...р, Я о,,~ лап линатемн поверхности. Эта териинология оправдывается теми обстоя- тельствами, что никакие две ы -линии ( ь - линия) не имеют общих точек, а задание значений и и Р однозначно определяет точку М- (и,о') на поверхности о . Если в плоскости координат и, г задана некоторая кривая и-ий),~"-ю Й), Е ~ср1, то образом этой кривой при отобра- аении (2.1) такие будет кривая, лекащая на поверхности .Я и име- ющая параметрическое представление Г -Г(и(~),к~В) -Г Й), ~ и (и, Н) . Векторы ,р~ Йи ~~и.ти) ~и ф~г Йр ~ уи ~ лгг,). являются касательными векто ами к координатным линиям на поверхности 3 в точке М-(и,и ). Анзлогищсял образом определяется касательный вектор и любой кривой на новсрхности. вм~н~ът ~~ О5 ~ - ~ ~<щ,') веется обыкновенной (неособой) точкой поверхности б, если каса- тельные векторы в втой точке существуют и линейно неэависимм (не- коллинеа)ны), Остальные точки поверхности называются особьыи точ- ками.
р г-[Р,Р], ю м~ ~л~ щ)м поверхности в данной точке при денной ее парвметризации. Ясно, что точка М- (и,~ ) будет особой точкой регулярной поверхности з тогда и только тогда, когда ЛГ О. )впыи словами, точка М- (и ,и' ) поверхности Х обыкновенная (неособая) тогда и только тогда, когда ь ув и~ 6„. К ~л„у, лг Подчеркнем, что располокение квкдого из касательных векторов в точке М зависит от конкретной парвмэтриэации поверхности б . Поэтому понятия особой и обыкновенной точек поверхности,казалось бы,зависят от ее конкретной парвметриэации. Докэием, что зто не так.
В самом деле, пусть в окрестности точки Ирл8 введена другая царвметризация о =Ос (~с,0 ), (й,ь')вас~?, удоэлетворяюцвя в точке М„условиям (2,2) (доквзательстэо суцествоввния таких функ- ций (0(Й,0') и ФГ (й,К) здесь проводить не будем; см., например, работу [7, с. 177~). Продифференцируем (2.3) по й и о7 . Получим р- -(л0г„~„.-Р,,о -~-г„щг (2.4) Следовательно, «~'~~(ЪЮм ~" ~ 1Ж" ~н Используя условия невырокденности (2.2) в точке Иэ, приходим к ванному выводу: при переходе к любой другой допустимой парэметри- звции поверхности в любой ее точке меняется ликь длина нормаэьно- го вектора, но не его нвправление.
Отсюда, в частности, следует, что если точка Фэ была особой (обыкновенной) точкой поверхности о' при какой-либо ее парвметризации, то при любой другой допусти- мой ее парвметризацин точна Мр останется особой (обыкновенной). Поимею 1. Рассмотрим поверхность л- а~ 0 - и ~, х=-ю',(и,ю)эЯ, Для вектсроэ ~;,,г, и Х - (г„,)„ ! получаем .„ -(2м,уи, О) Т' - (00,~ ), Л7 - (Уил, -Еи, 0 ) . Следовательно, вся ось вппликат .г =л О состоит из особых точек этой поверхности. Ппимер 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
