Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092), страница 6
Текст из файла (страница 6)
На поверхности л-и -и, у-Ги~ л = Ф(и, г ) есть 7 л всего одна особая точка х = О, ~= О, Х -х'('0,0). ~~имер 3. Поверхность (сфера ракиуса 5 с центром в начале координат) л-Всози созг, у-Ьиьиьупь', д-Ьзьпи,-хижа.~, -"Я мил Я не имеет особых точек. Более подробно с теорией особых точек поверхностей можно познакомиться, например, в работах [5, 7]. В дальнейшем, специально зто не оговаривая, будем рассматри- вать лишь неособенные точки поверхностей, т.е. такие точки, в ко- торых при любой доцустимой парзметриэации поверхностей существуют касательные векторы и они не коллинеарны. Поверхности без особых точек будем нвзывать глайкю~и, РассмотРим обыкновеннУш точкУ Мз1 д;, Уь ,го ) повеРхнооти (2.1) и нормальный вектор Л~ Я ,1' ), где производные вычис- ляются в данной точке.
-ь~ ° векто м иове ости в денной точке. Из (2,5) следует, что,эля двух различных допустиыых цараметризаций соответствукщие им аки- ничные нормальные векторы равны или противоположны, т.е. равны цо длине, коллинеарны и сонаправлены или противонаправиены. Дифференциальная геометрия, как следует уже из ее названая, имеет дело в основном с локальюии понятивии. Однако ее методы позволяют получить и некоторые глобальные выводы. Одним иэ таких глобальных понятий является понятие о ент и нове хности.
Если на поверхности нет ни одной особой точки, то ее нормальный еди- ничный вектор является непрерывной функцией точки поверхности. В р~ ю р а р ориентацией поверхности. Ясно, что если П вЂ” ориентация поверх- ности, то противоположный вектор -й - также ее ориентация. Других ориентаций нет. Одну из этих опиентаций назовем положительной, другус — отрицательной, При другой параметрлэации ориентация мо- жет измениться на противоположную, а мокет остаться прежней (см. (2.5)). В дальнейшем в качестве допустимых будем рассматривать параметризации„ не изменяожне ориентации гладкой поверхности.
Ддя этого согласно (2.5) недо„ чтобы якобиан перехода к новым коорди- натэч на поверхности был положителен. Отметим, что понятие ориен- тацил поверхности можно ввести и в случае наличия на ней особых точек [ 1). В теооии поверхностей большое значение имеют прямая и плос- чос ь, ~~я которых нормальный вектор поверхности является соответ- стьенно направлявшим и нормальным вектором. (2.7) Сп)гедыенние. Прямая, проходящая через двинув точку параллель- но нормальному вектору поверхности в данной точке, называется ноП- маяью к позе хности в этой точке.
мюююий О»~ ~% ~ ~ э у" $ дикулярно нормали к поверхности в точке, называется касательной плоскостьв к поверхности в этой точке. Подчеркнем еще раз, что приведенные геометрические определе- ния нормали и касательной плоскости не зависят от парзметризэции поверхности. Составим уравнения нормали и касательной плоскости для раз- личных способов задания повершностей. Пусть поверхность зщпзна в параметрическом виде (2.1). Примем Кссрггяиатм ВЕКтОра ЯГ ='(г;, ,7; ~ В дЗННОй ТОЧКЕ Мле 8 Эа КООр- динаты направляхщего вектора нормали и вместе с кооркинатами хг, у,, х начальной точки подотавим их в канонические уравнения пряной.
Тогда имеем уравнения нормали к поверхности о в точке М,: 1,"::; 1„1:".-':1„!.": ,"; 1, где все производные вычисляются в точке Мг, а," = (х,и д, )- текущий радиус-вектор произвольной точки нормали. Касательная плоскость перпендикулярна нормальному вектору г)г = ~7'„,Г,', ). Следовательно, ее векторное уравнение можно запи- сати в одном из двух видов (Р-г,,У)-(7 ~-> ('г-~,,г'„,гт ) -г), В координатном виде второе из этих уравнений будет «-л'о ' у уг «-хо1 як ~и Лгг 1 () > Хг. г' ° Хг где опять при вычислении частных производных надо положить и - и, г" -гг, Пруер 4, Составим уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности гг-Яи-гг; р' =и .гг', я=и~ г'~, (и,г )~г2 в точке Мг( 3, 5, 7).
Прежде всего найдем значения параметров и, го, соответству- шщих точке М„. Система уравнений Ги„-г -у, и .ггг - Х, ил - ~~~ = 7 имеет единственное рещение: и~ = 2, гВ = 1. Векто- ры Г'., г' в произвольной точке (и,г ) имеет вид Гя =гГ,;и 9иг) Х' -г'-г', ггг- Уг'") . Подсчитав их в точке Мл и подставив их косрди- (2.10) 31 натм в (2.7), получим уравнение касательной плоскости: 18л + Зу - 4« - 41 = О.
Найдеиные координаты векторов х„' и~„ в точке Мр подставим в (2.6). Получаем уравнение нормали к поверхности в точке Мо. л-3 У~ уЯ у -Ф Пусть поверхность Н задана по методу Эйлера - )(знка уравнением у =,~ ( х,у ). Положив х=и, у ь , « ,~ (и,~ ), получим Л„ = 1, у„ = О, «„ =,~„, Х, = О, у, = 1, «„ =/„ . Следовательно, уравнение касательной плоскости принимает вид Г-А> - (л'-«о)/х ('К-7о~ф т (2.8) а уравнения нормали Х- Х вЂ” -~ — « (2.Я гле частные производные ~гл,,ф вьгюсляются в точке Ы,~к„у ) Пусть поверхность о задана неявно уравнением Г(л,у «) с~ в котором Р' считается дифференд~руемой функцией своих переменных.
Пусть .~ = Р (и,г" ) - какая-нибудь парзиетризз«уя етой поверхности в окрестности точки Мр. Подстановка вырзкений Х-х(м,г), у у~и,ь), Ф=«(и,г ) в уравнение г'(х,у,«) = 0 приводит к токдеству относительно и и ю", продифференцировав которое по и и з", получим: ~'х„+$„у„+Р,' г„-о; где все производные вычисляются в точке Мз (х~, у,,«~). Если ввести неиулевой вектор р = (Г ,Е' ,У~ ) (называемый грцкиентом функции.Г ~т,у,« ).), то уравнения (2.10) изино переписать в виде (~,г'„' ) = О, (~, " ) = О.
Следовательно, вектор коллинеарен вектору Л~ = [ г„' ,Г ) . Позтому получаем уравнение касательной плоскости в векторном виде ( Р1; ,~~ ) = О. В координатной форме зто уравнение запииется так: (лл~)Я„ (У-р,ф„ («-«,)»; 3„, -(). (2.11) Уравнения нормали, как нетрудно получить из (2.6) и (2.10), в случае неявного задания цоверхности имеют вид (2.12) В заключение етого параграфа отметим одно вааиое геометрическое свойство касательной плоскости к поверхности, которое мокет быть принято за ее определение (5).
Пусть М, - (и,, ~~ ) и М- (и,з' ) - точки поверхности о в представлении (2.1), е я(„- обыкновенная точка поверхности к ( - касательная плоскость в ней. Пусть, наконец, Р— проекция точки )'т на плоскость Тогда 1( — ~ И, )1)) ~ (2.13) н ~, ~~уь)! причем точка М стремится к точке Х, цо некоторой кривой, оста- ваясь все время на поверхности. Можно также доказать, что плос- кость, удовлетворяющая условию (2.13), будет являться касательной плоскостью в симсле введенного ранее определения.
Таким образом, касательную плоскость моино определить как геометрическое место касательных ко всем кривым на данной поверхности, проходящим чере; данную точку. Говорят, что поверхность с и плоскость с имеют в точке ка- сание первого порцкка, а плоскость ( воспроизводит форму поверх- ности в окрестности точки касания в первом прибликении. Очевидно, представляет интерес построение простых поверхностей, которые вос производят форму данной поверхности з во втором, третьем и т.д. приближении. Примером такого подхода является понятие соприкаса- пцегося парвболоида, которое будет рассмотрено в т 2.3.
в 2.2. Г ссовы ко энты пе вого по ка. ивые линии на позе хности. Пл пове ости Рассмотрим параметрическое представление (2.1) регулярной поверхности Я и касательную плоскость к ней в произвольной обыкыовенной точке И (и ,ь ). Касательные векторы в этой плоскости образуют базис. Следовательно, любой вектор плоскости однозначно представим в виде линейной комбинации этих базисньк векторов. Поэтому выражение для первого дифференциала радиуса-вектора Г (и,и') в точке МеЯ, т.е. аР -?;, Ыи г' Ыи', молно трактовать как разложение вектора яг' иэ касательной плоскости по базису Х„'., с координатами Ыи „зэ" .
Рассмотрим квадрат длины этого вектора: яг ) -(т; 1и + Т Ы) -(г~, г «3и ) г(т'„, г яи Ы» -(гг„, Т я э ) ~~~щ . В .Е ()ээ,~а) Га ~ ~ Йэ ~~)=Ги~с я 0 Йр,1"ю 7 ~ (2 14) называются г соевыми ко ентвми пе ного по ка. Квадратичная форма ) я'г" 1 с з'и ГЛ~и з'э" +РА~ называется пе вой кв атичной ой пове хности. 8 силу определения первой квадратичной формы как иведрата длины некоторого вектора получаем, что зта форма является положительно определенной. Обозначим матрицу квадратичной формы (2.15) через Я . 'Тогда в соответствии с критерием Сильвестра положительнэл определенность первой квадратичной формы (т.е. положительная определенность ее матрицы -( ) означает, что Г-(, б.(, (гН-Га-Г' О, (2.16) причем первые два неравенства следуют непосредственно иэ определения геуссовых коэффициентов первого порядка.
Последнее неравенство можно переписать в виде )й((=Ц 1'„3~ ((„'( 1р)5(лф-',Г( (т„~ ~~-сОэ ф)-Г„т„' -(1„',т„') ЕД-~' >() где через (с обозначен угол между веиторами г„' и Г; . Следовательно, неравенства (2.16) оэначэют просто положительность квцпратов длин касательньм и норыального векторов,что для любой обыкновенной точки поверхности очевипно. Стсюда следует, что свойство (2.16) не зависит от конкретной пареметризации поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
