Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Будем в дэльнейием рассматривать всевозмокные цараметризации (они называотся допустимыми), яоторые получаются из данной парзметриззции с помощью представления параметра 1 в виде непре- )явных строго воэрастахщих функций другого параметра т . Прм любой допустимой парамзтриззции сохраняется порядок следования точек на кривой. Особое место среди всех допустимых парвметриэаций занимает так называемая натйюальная (или естественная) парзметризация, когда за параметр кривой приедается ее длина, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки Мр . Кривая, допусиаплаи натурахьную параиетризмцию, называется спрямллемой. В дахьнеймем будем рассматривягь только такие кривыз. Как известно, переменная двина луги 1 ГЙ) гладкой кривой г-~г(ц, 1 с(«,~9 ] , отсчитываемая от ее начальной точки с радиусом-вектором 7т!«], вмрзкается форнулой 6 к~в-) и~7вгс г~мугь.
(0.3) Для гладкой кривой ((лй)] (у'И~ )О . Слщкозательно, 2®~П во всех точках 1 е («, б ] . Поэтому формулой (О.З) определяется непрерывно дифференцируемая строго возрастающая фунвыя 1(1) Следовательно, существует обратная к ней Чйнкция 1-1(Г]>ЫО!~.], - Цб], которая строго возрастает и на проммвутке (О, 1 - ] имеет непрерывную ненулевую производную. Половив х-у(Е(1)]-хай, у- уг(~(~)] = уЯ или г =.гЯ, получки натуральную допустимую парзметризацию кривой )" . Значит, для любой гладкой кривой мокно ввести натуральную парамзтризапкю. Все, что до сих пор говорилось для плоских кривых, распространяется и ча случай пространственных кривых. Вся терминология 7 сохраняется. В дальнейшем будем рассматривать такие кривые и их парэметриэации, для которых соответствующая вектор-функция Г(Е,) трищвы непрерывно дифференцируема.
Пйимер 3. Рассмотрим винтовую линию (рис. 0.3) на круговом цилиндре рэдиуса а с образующими, .параллельными оси Ох . Направляющей цилищкра является окрукностьх-асжЕ, я-а5МЕ, Ее [О,гХ1, располокенная в плоскости Охп . Пусть ЛГ- точка на направляющей, а Е - угол меклу ее рэдиусомвектором и половительньв неправ- пением оси Ох . Определим винтовую линию как геометрическое место таких точек М, что век- тор Л~М параллелен оси ОХ, а его длина [ХМ [- | Ь! Е, где Ь вЂ” заданное число, называемое ходом винта. Параметрические уравнения винтовой линии тогда Ч' будут иметь вид х-ага~Е, Ь-а5е г Е, х -ЬЕ, (0.4) Рис. 0.3 причем параметр Е здесь принимает все неотрицательные значения. Составим теперь уравнения винтовой линии для случая натуральной парвметризации, приняв за начальную точку на ней точку А (рис.
0.3). Из (0.4) получаем аЕ- [хЮ[+[ф)1 ~[Х(Е)Р й-'Га'+Ъ'сЕЕ, Е-~а~ ЬьЕ, Поэтому при Ь>0 для верхней части винтовой линки инеем ЬЕ Л-аСО5 у- ° У-а5(п = ~ Я-, Оь(% (а.-У ~а"Ь' У,Ь Никняя половина винтовой линии описывается таянии ке уравнениями при формальной замене Е на -Е Теперь нетрудно составить уравнения винтовой линии на проиэьольном цилиндре.
Пусть Ь" - направляющая цилиндра, лвкащая в плоскости ОХК , а Е - угол мевду радиусом-вектором произвольной точки ЛГ этой кривой с половительным нвпраьлением оси О" . Тогда уравнения нэправляхщей мовно звписать в виде х-<рЕЕ) г-Я(), Винтовой линией на обобщенном цилиндре называется геометрическое место точек М , удовлетворяхщих условиям: Ю~[[ОХ, ЮМ [ |Ь [[Е [. Пврвметрические уравнения этой линии молно ээписать в виде х-(гЯ, ь-й(е), х-ЬЕ, (0.0) Дальнейшее изучение свойств кривых линий в пространстве (и на плоскости) составляет соде)ххание гл.
1. Обратимся к понятию поверхности. Пусть в тюехмерном пространстве движется материальная точка М с радиусом-вектором )' = (х,у,х ) под действием силы Р . Тогда, как уке говорилось выше, траекторией точки М будет некоторая пространственная кривая ~, уравнение которой можно записать в векторно-параметрическом виде Г -г((). Теперь рассмотрим семейство траекторий материальной точки М, которое получается, если, например, начальное положение точки не фиксировано, в находится на некоторой непрерывной кривой, или если сила Я непре(ливне зависит от какого-нибудь парвметра.
Семейство траекторий образует непрерывнуш поверхность 8 , каждуш точку которой можно характеризовать значениями уже двух параметров а -( и г . Допустим и другой механический образ поверхности квк неразрывной бесконечно тонкой пленки с координатами Я и Ф' на ней. Такой способ задания уравнения поверхности„ носящий в своем обобщенном виде название двухпарзметрического метода ГЕсса, с геометрической точки зрения является наиболее удобным и состоит в том, что задается радиус-вектор произвольной точки М поверхности кзк функпдя двух парзмегров И и ~Г гт-у (и,гус=)х=л~и,~г), у-~(и,и),д-х(м,и); (иу)и(., (0.6) Подчеркнем, что определение (0.6) является абстрактно математическим, не зависит от исходной геометрической или механической модели и, следовательно, может быть принято эа отправкой пункт дальнейших математических построений, которые в зависимости от конкретной задачи будут иметь тот или иной геометрический или механический смысл и следствия. Бце один метод задания поверхности состоит в определении поверхности Я как геометрического места точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Г(л,у,х) - О.
(О. 7) Примерами такого способа задания уравнения поверхностей, встречзвцихся в курсе знзлитической геометрии, являются: уравнение ,Ф(л'-.г„) В)у-у„)- С(г-Х„) = О плоскости, проходялей через точку М„(хз, у,, хз ) и перпендикулярной вектору У ( 4, В,С ); урввнение ('л -х,)~'(у-у,) (г.х,);о сферы с рздиусоир и цектром М~( х,, )(,,х„ ); уравнение х — х(аА ~ ~Бху су ) "В обобщенного параболоида. Йедостатки способа задания поверхности (0.7) будут рассмотрены в гл.2 при изучении локальных характеристик поверхностей. Наименее общим способом задания поверхности является ~ой ~ рр ~о.зрр, да из координат, например л'-фК,у).
Г л а в а 1. ЭЛЮПНТЫ ТЕОР!И КРИВЫХ з 1.1. Касательная к к ивой Кянематический смысл изво ой векто о к и Пусть в пространстве, где определена прямоугольная система координатСх, у, «), задана гладкая вектор-Функция гЯ-(лЕЕ)~Я),Ж)) Ес ~ Е,)з1, На рис. 1.1 изобрвкен годограр у- вектора Г =Г'Я. Возьмем единичный вектор б, леявщий на секущей Р,Ез например г = —, где Д, Л -, ЕЕкнЕ)-г(Е,) . Пусть!;т Г- !лг! а -ьз . Тогда е', - единичнйй векгв р тор. Прямую, проходящую через точку Р, в направлении единично- 'ЙЯ го вектора $ , назовем предельМ+ай) ным полонением секущей. Очевидно, что угол мекду секущей и ее пре- 0 дельным полонением стремится к 7 нулю при Вг -О Опрейеленяе.
Предельное по- ложение секущей в точке Р,ьу если она существует, называется касательной к кривой ) в точкеРо * Кривая )- гладкая, поэтом)у существует ЕЕгтг ~~ — г '~Е,)гд зЕ-о Е и предельньм единичный вектор" гг, з етйе г 'Ее,) Значит, во всякой точке гладкой кривой существует касательная и притом единственна.:. Вектор г --~-,~-'-2, выпущенный из точки !Р'ЕЕ,И Е' > лекит на касательной к кривой в етой точке и называется единичным вектором касательной в точке Р, . Заметим, что векторЗЕ" пря бЕ> О направлен от точки крлвой с меньшим значением парзмет- ра к точке с большим значением паразетра и показывает няправление, Здесь л везде далев производную по произвольному параметру Е ;рдею обозначать штрихом, а производную по натуральному параметру Š— точкой. в которои парэыетр Е на кривой Возрастает, т.е. полокительное направление на кривой.
Вектор ~~ при ДЕ ь О имеет то же нвправлЕ ление, что и вектор Ж . Поэтому естественно говорить, что векто- ры Е и T направлены в сторону возрастания параметра Е и что их ориентация (направление) соответствует ориентации кривой. На- правление вектора Г будем называть положительным нэправлением касательной. Уравнение касательной в точке У' в векторной записи имеет вид р-'г(Е ) -г'~1,)Е,- сЕ, глеб — радиУс- вектор текущей точки касательной. Параметрические уравнения каса- тельной Ло~г:~ ( а), ~-7о"Е,У'(Ео) ° Л =Го " Я'(Ео) можно записать в эквивалентной форме: л лял У Уо л'(е,) У'(е,) х'(е,) В частности, если кривая задана уравнениями у'-у(л), Х -Х(х) то ее параметрические уравнения можно записать в виде я = Е, у' =у'(ЕЕ. ю б(Е) . Канонические уравнения касательной к кри- вой в точке (Х~,ф,, Х ) в этом случае запишем следующим образом: ,У(яо) Х вЂ” 2(др) я' (л о ) 4'(л'о) Известно, что предел отношения длины гладкой дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице, когда дуга стягивается в точ- ку.
Поэтому — ®~-~ —.й~-Е* — »"-~:: ~ -' Определение. Плрскость, проходящая через точку Р, я)" и пер- пендикулярная вектору г , называется нормальной плоскостью кри- Вой В точке Уравнение нормальной плоскости в векторной форме: (Р-г;,т ) -О, где.", -7Ю=~Х(Ео) )((Ео),~(Еа))Р (д,уХ)- радиус-вектор текущей точки плоскости, Пусть ~с~( ~ — длина дуги Р, Р кривой )' .
Угол,до' медку по- ложительными направлениями касательных в точках Р и Р назовем углом смежности дуги Р Р. 0 ~д~~. кр„„~ 1 д,м ~' Р, р,- дел, если он существуе» отношения — при Р Р . а8 э. Кривизна кривой по определению неотрицательна. Величина, об- ратная кривизне кривой в точке, называется радиусом кривизны кри- вой в этой точке и обозначается Р = — . Заметим, что если 4 = О, Е то считаем ь"- 11 Пусть теперь годогрэф (" непрерывно дифреренцируемой векгорфункции ГЕЕ) есть траектория движущейся материальной точки, параметр Š— время движения.
При 1Е > О имеем ~ ~ Е;ггг ~й. гЕ1 М аЕг Данна вектора — совладает со скалярной величиной скорости точ- гЕЕ Р ки, сэм же вектор — ' направлен, по касательной и определяет направление движения точки в момент Е . Поэтому с кинематической ЕР точки зрения производная -„ — есть вектор скорости г~ точки, движущейся по закону ~=.г ЕЕ) . Вторая производиая4Х есть вектор 2'ЕУ ускорения точки. Рассмотрим честный случай дифференцирования векторной функции Е (Е) постовнной длины. ПУсть ЕГ(Е,) и г: ( Еа -ЕЕ ), соответственно, положения вектора 1"- Г~Е), а~ отвечающие значениям Еа и Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
