Главная » Просмотр файлов » Методы дифференциальной геометрии в задачах механики

Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092), страница 6

Файл №1014092 Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (Методы дифференциальной геометрии в задачах механики) 6 страницаМетоды дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092) страница 62017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

На поверхности л-и -и, у-Ги~ л = Ф(и, г ) есть 7 л всего одна особая точка х = О, ~= О, Х -х'('0,0). ~~имер 3. Поверхность (сфера ракиуса 5 с центром в начале координат) л-Всози созг, у-Ьиьиьупь', д-Ьзьпи,-хижа.~, -"Я мил Я не имеет особых точек. Более подробно с теорией особых точек поверхностей можно познакомиться, например, в работах [5, 7]. В дальнейшем, специально зто не оговаривая, будем рассматри- вать лишь неособенные точки поверхностей, т.е. такие точки, в ко- торых при любой доцустимой парзметриэации поверхностей существуют касательные векторы и они не коллинеарны. Поверхности без особых точек будем нвзывать глайкю~и, РассмотРим обыкновеннУш точкУ Мз1 д;, Уь ,го ) повеРхнооти (2.1) и нормальный вектор Л~ Я ,1' ), где производные вычис- ляются в данной точке.

-ь~ ° векто м иове ости в денной точке. Из (2,5) следует, что,эля двух различных допустиыых цараметризаций соответствукщие им аки- ничные нормальные векторы равны или противоположны, т.е. равны цо длине, коллинеарны и сонаправлены или противонаправиены. Дифференциальная геометрия, как следует уже из ее названая, имеет дело в основном с локальюии понятивии. Однако ее методы позволяют получить и некоторые глобальные выводы. Одним иэ таких глобальных понятий является понятие о ент и нове хности.

Если на поверхности нет ни одной особой точки, то ее нормальный еди- ничный вектор является непрерывной функцией точки поверхности. В р~ ю р а р ориентацией поверхности. Ясно, что если П вЂ” ориентация поверх- ности, то противоположный вектор -й - также ее ориентация. Других ориентаций нет. Одну из этих опиентаций назовем положительной, другус — отрицательной, При другой параметрлэации ориентация мо- жет измениться на противоположную, а мокет остаться прежней (см. (2.5)). В дальнейшем в качестве допустимых будем рассматривать параметризации„ не изменяожне ориентации гладкой поверхности.

Ддя этого согласно (2.5) недо„ чтобы якобиан перехода к новым коорди- натэч на поверхности был положителен. Отметим, что понятие ориен- тацил поверхности можно ввести и в случае наличия на ней особых точек [ 1). В теооии поверхностей большое значение имеют прямая и плос- чос ь, ~~я которых нормальный вектор поверхности является соответ- стьенно направлявшим и нормальным вектором. (2.7) Сп)гедыенние. Прямая, проходящая через двинув точку параллель- но нормальному вектору поверхности в данной точке, называется ноП- маяью к позе хности в этой точке.

мюююий О»~ ~% ~ ~ э у" $ дикулярно нормали к поверхности в точке, называется касательной плоскостьв к поверхности в этой точке. Подчеркнем еще раз, что приведенные геометрические определе- ния нормали и касательной плоскости не зависят от парзметризэции поверхности. Составим уравнения нормали и касательной плоскости для раз- личных способов задания повершностей. Пусть поверхность зщпзна в параметрическом виде (2.1). Примем Кссрггяиатм ВЕКтОра ЯГ ='(г;, ,7; ~ В дЗННОй ТОЧКЕ Мле 8 Эа КООр- динаты направляхщего вектора нормали и вместе с кооркинатами хг, у,, х начальной точки подотавим их в канонические уравнения пряной.

Тогда имеем уравнения нормали к поверхности о в точке М,: 1,"::; 1„1:".-':1„!.": ,"; 1, где все производные вычисляются в точке Мг, а," = (х,и д, )- текущий радиус-вектор произвольной точки нормали. Касательная плоскость перпендикулярна нормальному вектору г)г = ~7'„,Г,', ). Следовательно, ее векторное уравнение можно запи- сати в одном из двух видов (Р-г,,У)-(7 ~-> ('г-~,,г'„,гт ) -г), В координатном виде второе из этих уравнений будет «-л'о ' у уг «-хо1 як ~и Лгг 1 () > Хг. г' ° Хг где опять при вычислении частных производных надо положить и - и, г" -гг, Пруер 4, Составим уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности гг-Яи-гг; р' =и .гг', я=и~ г'~, (и,г )~г2 в точке Мг( 3, 5, 7).

Прежде всего найдем значения параметров и, го, соответству- шщих точке М„. Система уравнений Ги„-г -у, и .ггг - Х, ил - ~~~ = 7 имеет единственное рещение: и~ = 2, гВ = 1. Векто- ры Г'., г' в произвольной точке (и,г ) имеет вид Гя =гГ,;и 9иг) Х' -г'-г', ггг- Уг'") . Подсчитав их в точке Мл и подставив их косрди- (2.10) 31 натм в (2.7), получим уравнение касательной плоскости: 18л + Зу - 4« - 41 = О.

Найдеиные координаты векторов х„' и~„ в точке Мр подставим в (2.6). Получаем уравнение нормали к поверхности в точке Мо. л-3 У~ уЯ у -Ф Пусть поверхность Н задана по методу Эйлера - )(знка уравнением у =,~ ( х,у ). Положив х=и, у ь , « ,~ (и,~ ), получим Л„ = 1, у„ = О, «„ =,~„, Х, = О, у, = 1, «„ =/„ . Следовательно, уравнение касательной плоскости принимает вид Г-А> - (л'-«о)/х ('К-7о~ф т (2.8) а уравнения нормали Х- Х вЂ” -~ — « (2.Я гле частные производные ~гл,,ф вьгюсляются в точке Ы,~к„у ) Пусть поверхность о задана неявно уравнением Г(л,у «) с~ в котором Р' считается дифференд~руемой функцией своих переменных.

Пусть .~ = Р (и,г" ) - какая-нибудь парзиетризз«уя етой поверхности в окрестности точки Мр. Подстановка вырзкений Х-х(м,г), у у~и,ь), Ф=«(и,г ) в уравнение г'(х,у,«) = 0 приводит к токдеству относительно и и ю", продифференцировав которое по и и з", получим: ~'х„+$„у„+Р,' г„-о; где все производные вычисляются в точке Мз (х~, у,,«~). Если ввести неиулевой вектор р = (Г ,Е' ,У~ ) (называемый грцкиентом функции.Г ~т,у,« ).), то уравнения (2.10) изино переписать в виде (~,г'„' ) = О, (~, " ) = О.

Следовательно, вектор коллинеарен вектору Л~ = [ г„' ,Г ) . Позтому получаем уравнение касательной плоскости в векторном виде ( Р1; ,~~ ) = О. В координатной форме зто уравнение запииется так: (лл~)Я„ (У-р,ф„ («-«,)»; 3„, -(). (2.11) Уравнения нормали, как нетрудно получить из (2.6) и (2.10), в случае неявного задания цоверхности имеют вид (2.12) В заключение етого параграфа отметим одно вааиое геометрическое свойство касательной плоскости к поверхности, которое мокет быть принято за ее определение (5).

Пусть М, - (и,, ~~ ) и М- (и,з' ) - точки поверхности о в представлении (2.1), е я(„- обыкновенная точка поверхности к ( - касательная плоскость в ней. Пусть, наконец, Р— проекция точки )'т на плоскость Тогда 1( — ~ И, )1)) ~ (2.13) н ~, ~~уь)! причем точка М стремится к точке Х, цо некоторой кривой, оста- ваясь все время на поверхности. Можно также доказать, что плос- кость, удовлетворяющая условию (2.13), будет являться касательной плоскостью в симсле введенного ранее определения.

Таким образом, касательную плоскость моино определить как геометрическое место касательных ко всем кривым на данной поверхности, проходящим чере; данную точку. Говорят, что поверхность с и плоскость с имеют в точке ка- сание первого порцкка, а плоскость ( воспроизводит форму поверх- ности в окрестности точки касания в первом прибликении. Очевидно, представляет интерес построение простых поверхностей, которые вос производят форму данной поверхности з во втором, третьем и т.д. приближении. Примером такого подхода является понятие соприкаса- пцегося парвболоида, которое будет рассмотрено в т 2.3.

в 2.2. Г ссовы ко энты пе вого по ка. ивые линии на позе хности. Пл пове ости Рассмотрим параметрическое представление (2.1) регулярной поверхности Я и касательную плоскость к ней в произвольной обыкыовенной точке И (и ,ь ). Касательные векторы в этой плоскости образуют базис. Следовательно, любой вектор плоскости однозначно представим в виде линейной комбинации этих базисньк векторов. Поэтому выражение для первого дифференциала радиуса-вектора Г (и,и') в точке МеЯ, т.е. аР -?;, Ыи г' Ыи', молно трактовать как разложение вектора яг' иэ касательной плоскости по базису Х„'., с координатами Ыи „зэ" .

Рассмотрим квадрат длины этого вектора: яг ) -(т; 1и + Т Ы) -(г~, г «3и ) г(т'„, г яи Ы» -(гг„, Т я э ) ~~~щ . В .Е ()ээ,~а) Га ~ ~ Йэ ~~)=Ги~с я 0 Йр,1"ю 7 ~ (2 14) называются г соевыми ко ентвми пе ного по ка. Квадратичная форма ) я'г" 1 с з'и ГЛ~и з'э" +РА~ называется пе вой кв атичной ой пове хности. 8 силу определения первой квадратичной формы как иведрата длины некоторого вектора получаем, что зта форма является положительно определенной. Обозначим матрицу квадратичной формы (2.15) через Я . 'Тогда в соответствии с критерием Сильвестра положительнэл определенность первой квадратичной формы (т.е. положительная определенность ее матрицы -( ) означает, что Г-(, б.(, (гН-Га-Г' О, (2.16) причем первые два неравенства следуют непосредственно иэ определения геуссовых коэффициентов первого порядка.

Последнее неравенство можно переписать в виде )й((=Ц 1'„3~ ((„'( 1р)5(лф-',Г( (т„~ ~~-сОэ ф)-Г„т„' -(1„',т„') ЕД-~' >() где через (с обозначен угол между веиторами г„' и Г; . Следовательно, неравенства (2.16) оэначэют просто положительность квцпратов длин касательньм и норыального векторов,что для любой обыкновенной точки поверхности очевипно. Стсюда следует, что свойство (2.16) не зависит от конкретной пареметризации поверхности.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,45 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее