Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092), страница 9
Текст из файла (страница 9)
С учетом определений (2,15) и (2.28) гвуссовых коэффициентов первого и второго порядков пояучаем соотномения, называемые лами Вейнга ена: ГМ-ПЕ Е7.-ЕМ ~н йд гг г Ьы Ь Ь„= —, Ь„-, Позтому, приравнивая в (2.45) коэффициенты при базисных век- торах Р, г",, получаем два равенства, которые можно записать в векторном виде так; Ь 1 ~багз' 1' !!Б Ь 1 Следовательно, главные кривизны )",, )хг являются взятыми с обрат- ными знаками собственньююи значениями матрицы Вейнгартена В . В случае их некратности дза соответствукщих им линейно независимых собственных вектора отвечают главньаь направлениям.
Исследуя струк- туру матрицы д, нетрудно убедиться, что случай ьх, =)гг Ф 0 соот- ветствует )феерической точке поверхности и в етом случае любое на- правление будет тканым. Случай (х, = )х = 0 соответствует точке уплощения. Здесь опять (это мозно получить пракеяьньаь переходом гг 0) любое направление главное, а матрица Ю нулевая.
Уравнение для определения главньсь кривизн, согласно (2.49), имеет вид ( Ег — единичная матрица второго порядка) ее~(В ~К ) =О. (2.50) В явном виде с учегом (2.48) его можно записать в виде квадрат- ного уравнения ~'-2Я~+Ь -а, (2.51) ~ С.0-2ИГ )УЕ Ш-М (2.52) Ьг=г (1 уг) 2 Ыа-~"г ' ~ И Ы-. ' Ьгжжщщ. в г амюаю~ в, Х вЂ” полной или г ссовой к ивизной поверхности в данной точке. Заметим, что знак гзуссовой кривизны определяется знаком определителя второй квадратичной формы поверхности ЕЛ'- Мг .
Поэтому гзуссова кривизна положительна в эллиптических точках поверхности, отрицательна в гиперболических точках и равна нуле ь параболических точках и точках уплощения, Таким образом, получен ече один способ определения типа неособенной точки поверхности. ПрииеПТ . Ь точке х = 2, у = 0 поверхности х=-Ктг-уг найдем главные кривизны, главные направления, а также кривизну нормального сечения, проходящего через прямув, состаьляиыуи равные углы с главньми направлениями. Параметриэуем поверхность следующим образом: г г л л - и г о, и - и - ь', а = и и'.
Заданной точке Мр соответствуют значения и, = 1, о" = 1. Тогда в точке /Чо (2э 2> 1)э г» (2е 2э 1)э 7е / (1ф Оф 2)э т„' = (2, 2, О), ~„',.'= (О, О, 1), г;.„ = (2, -2, О). Следовательно, иэ (2.14) и (2.29) имеем Е = 9, /" = 1, В = 9. (, -Х =Л' — . Отсюда для средней и геуссовой кривизны но- г В' верхности в точке Д(„ из (2.52) имеем К = 1//у , К = О, т.е. точка Ир - параболическая, а главные кривизны ~~, = 2//у , о = О.
Для определенил главных направлений после вычисления элементов (2.48) матрицы В иыеем уравнение (2.49), в иотором --т~~',,'~~~, К-,—,' ь.- Позтому для ~, и С, имеем координаты собственных векторов, соответствеино ~ы - ~д; = 1, Йг; =-1Ф' = 1. Следовательно, главные направления имеют направляющие векторы Й~-Г„Ыа, +х; сЫ;- = (О, 4, О), аЯ = (4, О, 2). Отсюда уравнения касательных к главным нормальным сечениям в точке Ио таковы: -2 у х-! л-2 У .
-М о с и 0 2 Для ответа на последний вопрос примера 7 заметим, что так как главнме направления ортогонаяьны, то прямая, составляющая равные углы с главными направлениями, составляет с ними угол (ь р="с/4. Поэтому длн искомой величинм О по теореме Эйлера (2.43) имеем ~=р аъ — - — ° гЛ.' и ~« М, Бь /У 1 Приммер 8. Рассмотрим так на- х зываемую контактную задачу Герца — -(' '(9). Пусть два твердых упругодеформируемых тела, ограниченных поверхностями Я, и Ял (рис.2.7), 2 касаются в начальный момент времени 1 = О в обыкновенной для (эх них обеих точке О.
В момент времени 1 = О начинает действовать пара сил Р~ = -1~ , направленных по обцея норызли к поверхностям Я~ и Ял в точке их касания. В результате действия сжимающих сил тела деформируются (т.е. меняются огрзничквзющие их поверх- 45 ности Я,(~ ) и 8г(1 )) и образуется какая-то поверхность контакта тел (являющаяся пересечением поверхностей 8,(6 ) и ~„,(1 )). Целью решения задачи является определение форым поверхности контакта в зависимости от фо(ыы исходных поверхностей тел и действующих на них сил ~о и ~„' Для строгого решения задачи требуется рассматривать сложные дифференциальные уравнения напряженно-деформированного состояния твердых тел. Однако простые механические соображения и использование аппарата дифференциальной геометрии позволяют получить приближенное решение задачи. Для этого используем два предположения о динамике процесса сжатия. Первое предположение состоит в том, что будем считать главные радиусы кривизны поверхностей ~, и 8л в точке О величинами одного порякка.
Тогда в течение достаточно малого промежутка времени 11 (в течение которого и будем рассматривать контактную задачу) линейные размеры поверхности контакта будут малыми величинами по сравнению с мовулями главных радиусов кривизны. Введем в общей к поверхностям 3,, Я,, касательной плоскости систему координат Отг, дополнив ее до трехмерной осями РХ~ и ()лл, направленными по нормали внутрь соответствующих тел. Запишем уравнения поверхностей в форме Эйлера - Нонка: д, -,~,~х,~) и 2~ - -Гл (л',у ). Заменим поверхности Ят и 8л их соприкасающимися параболоидзми (причем такая замена будет тем точнее, чем меньший промежуток вреыени рассматривается): ,г,-фр,х'~5,хууг,г'), х, - — '~а,х'+Вбок~+с,у'). Второе предположение о динамике процесса сжатия, введенное Герцем, состоит в том, что при образовании поверхности контакта совмещаются те точки исходных поверхностей, которые до сжатия имелы одинаковые координаты л, г (точки М, и Мз на рио.
2.7), причем поверхность контакта является плоской площадкой. Согласно предположению Герца, совмещающиеся точки в начальный момент находились на расстоянии !х х !=! ) (а +а„)х~+(Б Ьл)лу+ — (д сг)у Оси дх,()у мокно выбрать так, чтобы о,.Ьл = О. Вообле говоря, эти оси будут главными для обеих поверхностей, когда направления главных осей в точке О на поверхностях Б, и ,Ул совпапвют. В выбранных осях (х' +к ~- ~-ах~-су ~ г( 3! г лК~ Величина л, хл дхя всех х, у из окрестности точки О долина иметь одинаковый знак.
В противном случае соприкосновение в точке О невозмокно. Поэтому без ограничения общности считаем л,+гэ з О и аэО, с»О. Ясно, что в кщкдый момент времени граница площадки контакта будет состоять из тех точек ( М, и Мл на исходных поверхностях), которые до начала деформации находились на равных расстояниях друг от друга. Следовательно, уравнение границы площадки контакта будет иметь вид г ( л — ах +у су -л, йэд с,О (2. 53) Поэтому площадкой контакта является эллипс (или его вырощкения), рвсполокеякый в касательной плоскости. В частном случае, когда направление общей нормали в точке касания является осью симметрии для обеих поверхностей, площадка касания имеет аорму круга с радиусом А', определяемьию по формуле ~ -у( р-' ~ ), где У,,~гглавные радиусы кривизны поверхностей 8, и 1л . Задача Герца позволяет выяснить механический смысл главесс кривизн поверхности.
Пусть Ис — эллиптическая точка поверхности 8 . Тогда уравнение ее соприкасэкщегося параболоида, записанное в главных осях, имеет вид - Ф "ы"' ~ъ (2. 54) Возьмем в задаче Герца за б, денную поверхность 3, а за плоскость, для которой уравнение соприкасающегося параболоида 2' = О. Сопоставляя (2.53) и (2.54), получаем механический смысл саню.~ююю: ° Р * .
Р ° Р ю там полуосей эллипса контакта денной поверхности с плоскостью, а такие механический смысл и икат усы пена (в эллиптическом случае,' как границы эллиптической площадки контакта. $ 2.4. В анния геомет ия пове хности Ло сих пор, говоря о поверхности, ыы предполагали, что все ее размеры, длины и кривизны кривых на ней и углы мекду ними, площади отдельннх ее частей и т.д.
остаются неизменными (за исключением примера 8 яз $ 2.3). С точки зрения механики зто означает, что мы изучали характеристики поверхности, считая ее границей не,р„,,~~ р„р„„„~юру ~дщ. 0,, „, р механической интерпретации получэемьк результатов не менее иктересен и другой механический образ: поверхность — нерастякимая гибкая пленка — мембпзна. При этом возникает вопрос: какие из характеристик поверхности сохраняются при ее изгибании, т.е. при таких ее деформациях, которые не сопряжены с растякениями (сжатиями)? щц . Д р ложно совместить всеми своими точками, подвергнув одну иэ них изгибанию. Используя выражение (2.20) для длины дуги произвольной кривой на поверхности, нетрудно показать ( 7, 8.(, что для наложимости двух поверхностей необходимо и достаточно существование такой их общей параметризации и, г , при которой в соответствуюхих точках этих поверхностей совпадали бы гзуссовы коэффициенты первого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
