Главная » Просмотр файлов » Методы дифференциальной геометрии в задачах механики

Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092), страница 4

Файл №1014092 Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (Методы дифференциальной геометрии в задачах механики) 4 страницаМетоды дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092) страница 42017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1.6). Триэдр вращается вокруг касатель- КЯ м', ной с угловой скоростью К-'нс ! и вокруг бинормали с угловой скоростью ю . Угловая скорость суммарного вращения триэдра равна -е )ЖЧ~ ~Х~- Д~,к' . Из всего скаээнного следует механический смысл кривизны и кручения: %' мгновенная скорость поворота нор- рис; 1.6 мальвой плоскости вокруг бинормзли,~у ~ — игнбвенивя скорость поворота соприкасающейся плоскости вокруг каса ьной к кривой. ~2, Пример 2. Разложим вектор ускорения иг = —, материальной а'~~ точки, движущейся по закону .

-г !'з~, на сумму двух составляющих, одна из которых направлена по касательной, а другая - по главной но1мвли. Найдем вторую производную рапиуса-вектора Р!с) по1 где — -~ ь ~ -о - абсолютная величина вектора скорости. с~1 сЧ С помощью формулы Френе ~ л Р запишем !б'1 — ~ з'1 й. !х'и — и'"- м — г +~~ — !! - — т+ — р аИл ( !б~ / !бЕ в виде суммы двух составляшцих: !КΠ— Ф Ф/' 'Г и ы!! — — р, т гИ !Р ускорение й направлено по касательной и называется твнгенцивль- н!яа; ускорение хл,; направлено по главной нормали и называется нормвльньвю.

В какдый момент времени 6сl - й~~ 'М~ и движение как бы разлагается на ускоренное движение по касательной и на движение по окружности радиуса У = — с постоянной скоростью и," Нормальное А ускорение ю~! направлено к центру окружности и по величине ф Л равно !Р ' П1в!меер 3. Найдем вектор ускорения и радиус кривизны траекто- рии точки кругового колеса единичного радиуса, катящегося без скольжения по неподвижной горизонтальной оси 0х (си.рис. 0.2).

Тра- екторией ~ движения точки служит циклоида х - 1 -Муз Е, у 1-сиз ~ . Величину и скорости находим по формуле К= ух'т у'- =З!Фн — !. Запишем 'вектор ускорения а~ з!г!1 ! сзз~~ . 3тсюда следует, что ускорение йг любой точки Мх~' направлено к центру колеса и 1!х' ~ = 1. Рщлиус кривизны траектории точки ьычисляем по л' Нг ~г ф рщу г =; —,, где !и„~-4ш -ш - Г-~ — ) -~л!и — ~.

!Ж ! Для первой ветви циклощкы л л з 1.3. Вычисление визны и к ения ,. В случае натуральной парвметризации кривой ~-гЯ, 4 '!т' ! = !Р!-7Р'РР ° <~ Рг "Р" Л ЮР РУД Из третьей формулы Фраме следует, что кручение к =-(,9„!'),, Подставляя сюда 7- У Г ,з = — ~ '!Г Р 1 ,получаем л -- Ж~ ~ ~. 4 В случае произвольной допустимой парвметризал!и кривой 18 ~г', г', ), где 1х!,г~'„' ) — линейная комбинация векторов Л' л," . ! ~ ! ---!~ 1г -, !' $г,',~~~! Для кривизны кривой, зедзнной уравнениями Х- х(1),~ ~Й,! х-х(~), получим: 1х! '-.т' " ' у"х"у'х') +(х",х'-хх')' й , ~х' .у" г")'" Если плоская кривая валена уравнениеы у "у~т) ° то ~у" ~ (р ~!х)Ф Найдем вырвиение для кручения: Я1',Х!м) ~г' Е',Х!'1! 'ХГС"!Г 1 + [2",Х' ) (Г,Г Г ) Точка пространства, леиаиая на главной нормали к кривой в денной точке и накодяжаяся от этой точки на расстоянии Р в направлении вектора Р, называется центром кривизны иривой в этой точке.

Центр кривизны всегда лежит в соприкасакщейся плоскости. Если !о является радиусом-вектором центра кривкзны, а Р - радиусом-вектором денной точки кривой, то р -Г т У Р или сКхх' О х'+ — — ' !э,~1г ' ! По правилу дифференцирования сложной функции г'-г-г~ 1~ . Дифференцируя еще раз, имеем ! ! 1 х' "-1 у' хс= х й'9 Подставляя выражение для г- г в ывракение лля р, получаем Р ~ Г (л' где х .у' "и! с !г г х хх +УФ !.у' ! х' Геометрическое место центров кривизны кривой называется ее зволютой. Уравнение эволюты в векторной форме можно записать в виде ! и к ! ,~; -гг' ,о»х" !- \', ), Данная кривая по отношению к своей эголюте называется эвольвентой. Пример 4.

Найдем кривизну векторных линий поля единичных векторов. 19 В каидой точке пространства задан единичный вектор е . Введем координаты (х,у,л ) и длину дуги Е векторной линии. Тогда т е-(е„,е,е ), е — > е - -, е«- — ° ж У ЕЕ' " ЕЕ неддемю,~~ ~„>(х 3е >Еу ~~е »х >ЕЕ «>( х и >«>«х Ре» У廻⻠— — — 'е е е + —.е Ее« «х х йк У «>х « ' г « Аифференцируя тоидество ех еу +е„- ( по х, получаем, что сумма +е ~Х,,е е« х Рл Удх «Ак равна нулю. Вычитая зту сумму из вырвкения для — у-, ввпиоыввзм >Е х -(о(е е),.

«« Для —, .у;у получим соответственно(«т>Ее>е),,(е тЕе.*е)« . значйт, Р- (Геев,е ~, позтомух->«! ->ЙГаее,е 1~ . Отсцпа видно, что векторные линии единкчного поля е — прямые яинии тогда и только тогда, когда (гоЕ е, е ~ -О, $ 1.4. Ви к ивой вблизи п оизвольной ее точки. Геомет ический смысл к . визны и к ение Исследуем свойства кривой в окрестности какой-либо ее точки Ро, используя формулы Френе и формулу Тейлора для вектор-функции е'(е«.ле)-"(е«)+е (е«)~е'~ у' (е,)ле + — „>(е"' (е«)"«Ме > где >Š— вектор, стремяцийся к нулю при дŠ— Р. В случае натуральной параметризации формулу Тейлора в окрестности точки г. -Ет(,'~) зепишем в виде ЛТг(Е,)-Г(Е,)б!+Е'(Е,) ~~ +Г((,) Е +О (ЛЕ ), где л(-1-(«, лг'(( ) г((«~«1)-е>((о) и пРоизводные е (е«)>>"(ех) > Р((р) отличны от нуля.

Для вычисления производных г(Е»),г ((«) применим формулы Френе: г-М~', Е -«>>>'1>>-4>> Й(-Е г" кд) . Воспользуемся теперь сопровоидасщей системой координат с началом в точке,' . Принимая касательную, главную нормаль н бкнормзль за оси и, р , 3 , соответственно получаем: ~г(1,) =Р«-РР -~) -(~! — л('-()~~1~~) «-(,-Ь(.-1~1~.

()(»~))Р~(' —,1.жлМ ()(»1»))б. Рвзложени . вехтора д«/4) по базису «, »», 9 единственно, поэтому » б б ~('~' ~) Я ~г» ~ ~л+()~ 1»» (-д 1.шл~ ()Й! ), где 0(э'1» ) означает скалярную величину порядка Л~ Эти три скалярных равенства являются параметрическими урав- нениями кривой, отнесенной к осям естественного трехгранника.

Роль параметра У играет Л . Проекции кривой на плоскости трех- гранника в окрестности его вершины Р' зщхшатся соответствуюцими парами этих уравнений. Виды проекций при л Ф О и у Ф О показа- ны на рис. 1.7 (с учетом только главных членов уравнений). С точ- ностью до величин порядка,)1~ проекция кривой на соприкасающуюся плоскость (- = О представляет собой параболу Р ж- л В , где Л > О (рис. 1.7,а).

Ветви этой параболы отходят от касательной в ту сторону, куда направлен единичный вектор »» , причем тем быстрее, чем больше кривизна Х . Значит, апиничный вектор »» главной нормали лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнугости кривой и с точностью до величин более высокого г порядка малости, чем М, указывает направление, з котором кри- вая з окрестностл данной точки отклоняется от своей касательной (рис. 1.7,6). Рассмотрим проекцию кривой на спрямляющую плоскость »7 =О.

Огрзничиваясь глазными членами, получаем урввиекие ( - — ~д'Р з б кубической параболы. Вблизи то»п»и, в которой Я Ф О, кривая рас- положена па обе стороны от соприкасающейся плоскости. Кривая уда- ляется тем быстрее от соприкасз»ж)ейся плоскости, чем больше абсо- лютное кручение )Х ).

При возрастании парэметра 1 ь случае Х » О крлваз отходит от соприкасающейся плоскости в ту сторону, иуда направлен вектор З, при Х»0 - в противоположную сторону (рис. 1.7,в). Если смотреть на кривую « по направлению касатель- ной, то будем видеть ее проекцию на нормальную плоскость К = О. УРавнение пРоекции г = у — — Р .

Эта кРиваЯ в начале кооРдиншг г гжз з ( Р,,(.' имеет точку возврата (рис. 1.7,г). 21 Пусть кривизна я кривой ~" тождественно равна нулю. Тогда 2' =ли' а, откуда следует, что у(П-ГД ) -Р(Я~В!), т.е. )' есть прямая. Если же кручение с тождественно равно нулю> то ф О, Я-~зр- СОПИ, Я,;Г )-ЯГ)~ ~Д,Г) -О, Отсюиа Я у') гпггзг, а это есть уравнение плоскости, Кривая, кручение которой тождественно равно нулю, полностью ловит в некоторой фиксированной плоскости, т.е. является плоской кривой.

б(зР) Рис. 1.7 Заметим, что коэффициенты разложения функции РЯ в окрестности точки 1 в ряд по степеням и ( выражаются только через кривизну и кручение кривой, причем 4 и И.' - инварианты кривой (числа, не зависящие от выбора паремстризации), Оказывается, что кривизна и кручение определяют кривую. Вдоль всякой кривой кривизна и кручение есть определенные функции длины дуги. И, наоборот, кривая определяется однозначно (с точностью до -движения) уравнениями 4 Х(О , 'е -ЖЙ/ , Систему равенств А =Х((,) ж Ж(() называют натуральными уравнениями кривой. Пример В, Рассмотрим винтовую линию Е на круговом цилиндре х-апоз1, у-азьгт1, л'-Бг (а >р,Бтра). Н йдем х' — ар'- ~,*'-~, ж й)-67~ 1Р'-бч . Поэтому, аз 'м Е .

а соН . Я, и сгИ йР-Р '~ ~а' Ь' уа'3' ' ал~Бл авгггг л:г 7.3 7 а у' — —, гХ О «4 (2" ( уж~ё — Хг гг — T аг г г 4 - — мял г' — вггг(~ . «осинус угла, образованного касательной к (. с осью 0д, есть постоянная величина, Отсюда выгекзет первое свойство винтовой линии: касательные к Ь обрезуют постоянный угол со всеми образуюлими. Главная но)вгаль к г параллельна плоскости (Х,ч ) и направлена к оси кругового цилиндра, на который навернутавинтоввя ливия~(си.

рис. 0.5).С другой стороны, главная нормаль перпендикулярна касательной к винтовой линии. Образующая цилиндра и касательная к винтовой линии определяют касательную плоскость к цилиндру в точке винтовой линии ( т 2.1). Значит, вектор )г перпендикулярен к этой касательной плоскости.

Получаем второе свойство винтовой линии: главная нормаль к винтовой линии во всех ее точках совпадает с но(вгвлью к цилиндру, на который эта винтовая линия навернута. Наконец, Вг'ггг у т Б ооь | —. а Р Ка"ь' ' ггаУ Б '~ огаУ.Б' с~1ь г(Ь Ъоогу -. Боггг у е — — — у — — г + — г г-г)Б ггг а 'Б" ао+Бг Принимая во внимание третью формулу Френе г7- - дгг), ввх гдви Бсозг Бог'ггпу Ь -я (ув гг) — у(-со5Цз — х(-гггг~) — -у — > Ф а о+Ь а~~Б а "Ьг а-'Бл Получаем третье свойство: винтовая линия на круговом цилиндре имеет постоянную кривизну и постоянное кручение.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,45 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее