Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.6). Триэдр вращается вокруг касатель- КЯ м', ной с угловой скоростью К-'нс ! и вокруг бинормали с угловой скоростью ю . Угловая скорость суммарного вращения триэдра равна -е )ЖЧ~ ~Х~- Д~,к' . Из всего скаээнного следует механический смысл кривизны и кручения: %' мгновенная скорость поворота нор- рис; 1.6 мальвой плоскости вокруг бинормзли,~у ~ — игнбвенивя скорость поворота соприкасающейся плоскости вокруг каса ьной к кривой. ~2, Пример 2. Разложим вектор ускорения иг = —, материальной а'~~ точки, движущейся по закону .
-г !'з~, на сумму двух составляющих, одна из которых направлена по касательной, а другая - по главной но1мвли. Найдем вторую производную рапиуса-вектора Р!с) по1 где — -~ ь ~ -о - абсолютная величина вектора скорости. с~1 сЧ С помощью формулы Френе ~ л Р запишем !б'1 — ~ з'1 й. !х'и — и'"- м — г +~~ — !! - — т+ — р аИл ( !б~ / !бЕ в виде суммы двух составляшцих: !КΠ— Ф Ф/' 'Г и ы!! — — р, т гИ !Р ускорение й направлено по касательной и называется твнгенцивль- н!яа; ускорение хл,; направлено по главной нормали и называется нормвльньвю.
В какдый момент времени 6сl - й~~ 'М~ и движение как бы разлагается на ускоренное движение по касательной и на движение по окружности радиуса У = — с постоянной скоростью и," Нормальное А ускорение ю~! направлено к центру окружности и по величине ф Л равно !Р ' П1в!меер 3. Найдем вектор ускорения и радиус кривизны траекто- рии точки кругового колеса единичного радиуса, катящегося без скольжения по неподвижной горизонтальной оси 0х (си.рис. 0.2).
Тра- екторией ~ движения точки служит циклоида х - 1 -Муз Е, у 1-сиз ~ . Величину и скорости находим по формуле К= ух'т у'- =З!Фн — !. Запишем 'вектор ускорения а~ з!г!1 ! сзз~~ . 3тсюда следует, что ускорение йг любой точки Мх~' направлено к центру колеса и 1!х' ~ = 1. Рщлиус кривизны траектории точки ьычисляем по л' Нг ~г ф рщу г =; —,, где !и„~-4ш -ш - Г-~ — ) -~л!и — ~.
!Ж ! Для первой ветви циклощкы л л з 1.3. Вычисление визны и к ения ,. В случае натуральной парвметризации кривой ~-гЯ, 4 '!т' ! = !Р!-7Р'РР ° <~ Рг "Р" Л ЮР РУД Из третьей формулы Фраме следует, что кручение к =-(,9„!'),, Подставляя сюда 7- У Г ,з = — ~ '!Г Р 1 ,получаем л -- Ж~ ~ ~. 4 В случае произвольной допустимой парвметризал!и кривой 18 ~г', г', ), где 1х!,г~'„' ) — линейная комбинация векторов Л' л," . ! ~ ! ---!~ 1г -, !' $г,',~~~! Для кривизны кривой, зедзнной уравнениями Х- х(1),~ ~Й,! х-х(~), получим: 1х! '-.т' " ' у"х"у'х') +(х",х'-хх')' й , ~х' .у" г")'" Если плоская кривая валена уравнениеы у "у~т) ° то ~у" ~ (р ~!х)Ф Найдем вырвиение для кручения: Я1',Х!м) ~г' Е',Х!'1! 'ХГС"!Г 1 + [2",Х' ) (Г,Г Г ) Точка пространства, леиаиая на главной нормали к кривой в денной точке и накодяжаяся от этой точки на расстоянии Р в направлении вектора Р, называется центром кривизны иривой в этой точке.
Центр кривизны всегда лежит в соприкасакщейся плоскости. Если !о является радиусом-вектором центра кривкзны, а Р - радиусом-вектором денной точки кривой, то р -Г т У Р или сКхх' О х'+ — — ' !э,~1г ' ! По правилу дифференцирования сложной функции г'-г-г~ 1~ . Дифференцируя еще раз, имеем ! ! 1 х' "-1 у' хс= х й'9 Подставляя выражение для г- г в ывракение лля р, получаем Р ~ Г (л' где х .у' "и! с !г г х хх +УФ !.у' ! х' Геометрическое место центров кривизны кривой называется ее зволютой. Уравнение эволюты в векторной форме можно записать в виде ! и к ! ,~; -гг' ,о»х" !- \', ), Данная кривая по отношению к своей эголюте называется эвольвентой. Пример 4.
Найдем кривизну векторных линий поля единичных векторов. 19 В каидой точке пространства задан единичный вектор е . Введем координаты (х,у,л ) и длину дуги Е векторной линии. Тогда т е-(е„,е,е ), е — > е - -, е«- — ° ж У ЕЕ' " ЕЕ неддемю,~~ ~„>(х 3е >Еу ~~е »х >ЕЕ «>( х и >«>«х Ре» У廻⻠— — — 'е е е + —.е Ее« «х х йк У «>х « ' г « Аифференцируя тоидество ех еу +е„- ( по х, получаем, что сумма +е ~Х,,е е« х Рл Удх «Ак равна нулю. Вычитая зту сумму из вырвкения для — у-, ввпиоыввзм >Е х -(о(е е),.
«« Для —, .у;у получим соответственно(«т>Ее>е),,(е тЕе.*е)« . значйт, Р- (Геев,е ~, позтомух->«! ->ЙГаее,е 1~ . Отсцпа видно, что векторные линии единкчного поля е — прямые яинии тогда и только тогда, когда (гоЕ е, е ~ -О, $ 1.4. Ви к ивой вблизи п оизвольной ее точки. Геомет ический смысл к . визны и к ение Исследуем свойства кривой в окрестности какой-либо ее точки Ро, используя формулы Френе и формулу Тейлора для вектор-функции е'(е«.ле)-"(е«)+е (е«)~е'~ у' (е,)ле + — „>(е"' (е«)"«Ме > где >Š— вектор, стремяцийся к нулю при дŠ— Р. В случае натуральной параметризации формулу Тейлора в окрестности точки г. -Ет(,'~) зепишем в виде ЛТг(Е,)-Г(Е,)б!+Е'(Е,) ~~ +Г((,) Е +О (ЛЕ ), где л(-1-(«, лг'(( ) г((«~«1)-е>((о) и пРоизводные е (е«)>>"(ех) > Р((р) отличны от нуля.
Для вычисления производных г(Е»),г ((«) применим формулы Френе: г-М~', Е -«>>>'1>>-4>> Й(-Е г" кд) . Воспользуемся теперь сопровоидасщей системой координат с началом в точке,' . Принимая касательную, главную нормаль н бкнормзль за оси и, р , 3 , соответственно получаем: ~г(1,) =Р«-РР -~) -(~! — л('-()~~1~~) «-(,-Ь(.-1~1~.
()(»~))Р~(' —,1.жлМ ()(»1»))б. Рвзложени . вехтора д«/4) по базису «, »», 9 единственно, поэтому » б б ~('~' ~) Я ~г» ~ ~л+()~ 1»» (-д 1.шл~ ()Й! ), где 0(э'1» ) означает скалярную величину порядка Л~ Эти три скалярных равенства являются параметрическими урав- нениями кривой, отнесенной к осям естественного трехгранника.
Роль параметра У играет Л . Проекции кривой на плоскости трех- гранника в окрестности его вершины Р' зщхшатся соответствуюцими парами этих уравнений. Виды проекций при л Ф О и у Ф О показа- ны на рис. 1.7 (с учетом только главных членов уравнений). С точ- ностью до величин порядка,)1~ проекция кривой на соприкасающуюся плоскость (- = О представляет собой параболу Р ж- л В , где Л > О (рис. 1.7,а).
Ветви этой параболы отходят от касательной в ту сторону, куда направлен единичный вектор »» , причем тем быстрее, чем больше кривизна Х . Значит, апиничный вектор »» главной нормали лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнугости кривой и с точностью до величин более высокого г порядка малости, чем М, указывает направление, з котором кри- вая з окрестностл данной точки отклоняется от своей касательной (рис. 1.7,6). Рассмотрим проекцию кривой на спрямляющую плоскость »7 =О.
Огрзничиваясь глазными членами, получаем урввиекие ( - — ~д'Р з б кубической параболы. Вблизи то»п»и, в которой Я Ф О, кривая рас- положена па обе стороны от соприкасающейся плоскости. Кривая уда- ляется тем быстрее от соприкасз»ж)ейся плоскости, чем больше абсо- лютное кручение )Х ).
При возрастании парэметра 1 ь случае Х » О крлваз отходит от соприкасающейся плоскости в ту сторону, иуда направлен вектор З, при Х»0 - в противоположную сторону (рис. 1.7,в). Если смотреть на кривую « по направлению касатель- ной, то будем видеть ее проекцию на нормальную плоскость К = О. УРавнение пРоекции г = у — — Р .
Эта кРиваЯ в начале кооРдиншг г гжз з ( Р,,(.' имеет точку возврата (рис. 1.7,г). 21 Пусть кривизна я кривой ~" тождественно равна нулю. Тогда 2' =ли' а, откуда следует, что у(П-ГД ) -Р(Я~В!), т.е. )' есть прямая. Если же кручение с тождественно равно нулю> то ф О, Я-~зр- СОПИ, Я,;Г )-ЯГ)~ ~Д,Г) -О, Отсюиа Я у') гпггзг, а это есть уравнение плоскости, Кривая, кручение которой тождественно равно нулю, полностью ловит в некоторой фиксированной плоскости, т.е. является плоской кривой.
б(зР) Рис. 1.7 Заметим, что коэффициенты разложения функции РЯ в окрестности точки 1 в ряд по степеням и ( выражаются только через кривизну и кручение кривой, причем 4 и И.' - инварианты кривой (числа, не зависящие от выбора паремстризации), Оказывается, что кривизна и кручение определяют кривую. Вдоль всякой кривой кривизна и кручение есть определенные функции длины дуги. И, наоборот, кривая определяется однозначно (с точностью до -движения) уравнениями 4 Х(О , 'е -ЖЙ/ , Систему равенств А =Х((,) ж Ж(() называют натуральными уравнениями кривой. Пример В, Рассмотрим винтовую линию Е на круговом цилиндре х-апоз1, у-азьгт1, л'-Бг (а >р,Бтра). Н йдем х' — ар'- ~,*'-~, ж й)-67~ 1Р'-бч . Поэтому, аз 'м Е .
а соН . Я, и сгИ йР-Р '~ ~а' Ь' уа'3' ' ал~Бл авгггг л:г 7.3 7 а у' — —, гХ О «4 (2" ( уж~ё — Хг гг — T аг г г 4 - — мял г' — вггг(~ . «осинус угла, образованного касательной к (. с осью 0д, есть постоянная величина, Отсюда выгекзет первое свойство винтовой линии: касательные к Ь обрезуют постоянный угол со всеми образуюлими. Главная но)вгаль к г параллельна плоскости (Х,ч ) и направлена к оси кругового цилиндра, на который навернутавинтоввя ливия~(си.
рис. 0.5).С другой стороны, главная нормаль перпендикулярна касательной к винтовой линии. Образующая цилиндра и касательная к винтовой линии определяют касательную плоскость к цилиндру в точке винтовой линии ( т 2.1). Значит, вектор )г перпендикулярен к этой касательной плоскости.
Получаем второе свойство винтовой линии: главная нормаль к винтовой линии во всех ее точках совпадает с но(вгвлью к цилиндру, на который эта винтовая линия навернута. Наконец, Вг'ггг у т Б ооь | —. а Р Ка"ь' ' ггаУ Б '~ огаУ.Б' с~1ь г(Ь Ъоогу -. Боггг у е — — — у — — г + — г г-г)Б ггг а 'Б" ао+Бг Принимая во внимание третью формулу Френе г7- - дгг), ввх гдви Бсозг Бог'ггпу Ь -я (ув гг) — у(-со5Цз — х(-гггг~) — -у — > Ф а о+Ь а~~Б а "Ьг а-'Бл Получаем третье свойство: винтовая линия на круговом цилиндре имеет постоянную кривизну и постоянное кручение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
